高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构同步练习题

课时作业(三十九)　[第39讲　空间几何体的结构及三视图和直观图]

 [时间：45分钟　　分值：100分]

1．给出下列命题：

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；

②圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部分；

③若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是(　　)

A．①②  B．②③  C．①③  D．②④

2．下列说法中正确的是(　　)

A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

B．梯形的直观图可能是平行四边形

C．矩形的直观图可能是梯形

D．正方形的直观图可能是平行四边形

3．[2011·宁德三模] 一个锥体的正视图和侧视图如图K39－1所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)

图K39－1

图K39－2

4．[2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图K39－3所示，则相应的侧视图可以为(　　)

　　　　图K39－3　　　　　　图K39－4

5．如图K39－5，直观图所表示的平面图形是(　　)

图K39－5

A．正三角形  B．锐角三角形

C．钝角三角形  D．直角三角形

6．[2011·北京丰台二模]  如图K39－6所示，O是正方体ABCD－A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是(　　)

图K39－6

　图K39－7

7．[2012·惠州二调]  已知某一空间几何体的正视图与侧视图如图K39－8所示，则在下列①②③④⑤对应图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有(　　)

图K39－8

图K39－9

A．①②③⑤  B．②③④⑤

C．①②④⑤  D．①②③④

8．[2010·诏安一中质检] 设计一个杯子，其三视图如图K39－10所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是(　　)

图K39－10

图K39－11

图K39－12

9．[2011·山东卷] 如图K39－12是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图K39－12；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的个数是(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

10．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的________．

11．[2010·广州模拟]  如图K39－13，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

图K39－13

图K39－14

12．[2011·惠州模拟]  已知一几何体的三视图如图K39－14，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

④每个面都是直角三角形的四面体．

13．如图K39－15是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成．

图K39－15

14．(10分)一几何体的表面展开图如图K39－16，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的最长的一条棱的长．

图K39－16

15．(13分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图K39－17所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每1 m2菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(精确到1元)

图K39－17

16．(12分)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．

课时作业(三十九)

【基础热身】

1．D　[解析] ①是错误的，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；对于③，构造斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1，其中侧面A1ABB1和D1DCC1都垂直于底面ABCD(图2)，故③不正确；根据圆柱、圆台的定义和性质可知，②④两个命题是正确的，故选D.

图1

　　　图2

2．D　[解析] 直观图不能保证垂直关系，故A错；平行性不变，B错；由斜二测画法知矩形的直观图为平行四边形，C错；由直观图的斜二测画法知，D正确．故选D.

3．C　[解析] 由正视图和侧视图可知该锥体的长和宽均为1，C中的宽为正三角形的高，显然不为1，故不可能是该锥体的俯视图的是C.

4．D　[解析] 由正视图和俯视图知该几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.

【能力提升】

5．D　[解析] A′C′，B′C′在直观图中分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中AC，BC分别与y轴，x轴平行，所以AC与BC垂直．

6．A　[解析] B项是空间四边形OEC1D1在面ABB1A1上的正投影；C项是空间四边形OEC1D1在面BB1C1C上的正投影；D项是空间四边形OEC1D1在面A1B1C1D1上的正投影，故选A.

7．D　[解析] 图⑤的俯视图长宽不等，与正视图和侧视图反映的信息不符，其他图形都满足要求，故选D.

8．B　[解析] 由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下、大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意．

9．A　[解析] ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．

10.　[解析] 设原三角形底边上的高的长度为h，根据斜二测画法，在直观图中，其长度变为，而且与x轴夹角为45°，设此时直观图中三角形的高为h1，则h1＝sin45°＝h.而底边长度不变，故面积变为原来的.

11．①②③　[解析] 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③，故填①②③.

12．①③④　[解答] 如图所示，长方体为几何体的直观图．

当选择的四个点为B1、B、C、C1时，可知①正确；

当选择B、A、B1、C时，可知③正确；

当选择A、B、D、D1时，可知④正确．

13．5　[解析] 根据题意可知，几何体的最底层有4块长方体，第2层有1块长方体，一共有5块．

14．[解答] 该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱VA与底面ABCD垂直，直观图如图(1)所示．

正视图、侧视图、俯视图分别是等腰直角三角形、等腰直角三角形、正方形，则三视图如图(2)所示．

该几何体的最长的一条棱的长为

VC＝＝6.

15．[解答] 在直观图中，过A′点作A′E⊥B′C′，垂足为E，则在Rt△A′B′E中，A′B′＝1 m，∠A′B′E＝45°，∴B′E＝ m.

而四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1 m，

∴B′C′＝B′E＋EC′＝m.

由此可还原图形，如图所示，在原图形中，AD＝1 m，AB＝2 m，BC＝m，且AD∥BC，AB⊥BC，

∴这块菜地的面积为

S＝(AD＋BC)·AB＝×1＋1＋×2＝(m2)，

所以这块菜地所产生的总的经济效益是300S≈300(2＋0.707)＝812.1≈812(元)．

【难点突破】

16．[解答] 如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C＝，则它的正视图投影长为A1B＝，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，

则a2＋b2＋()2＝2·()2，

即a2＋b2＝8，

又≤，

∴a＋b≤4.

从而a＋b的最大值为4.