2021-2022学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学模拟试卷（word版 含答案）

2021-2022学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学模拟试卷

一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

2．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度是　　

A． B． C． D．

3．如图，交于点，切于点，点在上．若，则为　　

A． B． C． D．

4．下列事件中，是随机事件的是　　

A．在1标准大气压下水加热到时就会沸腾 B．任意写一个一元二次方程，都有两个解 

C．任意画一个三角形，其内角和是         D．任意画一个三角形，都有一个内切圆

5．已知是锐角三角形，若，则　　

A． B． C． D．

6．如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的　　

A． B． C． D．

7．已知中，，，，点为边的中点，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点，在内，点在外，则半径的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．如图，等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．

9．如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，设，图中阴影部分面积，在整个运动过程中，函数值随的变化而变化的情况是　　

A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小

10．如图，是正三角形，，分别是，上的点，其中，以，为邻边向下作一个平行四边形，交于点，延长交于点，连接，若，那么四边形的面积为　　

A．6 B． C． D．7

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．在中，若，则　　．

12．下列说法：①如果下周一降雨的概率是，那么下周一有的时间降雨；②如果彩票中奖的概率是，那么买100张彩票一定会中奖；③抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是0.5，如果大量重复抛这个骰子，那么平均每抛2次就有1次向上一面的点数为奇数；④小王做掷图钉实验，将一枚图钉掷了10次，其中8次钉尖朝上，则该图钉一次钉尖朝上的概率是0.8．其中正确的序号是 　　．

13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为　　．

14．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：

若，两点都在该函数图象上，当时，的取值范围是 　　．

15．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，若面积为，则的范围是　　．

16．如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，和相交于点，且，，则的值为　  　．（用含的式子表示）

三、解答题（第17题6分，18题8分，第19，20，21，22题每题10分，第23题12分，第24题14分共80分）

17．计算：

18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在的方格纸中，画一个格点三角形，使△与格点三角形相似且相似比为．

19．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．

（1）直接写出抛物线的函数关系式；

（2）动点能否在抛物线上？请说明理由；

（3）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．

20．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．

（1）若，，求点到直线的距离；

（2）为了观看舒适，保持，在（1）的情况下，将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．

21．“武汉加油中国加油”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加条生产线后，每条生产线每天可生产口罩个．

（1）直接写出与之间的函数关系式；

（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？

（3）设该厂每天可以生产的口罩个，请求出与的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？

22．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．

（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是多少？（请用树状图求解）

（2）请用树状图说明，踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从谁开始踢？

23．如图1，在中，，是的外接圆，过作，交于，连接交于点，延长至点，使，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）如图2，若点是的内心，，求的长．

24．定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”．

（1）判断下列命题是真命题还是假命题？

①直角三角形的斜边上的高是它的交互线；

②若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形．

（2）如图1，已知为锐角的交互线．

①求证：过外接圆的圆心．

②若，交互线，的半径为16，求的长．

（3）如图2，已知，在中，，它的两条交互线，相交于点，且，，求外接圆的面积（用含，的代数式表示）．

2021-2022学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线，

该抛物线的顶点坐标为，

故选：．

2．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设这栋楼的高度为，

在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，

，

解得：．

故选：．

3．如图，交于点，切于点，点在上．若，则为　　

A． B． C． D．

【解答】解：切于点，

，

，

，

，

由圆周角定理得，，

故选：．

4．下列事件中，是随机事件的是　　

A．在1标准大气压下水加热到时就会沸腾 

B．任意写一个一元二次方程，都有两个解 

C．任意画一个三角形，其内角和是 

D．任意画一个三角形，都有一个内切圆

【解答】解：、在1标准大气压下水加热到时就会沸腾，是必然事件；

、任意写一个一元二次方程，都有两个解，是随机事件；

、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；

、任意画一个三角形，都有一个内切圆，是必然事件；

故选：．

5．已知是锐角三角形，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：是锐角三角形，若，

则，

则．

故选：．

6．如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

．

故选：．

7．已知中，，，，点为边的中点，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点，在内，点在外，则半径的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点，在内，点在外，得

，

故选：．

8．如图，等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，如图，

是圆的切线，

，

是等腰直角三角形，

，

，

图中阴影部分的面积

．

故选：．

9．如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，设，图中阴影部分面积，在整个运动过程中，函数值随的变化而变化的情况是　　

A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小

【解答】解：在中，，，，

，

设，边上的高为，

，

，

，

，

，，

，

当时，随的增大而减小，

当时，随的增大而增大．

故选：．

10．如图，是正三角形，，分别是，上的点，其中，以，为邻边向下作一个平行四边形，交于点，延长交于点，连接，若，那么四边形的面积为　　

A．6 B． C． D．7

【解答】解：如图，连接，

设等边三角形边长为，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

四边形的面积．

故选：．

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．在中，若，则　或　．

【解答】解：设，则，

当为斜边时，，

则；

当为直角边时，，

则；

综上所述，的值为或．

12．下列说法：①如果下周一降雨的概率是，那么下周一有的时间降雨；②如果彩票中奖的概率是，那么买100张彩票一定会中奖；③抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是0.5，如果大量重复抛这个骰子，那么平均每抛2次就有1次向上一面的点数为奇数；④小王做掷图钉实验，将一枚图钉掷了10次，其中8次钉尖朝上，则该图钉一次钉尖朝上的概率是0.8．其中正确的序号是 　③　．

【解答】解：下周一降雨的概率是，说明降雨的可能性是，而不是时间，

①说法错误，

彩票中奖的概率是，是指每次中奖的可能性是，和买多少彩票无关，

②说法错误，

骰子向上一面共有6中情况，其中奇数为3中，

概率为0.5，

大量重复试验时，频率接近概率，

平均每抛2次就有1次向上一面的点数为奇数，

③说法正确，

图钉的尖朝上和背朝上不是等可能事件，

不能直接求概率，

④说法错误，

故答案为③．

13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为　　．

【解答】解：作于，连接．

，，，

在中

，

．

故答案为：．

14．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：

若，两点都在该函数图象上，当时，的取值范围是 　　．

【解答】解：时，；时，，

抛物线的对称轴为直线，

抛物线开口向上，，两点都在该函数图象上，且，

，

解得．

故答案为．

15．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，若面积为，则的范围是　　．

【解答】解：连接，如图，

点为弦的中点，

，

，

点在以为直径的圆上（点、除外），

以为直角作，过点作直线于，交于、，如图，

当时，，则，

当时，，解得，则，

，

，

，

，

，，

，

，即，解得，

，，

，，

当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，

的范围为．

故答案为．

16．如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，和相交于点，且，，则的值为　  　．（用含的式子表示）

【解答】解：

延长交于，延长交的延长线于，

设，，，，

则，，

，，

，

，即，

，

，，，

，

，

，

，

，即，

解得，，

．

故答案为：

三、解答题（第17题6分，18题8分，第19，20，21，22题每题10分，第23题12分，第24题14分共80分）

17．计算：

【解答】解：

．

18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在的方格纸中，画一个格点三角形，使△与格点三角形相似且相似比为．

【解答】解：如图，△即为所求作．

19．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．

（1）直接写出抛物线的函数关系式；

（2）动点能否在抛物线上？请说明理由；

（3）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．

【解答】解：（1），

把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，即，

抛物线的函数关系式为：．

（2）动点不在抛物线上，理由如下：

抛物线的函数关系式为：，

函数的最小值为，

，

动点不在抛物线上；

（3）抛物线的函数关系式为：，

抛物线的开口向上，对称轴为直线，

当时，随的增大而减小，

点，都在抛物线上，且，

．

20．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．

（1）若，，求点到直线的距离；

（2）为了观看舒适，保持，在（1）的情况下，将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．

【解答】解：（1）延长交直线于点，过点作直线于点，如图3所示

在中，，，，

，

，

，

．

，，

，

，即，

，

若，，点到直线的距离为．

（2）依题意画出图形，如图4所示．

在中，，，，

，

，

，

旋转的角度．

21．“武汉加油中国加油”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加条生产线后，每条生产线每天可生产口罩个．

（1）直接写出与之间的函数关系式；

（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？

（3）设该厂每天可以生产的口罩个，请求出与的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？

【解答】解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：；

与之间的函数关系式为，且为整数）；

（2）由题意得：

，

整理得：，

解得：，，

尽可能投入少，

舍去．

答：应该增加5条生产线．

（3）

，

，开口向下，

当时，最大，

又为整数，

当或8时，最大，最大值为6120．

答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．

22．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．

（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是多少？（请用树状图求解）

（2）请用树状图说明，踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从谁开始踢？

【解答】解：（1）画图如下：

共有4种等可能的情况数，其中踢两次后，踢到小智处的有1种，

则踢两次后，踢到小智处的概率是；

（2）应从小强处开始踢．

从小强开始踢，（踢到小强处），

同理，若从小东开始踢，（踢到小强处），

若从小智开始踢，（踢到小强处）．

23．如图1，在中，，是的外接圆，过作，交于，连接交于点，延长至点，使，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）如图2，若点是的内心，，求的长．

【解答】解：（1）如图1，连接，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

为的切线；

（2），，

，

，

，

；

（3）由（2）知：，

，

，

如图2，连接，

，，

点为内心，

，

又，

，

，

．

24．定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”．

（1）判断下列命题是真命题还是假命题？

①直角三角形的斜边上的高是它的交互线；

②若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形．

（2）如图1，已知为锐角的交互线．

①求证：过外接圆的圆心．

②若，交互线，的半径为16，求的长．

（3）如图2，已知，在中，，它的两条交互线，相交于点，且，，求外接圆的面积（用含，的代数式表示）．

【解答】解：（1）①假命题，如图：

，于，

，

，

不应定为，

同理，不应定为，

根据“交互线”定义，不一定是的“交互线”，

“直角三角形的斜边上的高是它的交互线”是假命题；

②真命题，如图：

是角平分线，

，

是的“交互线”，

或，

若，根据三角形内角和定理可得：，

又，

，

是等腰三角形，

若，同理可得是等腰三角形，

“若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形”是真命题；

（2）①延长交于，连接，如图：

为锐角的交互线，

，

，

，即，

为直径，

过外接圆的圆心；

②连接并延长交于，如图：

，外接圆为，

由对称性可得：平分，

，

为的交互线，

，

，

，

又，

，

，

，的半径为16，

，

，

解得，

，

，

；

（3）两条交互线，相交于点，

为外接圆圆心，

设，则，

，

，

，，

，

且，

，

，即，

①，

②，

同理可得：，

③，

④，

①③得，

②④，

，

，

外接圆的面积为．