2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练：2-5与圆有关的比例线段 Word版含解析
展开一、选择题1．如图所示，PC切⊙O于A，PO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AC∶CP＝1∶2，则PO∶OB等于( )．A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．1∶4解析 连接OA，则OA⊥PC，∴△PAO∽△PBC，∴＝，即＝，又∵OA＝OB，AC∶CP＝1∶2，设AC＝x，则CP＝2x，∴CA＝x＝BC，∴＝＝2，∴PO∶OB＝2∶1.答案 A2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为( )． A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6解析 ∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.答案 C3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是( )． A．2 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm解析 由相交弦推论即可得．设另一条弦被分成x cm，4x cm.则2＝x·4x，所以x＝2 cm.所以弦长为10 cm.答案 C4．如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC等于( )．A．2 B.C．2 D．2解析 延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM＝，OC＝2.答案 D二、填空题5．如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．解析 由相交弦定理知EA·EB＝EC·ED. (*)又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3，∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，∴CE＝－4(舍去)或CE＝1.∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.答案 56．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)解析 如题图所示，由于PA、PB均为⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知PA＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.答案 AB OP7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．解析 ∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案 38．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析 设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝PA·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝. 答案 三、解答题9．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.求证：AB＋CD＝AD＋BC证明 因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即AB＋CD＝AD＋BC.10．如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线，垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点. 求证：PC·PD＝AE·AO. 证明 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.11．(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．解 法一 连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝AB＝(AP＋PB)＝(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.因为AB垂直CD于P，所以CP＝CD＝5 cm.在Rt△COP中，由勾股定理，得OC2＝PC2＋PO2，所以(3k)2＝52＋(2k)2，即5k2＝25，所以k＝．所以半径OC＝3k＝3 (cm)．法二 设AP＝k，PB＝5k，由相交弦定理：CP·PD＝AP·PB，即2＝k·5k.∴k＝，∴＝＝3，即⊙O的半径为3 cm.
