辽宁省朝阳市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（Word版含答案）

这是一份辽宁省朝阳市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（Word版含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为
A．1B．C．1或D．0
3．（3分）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
4．（3分）方程的根的情况是
A．只有一个实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．（3分）二次函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为
A．开口向上，对称轴为直线，顶点
B．开口向上，对称轴为直线，顶点
C．开口向下，对称轴为直线，顶点
D．开口向上，对称轴为直线，顶点
6．（3分）如图，中，，，，动点从点出发沿边以秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
7．（3分）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 个．
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是
A．B．
C．D．
9．（3分）二次函数的大致图象如图，与轴交点为和，关于该二次函数，下列说法错误的是
A．函数有最小值B．对称轴是直线
C．当，随的增大而减小D．当时，
10．（3分）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点，是常数，且，第一次爬到射线绕点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点逆时针旋转方向上的点，且；；第2021次爬行到点的坐标是
A．，B．
C．，D．
二、填空题（18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点中心对称的点的坐标是 ．
12．（3分）一元二次方程的解是 ．
13．（3分）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ．
14．（3分）将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 ．
15．（3分）已知线段的长为2，以为边在的下方作正方形．取边上一点，以为边在的上方作正方形．过作，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长为 ．
16．（3分）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为米，花圃面积为平方米，则与之间的函数关系式为 ．
三、解答题（72分）
17．（5分）解方程：．
18．（6分）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积与的关系式．
19．（7分）在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：
（1）画出以点为旋转中心顺时针旋转后的△；
（2）画出关于点的中心对称图形△．
20．（7分）对于实数、，定义一种运算“”为：．若关于的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数的值．
21．（7分）已知二次函数的图象的对称轴是直线，且最高点在直线上，求这个二次函数的表达式．
22．（8分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
23．（10分）某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调元为10的正整数倍）时，相应的住房数为间．
（1）求与的函数关系式．
（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出元给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随的增大而增大，求的取值范围．
24．（10分）中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
（1）填空： ， （用含的代数式表示）；
（2）当为何值时，的长度等于？
（3）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，已知二次函数的图象经过点，且对称轴是直线．该函数图象和轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求该函数解析式；
（2）求，两点的坐标；
（3）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为，求的最大值．
参考答案与解析
一、选择题（30分）
1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
2．（3分）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为
A．1B．C．1或D．0
【解答】解：根据题意将代入方程可得：，
解得：或，
，即，
，
故选：．
3．（3分）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为轴，
抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越小，
，
．
故选：．
4．（3分）方程的根的情况是
A．只有一个实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【解答】解：，
△，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
5．（3分）二次函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为
A．开口向上，对称轴为直线，顶点
B．开口向上，对称轴为直线，顶点
C．开口向下，对称轴为直线，顶点
D．开口向上，对称轴为直线，顶点
【解答】解：，
抛物线开口向上，
对称轴为直线，
对称轴为直线，
顶点坐标，
顶点坐标，
故选：．
6．（3分）如图，中，，，，动点从点出发沿边以秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
【解答】解：当运动时间为秒时，，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
故选：．
7．（3分）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 个．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确，符合题意．
抛物线经过点，
，
，
，
，
，②正确，符合题意．
由图象可得时，随增大而增大，
③错误，不符合题意．
由可得方程的解为和，
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线与轴另一个交点为，
和是方程的根，
，，
，
，
，，④正确，符合题意．
抛物线经过，，
，
将化为，
由图象得抛物线与直线交点在轴下方，
且，⑤正确，符合题意．
故选：．
8．（3分）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是
A．B．
C．D．
【解答】解：，，，
，，
当点在上时，；
当点在上时，如图所示，
，，
，又，
，
，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：．
9．（3分）二次函数的大致图象如图，与轴交点为和，关于该二次函数，下列说法错误的是
A．函数有最小值B．对称轴是直线
C．当，随的增大而减小D．当时，
【解答】解：、由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，正确，故选项不符合题意；
、由图象可知，对称轴为，正确，故选项不符合题意；
、因为，所以，当时，随的增大而减小，正确，故选项不符合题意；
、由图象可知，当时，，错误，故选项符合题意．
故选：．
10．（3分）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点，是常数，且，第一次爬到射线绕点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点逆时针旋转方向上的点，且；；第2021次爬行到点的坐标是
A．，B．
C．，D．
【解答】解：由题意知：每6次为一组循环，
，
点第四象限，，
点的横坐标为，纵坐标为，
，，
故选：．
二、填空题（18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点中心对称的点的坐标是 ．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特征，得点关于坐标原点中心对称的点的坐标是．
故答案为：．
12．（3分）一元二次方程的解是 ， ．
【解答】解：，
，
或，
，，
故答案为：，．
13．（3分）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
14．（3分）将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 ．
【解答】解：抛物线向左平移1个单位，得：．
15．（3分）已知线段的长为2，以为边在的下方作正方形．取边上一点，以为边在的上方作正方形．过作，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长为 ．
【解答】解：设，则，由图形得
，
解得：，（舍去）
故答案为：．
16．（3分）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为米，花圃面积为平方米，则与之间的函数关系式为 ．
【解答】解：若和墙相邻的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：．
又，
，
与之间的函数关系式为．
故答案为：．
三、解答题（72分）
17．（5分）解方程：．
【解答】解：
，
，
，
，
，．
18．（6分）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积与的关系式．
【解答】解：由图可得，
扩充后的绿地的面积与之间的函数关系式是：，
即扩充后的绿地的面积与之间的函数关系式是：．
19．（7分）在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：
（1）画出以点为旋转中心顺时针旋转后的△；
（2）画出关于点的中心对称图形△．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
20．（7分）对于实数、，定义一种运算“”为：．若关于的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数的值．
【解答】解：由，
得，即，
关于的方程有两个相等的实数根，
，
，
解得．
21．（7分）已知二次函数的图象的对称轴是直线，且最高点在直线上，求这个二次函数的表达式．
【解答】解：二次函数的对称轴，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线上．
．
的图象顶点坐标为．
．
解得或．
最高点在直线上，，
．
顶点为．
．．
则．
22．（8分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染个人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染10个人．
（2）（人，
，
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
23．（10分）某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调元为10的正整数倍）时，相应的住房数为间．
（1）求与的函数关系式．
（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出元给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随的增大而增大，求的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：且；
（2）由题意知：，
函数的对称轴为，
，故有最大值，此时为10890，
即房价为350元时，宾馆当天利润最大，最大值为10890元；
（3）由题意得：，
函数的对称轴为，
要保证房间定价在180元至360元之间波动且利润随的增大而增大，
且，
，解得，
故．
24．（10分）中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
（1）填空： ， （用含的代数式表示）；
（2）当为何值时，的长度等于？
（3）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，得
，．
故答案为：，．
（2）在中，由勾股定理，得
，
解得：
，．
（3）由题意，得
，
解得：
，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
25．（12分）如图，已知二次函数的图象经过点，且对称轴是直线．该函数图象和轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求该函数解析式；
（2）求，两点的坐标；
（3）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，，
所以这个二次函数解析式为；
（2）当时，则：，
解得，，
所以点，的坐标分别为，；
（3）如图，作轴交于点，
，
．
，
．
，
，
．
，
．
，
是等腰直角三角形．
．
设直线的表达式为，
，
解得：．
直线的表达式为．
设，则，
．
，顶点为，
当时，取最大值，
所以的最大值为．