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安徽省黄山市2021届高三第二次质量检测（二模）数学（文）试题 Word版含解析
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这是一份安徽省黄山市2021届高三第二次质量检测（二模）数学（文）试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了的实部为，若，则sin，古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过，设函数f，已知F1，F2分别为椭圆E，设抛物线C，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省黄山市高考数学第二次质检试卷（文科）（二模）
一．选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，3} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．的实部为（ ）
A． B． C．﹣ D．
3．若，则sin（2x+）＝（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．（2，3] D．[2，3）
6．已知F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知n为正数，则“n＞1”是“+＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|＝5，若以线段PF为直径的圆与x轴相切，且切点为（﹣2，0），则C的方程为（ ）
A．x2＝4y或x2＝8y B．x2＝2y或x2＝4y
C．x2＝2y或x2＝8y D．x2＝4y或x2＝16y
9．我们常把叫“费马数”，设an＝log2（Fn﹣1），n＝1，2，3…，Sn表示数列{an}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知函数f（x）＝ln2x﹣，设，b＝f（e0.1），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c
11．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．12+12π
12．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞4e3﹣1
C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
13．若一扇形的圆心角为144°，半径为10cm，则扇形的面积为 cm2．
14．已知＝（3，x），＝（﹣1，2），若，则2＝ ．
15．在三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，AB＝3，PA⊥面ABC，且在三角形ABC中，有ccosB＝（2a﹣b）cosC，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16．双曲线Γ：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
17．2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．
月收入（单位百元）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
1
2
3
5
3
4
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；
月收入高于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率．
（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
P（ K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2＝3且a1、a3、a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项和为Sn，求数列{nSn}的前n项和Tn．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是CD的中点，F是底面A1B1C1D1上的动点，且满足AF⊥BE．
（1）求证：平面AEF⊥平面ABCD；
（2）当AF＝EF时，求点C到平面BEF的距离．
20．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M，N不同两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a，g（x）＝f（x）ex﹣m，a，m∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，若对任意实数k，b都有函数y＝g（x）+kx+b的图象与直线y＝kx+b相切，求证：0≤m＜．（参考数据：e3≈20）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，3} C．{2，3} D．{1，2，3}
解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≤0或x≥2}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：C．
2．的实部为（ ）
A． B． C．﹣ D．
解：＝＝＝﹣+i，
则的实部为﹣，
故选：C．
3．若，则sin（2x+）＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为，
所以sin（2x+）＝sin[2（x﹣）+]＝cos2（x﹣）
＝2cos2（x﹣）﹣1
＝2×（）2﹣1
＝﹣．
故选：D．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：4位回文数只用排列前两位数字，后面数字可以确定，
但是第一位不能为0，有9种情况，第二位有10种情况，
∴4位回文数有：9×10＝90．
4位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，
∴四位数的回文数中奇数的个数为：5×10＝50，
∴在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为P＝＝．
故选：C．
5．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．（2，3] D．[2，3）
解：函数f（x）＝的图像如图所示，
函数f（x）在（﹣∞，2]以及（4，+∞）上递增，在[2，4）上递减，
故若函数y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，
需满足2≤m且m+1≤4，
即2≤m≤3，
故选：A．
6．已知F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，
且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，令|PF1|＝3|PF2|＝3n，
则3n+n＝2a，9n2+n2＝4c2，可得a2＝4c2，
所以椭圆的离心率为：e＝＝＝．
故选：B．
7．已知n为正数，则“n＞1”是“+＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为n为正数，n＞1时，+＜1，
可设x＝，x∈（0，1），
则f（x）＝x+lnx，
因为f（x）′＝1﹣＝＞0，
所以f（x）是单调增函数，
所以f（x）＜f（1）＝1，
所以“n＞1”是“+＜1”充要条件．
故选：C．
8．设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|＝5，若以线段PF为直径的圆与x轴相切，且切点为（﹣2，0），则C的方程为（ ）
A．x2＝4y或x2＝8y B．x2＝2y或x2＝4y
C．x2＝2y或x2＝8y D．x2＝4y或x2＝16y
解：由题意知，F（0，），
设点P（m，n），线段PF的中点为Q，则Q（，），
由抛物线的定义知，|PF|＝n+＝5①，
∴Q（，），
∵以线段PF为直径的圆与x轴相切于点（﹣2，0），
∴＝|PF|＝，解得m＝﹣4，
而m2＝2np，∴16＝2np②，
由①②解得，p＝2或8，
∴C的方程为x2＝4y或x2＝16y．
故选：D．
9．我们常把叫“费马数”，设an＝log2（Fn﹣1），n＝1，2，3…，Sn表示数列{an}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：an＝log2（Fn﹣1）＝log2（2+1﹣1）＝2n，
Sn＝＝2n+1﹣2，
则＝＝＝（﹣），
所以++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）＜，
即有2n+1﹣1＜15，即为2n+1＜24，解得n＜3，
则n的最大值为2．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝ln2x﹣，设，b＝f（e0.1），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c
解：∵f（x）＝ln2x﹣的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝+＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又0＜＜＝＜＜1＜e0.1，
∴＜＜f（e0.1），即a＜c＜b，
故选：B．
11．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．12+12π
解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8[13﹣（×13）]＝8﹣，
除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为12×[1×1×2﹣（π×12）×2]＝24﹣6π．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为：（8﹣π）+24﹣6π＝32﹣π．
∴小球可以经过的空间的体积：
V＝43﹣（12﹣×12）×2×12﹣（8﹣π）＝32+．
故选：A．
12．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞4e3﹣1
C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
解：设g（x）＝，
其导数g′（x）＝＝，
又由当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，即f'（x）﹣f（x）﹣1＞0，
则当x＞0时，有g′（x）＞0，
即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
依次分析选项：
对于A，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（3），即＞，
变形可得f（4）+1＞ef（3）+e，
则有f（4）＞ef（3）+e﹣1＞ef（3），A正确，
对于B，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（1），
即＞＝，
变形可得f（4）＞4e3﹣1，B正确，
对于C，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（2），即＞，
变形可得f（4）+1＞e2f（2）+e2，即﹣f（﹣4）+1＞﹣e2f（﹣2）+e2，
则有f（﹣4）＜﹣f（2）+1﹣e2，C错误，
对于D，由B的结论，f（4）＞4e3﹣1，即﹣f（﹣4）＞4e3﹣1，变形可得f（﹣4）＜1﹣4e3，
而（1﹣4e3）﹣（﹣4e2﹣1）＝2﹣4e3+4e2＝2﹣4e2（e﹣1）＜0，
则有f（﹣4）＜1﹣4e3＜﹣4e2﹣1，D正确；
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
13．若一扇形的圆心角为144°，半径为10cm，则扇形的面积为 40π cm2．
解：扇形的圆心角为144°，半径为10cm，
所以扇形的面积为S扇形＝•π•102＝40π（cm2）．
故答案为：40π．
14．已知＝（3，x），＝（﹣1，2），若，则2＝ （3，﹣6） ．
解：因为＝（3，x），＝（﹣1，2），
所以由，有3×2＝（﹣1）×x，解得x＝﹣6，
所以2＝（6，﹣12）+（﹣3，6）＝（3，﹣6），
故答案为：（3，﹣6）．
15．在三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，AB＝3，PA⊥面ABC，且在三角形ABC中，有ccosB＝（2a﹣b）cosC，则该三棱锥外接球的表面积为 20π ．
解：由ccosB＝（2a﹣b）cosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝2sinAcosc﹣sinBcosC，
∴sin（B+C）＝2sinAcosC，
则cosC＝，
∵0＜C＜π，∴C＝，
由正弦定理，＝2r，得三角形ABC的外接圆的半径为r＝，
又由（PA）2+（2r）2＝（2R）2，
得4R2＝，
∴该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝20π，
故答案为：20π．
16．双曲线Γ：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为 y＝±x ．
解：根据题意，作出如下所示的图形，
由题可知，|F1F2|＝2c，由，∴△F1AF2∽△F1BM，∴|F2M|＝4c，
设|AF2|＝m，则|BM|＝3m，
由角分线定理可知，
∵BF2平分∠F1BM，
∴＝＝＝，
∴|BF1|＝，|AF1|＝|BF1|＝，|AB|＝|BF1|＝m，
由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝2a，
∴m﹣m＝2a，即m＝4a①，
|BF1|﹣|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝m﹣2a＝m，∴|BF2|＝|AB|＝|AF2|＝m，即△ABF2是等边三角形，
∴∠F2BM＝∠ABF2＝60°，
在△F2BM中，由余弦定理知，
cos∠F2BM＝，即＝，
化简得，7m2＝16c2②，
由①②可得，＝7，
则b2＝c2﹣a2＝6a2，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故答案为：y＝±x．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
17．2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．
月收入（单位百元）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
1
2
3
5
3
4
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；
月收入高于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率．
（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
P（ K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：（1）2×2列联表如下：
月收入高于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
7
11
18
不赞成
3
29
32
合计
10
40
50
∴，
所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．
（3）按照分层抽样方法可知，月收入在[25，35）的抽4人，记为{a，b，c，d}，月收入在[65，75）的抽2人，记为{A，B}，
则从6人中任取3人的所有情况为：
{A，B，a}、{A，B，b}、{A，B，c}、{A，B，d}、{A，a，b}、{A，a，c}、{A，a，d}、
{A，b，c}、{A，b，d}、{A，c，d}、{B，a，b}、{B，a，c}、{B，a，d}、{B，b，c}、
{B，b，d}、{B，c，d}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，c，d}、{b，c，d}，共20种，
其中至少有一人月收入在[65，75）的情况有16种，
所以3人中至少有1人月收入在[65，75）的概率为．
18．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2＝3且a1、a3、a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项和为Sn，求数列{nSn}的前n项和Tn．
解：（1）设数列{an}的公差为d，则有a1+d＝3，因为a1、a3、a7成等比数列，
所以即，化简得a1＝2d，解得a1＝2，d＝1，…
所以an＝2+（n﹣1）×1＝n+1，
即数列{an}的通项公式为an＝n+1；………………
（2），，，，……………………………
设①，则②，
①﹣②得
＝，，…………………………………………………
． ………………………………………………………………
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是CD的中点，F是底面A1B1C1D1上的动点，且满足AF⊥BE．
（1）求证：平面AEF⊥平面ABCD；
（2）当AF＝EF时，求点C到平面BEF的距离．
【解答】（1）证明：∵，
∴AE2+BE2＝AB2，∴BE⊥AF，
又∵BE⊥AF，AE∩AF＝A，∴BE⊥平面AEF，…………………………
又∵BE⊂平面ABCD，∴平面AEF⊥平面ABCD；………………………………
（2）取AE中点G，连接FG，∵AF＝EF，∴AE⊥FG，
由（1）平面AEF⊥平面ABCD可知FG⊥平面ABCD，∴，
由（1）BE⊥平面AEF，∴BE⊥EF，……………………
设点C到平面BEF的距离为h，∵V三棱锥C﹣BEF＝V三棱锥F﹣BCE，
∴，
解得，
所以点C到平面BEF的距离为． ……………………………
20．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M，N不同两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
解：（1）由题意知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2＝＝＝2，
且e1•e2＝1．所以e1＝＝＝＝，解得a＝2，
所以椭圆方程，…………………………………………
（2）假设该直线过定点且在x轴上，设直线l的方程y＝k（x﹣t），
联立消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ………………＝＝
即，
所以﹣24+6t＝0，t＝4，即直线过定点（4，0）． ………………………………
21．已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a，g（x）＝f（x）ex﹣m，a，m∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，若对任意实数k，b都有函数y＝g（x）+kx+b的图象与直线y＝kx+b相切，求证：0≤m＜．（参考数据：e3≈20）
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）f'（x）＝aex﹣1，
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，函数f（x）在R上单调递减，……………………………
当a＞0时，由f'（x）＞0得x＞﹣lna，由f'（x）＜0得x＜﹣lna，故函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增；…………………………………
（2）证明：设切点为（x0，y0），则g'（x0）+k＝k且g（x0）+kx0+b＝kx0+b，即g'（x0）＝0，g（x0）＝0，g（x）＝（ex﹣x﹣1）ex﹣m，g'（x）＝（2ex﹣x﹣2）ex，
由g'（x0）＝0得，
设h（x）＝2ex﹣x﹣2，则h'（x）＝2ex﹣1，h'（x）＞0得x＞﹣ln2，h'（x）＜0得x＜﹣ln2，
故h（x）在（﹣∞，﹣ln2）上单调递减，在（﹣ln2，+∞）上单调递增，
1°在单调递增区间（﹣ln2，+∞）上，h（0）＝0，故x0＝0，由g（x0）＝0得m＝0………
2°在单调递减区间（﹣∞，﹣ln2）上，h（﹣2）＝2e﹣2＞0，，
故在区间上存在唯一的x0，使得，故，………
此时由g（x0）＝0，得＝＝，
函数在上递增，φ（﹣2）＝0，，故．
综上1°2°所述，． ………………………………………………………
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值．
解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），转换为直角坐标法方程为，根据，转换为极坐标方程为，
整理得．
曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（2）根据（1）的结论，
|OA|2+|OB|2＝＝，
由于0＜α＜，故1＜1+2sin2θ＜3，
故∈（1，7），
故没有最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|＜2，
①当x≤﹣1时，则2﹣2x+（x+1）＜2，∴x＞1，∴无解，
②当﹣1＜x＜1时，则2﹣2x﹣（x+1）＜2，∴﹣＜x＜1，
③当x≥1时，则2x﹣2﹣（x+1）＜2，∴1≤x＜5，
∴不等式f（x）＜2 的解集为（﹣，5）．
（2）若a＞0，
①当x≤﹣1时，则f（x）＝a+1﹣x，
②当﹣1＜x＜时，f（x）＝a﹣1﹣3x，
③当x≥时，f（x）＝x﹣a﹣1，
∵f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（）＝﹣﹣1，
∵f（x）+3＞0恒成立，∴f（x）min＞﹣3，
即﹣﹣1＞﹣3，解得a＜4，又∵a＞0，
∴a的取值范围为（0，4）．
2021年安徽省黄山市高考数学第二次质检试卷（文科）（二模）
一．选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，3} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．的实部为（ ）
A． B． C．﹣ D．
3．若，则sin（2x+）＝（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．（2，3] D．[2，3）
6．已知F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知n为正数，则“n＞1”是“+＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|＝5，若以线段PF为直径的圆与x轴相切，且切点为（﹣2，0），则C的方程为（ ）
A．x2＝4y或x2＝8y B．x2＝2y或x2＝4y
C．x2＝2y或x2＝8y D．x2＝4y或x2＝16y
9．我们常把叫“费马数”，设an＝log2（Fn﹣1），n＝1，2，3…，Sn表示数列{an}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知函数f（x）＝ln2x﹣，设，b＝f（e0.1），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c
11．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．12+12π
12．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞4e3﹣1
C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
13．若一扇形的圆心角为144°，半径为10cm，则扇形的面积为 cm2．
14．已知＝（3，x），＝（﹣1，2），若，则2＝ ．
15．在三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，AB＝3，PA⊥面ABC，且在三角形ABC中，有ccosB＝（2a﹣b）cosC，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16．双曲线Γ：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
17．2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．
月收入（单位百元）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
1
2
3
5
3
4
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；
月收入高于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率．
（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
P（ K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2＝3且a1、a3、a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项和为Sn，求数列{nSn}的前n项和Tn．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是CD的中点，F是底面A1B1C1D1上的动点，且满足AF⊥BE．
（1）求证：平面AEF⊥平面ABCD；
（2）当AF＝EF时，求点C到平面BEF的距离．
20．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M，N不同两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a，g（x）＝f（x）ex﹣m，a，m∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，若对任意实数k，b都有函数y＝g（x）+kx+b的图象与直线y＝kx+b相切，求证：0≤m＜．（参考数据：e3≈20）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，3} C．{2，3} D．{1，2，3}
解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≤0或x≥2}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：C．
2．的实部为（ ）
A． B． C．﹣ D．
解：＝＝＝﹣+i，
则的实部为﹣，
故选：C．
3．若，则sin（2x+）＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为，
所以sin（2x+）＝sin[2（x﹣）+]＝cos2（x﹣）
＝2cos2（x﹣）﹣1
＝2×（）2﹣1
＝﹣．
故选：D．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：4位回文数只用排列前两位数字，后面数字可以确定，
但是第一位不能为0，有9种情况，第二位有10种情况，
∴4位回文数有：9×10＝90．
4位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，
∴四位数的回文数中奇数的个数为：5×10＝50，
∴在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为P＝＝．
故选：C．
5．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．（2，3] D．[2，3）
解：函数f（x）＝的图像如图所示，
函数f（x）在（﹣∞，2]以及（4，+∞）上递增，在[2，4）上递减，
故若函数y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，
需满足2≤m且m+1≤4，
即2≤m≤3，
故选：A．
6．已知F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，
且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，令|PF1|＝3|PF2|＝3n，
则3n+n＝2a，9n2+n2＝4c2，可得a2＝4c2，
所以椭圆的离心率为：e＝＝＝．
故选：B．
7．已知n为正数，则“n＞1”是“+＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为n为正数，n＞1时，+＜1，
可设x＝，x∈（0，1），
则f（x）＝x+lnx，
因为f（x）′＝1﹣＝＞0，
所以f（x）是单调增函数，
所以f（x）＜f（1）＝1，
所以“n＞1”是“+＜1”充要条件．
故选：C．
8．设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|＝5，若以线段PF为直径的圆与x轴相切，且切点为（﹣2，0），则C的方程为（ ）
A．x2＝4y或x2＝8y B．x2＝2y或x2＝4y
C．x2＝2y或x2＝8y D．x2＝4y或x2＝16y
解：由题意知，F（0，），
设点P（m，n），线段PF的中点为Q，则Q（，），
由抛物线的定义知，|PF|＝n+＝5①，
∴Q（，），
∵以线段PF为直径的圆与x轴相切于点（﹣2，0），
∴＝|PF|＝，解得m＝﹣4，
而m2＝2np，∴16＝2np②，
由①②解得，p＝2或8，
∴C的方程为x2＝4y或x2＝16y．
故选：D．
9．我们常把叫“费马数”，设an＝log2（Fn﹣1），n＝1，2，3…，Sn表示数列{an}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：an＝log2（Fn﹣1）＝log2（2+1﹣1）＝2n，
Sn＝＝2n+1﹣2，
则＝＝＝（﹣），
所以++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）＜，
即有2n+1﹣1＜15，即为2n+1＜24，解得n＜3，
则n的最大值为2．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝ln2x﹣，设，b＝f（e0.1），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c
解：∵f（x）＝ln2x﹣的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝+＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又0＜＜＝＜＜1＜e0.1，
∴＜＜f（e0.1），即a＜c＜b，
故选：B．
11．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．12+12π
解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8[13﹣（×13）]＝8﹣，
除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为12×[1×1×2﹣（π×12）×2]＝24﹣6π．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为：（8﹣π）+24﹣6π＝32﹣π．
∴小球可以经过的空间的体积：
V＝43﹣（12﹣×12）×2×12﹣（8﹣π）＝32+．
故选：A．
12．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞4e3﹣1
C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
解：设g（x）＝，
其导数g′（x）＝＝，
又由当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，即f'（x）﹣f（x）﹣1＞0，
则当x＞0时，有g′（x）＞0，
即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
依次分析选项：
对于A，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（3），即＞，
变形可得f（4）+1＞ef（3）+e，
则有f（4）＞ef（3）+e﹣1＞ef（3），A正确，
对于B，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（1），
即＞＝，
变形可得f（4）＞4e3﹣1，B正确，
对于C，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（2），即＞，
变形可得f（4）+1＞e2f（2）+e2，即﹣f（﹣4）+1＞﹣e2f（﹣2）+e2，
则有f（﹣4）＜﹣f（2）+1﹣e2，C错误，
对于D，由B的结论，f（4）＞4e3﹣1，即﹣f（﹣4）＞4e3﹣1，变形可得f（﹣4）＜1﹣4e3，
而（1﹣4e3）﹣（﹣4e2﹣1）＝2﹣4e3+4e2＝2﹣4e2（e﹣1）＜0，
则有f（﹣4）＜1﹣4e3＜﹣4e2﹣1，D正确；
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
13．若一扇形的圆心角为144°，半径为10cm，则扇形的面积为 40π cm2．
解：扇形的圆心角为144°，半径为10cm，
所以扇形的面积为S扇形＝•π•102＝40π（cm2）．
故答案为：40π．
14．已知＝（3，x），＝（﹣1，2），若，则2＝ （3，﹣6） ．
解：因为＝（3，x），＝（﹣1，2），
所以由，有3×2＝（﹣1）×x，解得x＝﹣6，
所以2＝（6，﹣12）+（﹣3，6）＝（3，﹣6），
故答案为：（3，﹣6）．
15．在三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，AB＝3，PA⊥面ABC，且在三角形ABC中，有ccosB＝（2a﹣b）cosC，则该三棱锥外接球的表面积为 20π ．
解：由ccosB＝（2a﹣b）cosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝2sinAcosc﹣sinBcosC，
∴sin（B+C）＝2sinAcosC，
则cosC＝，
∵0＜C＜π，∴C＝，
由正弦定理，＝2r，得三角形ABC的外接圆的半径为r＝，
又由（PA）2+（2r）2＝（2R）2，
得4R2＝，
∴该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝20π，
故答案为：20π．
16．双曲线Γ：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为 y＝±x ．
解：根据题意，作出如下所示的图形，
由题可知，|F1F2|＝2c，由，∴△F1AF2∽△F1BM，∴|F2M|＝4c，
设|AF2|＝m，则|BM|＝3m，
由角分线定理可知，
∵BF2平分∠F1BM，
∴＝＝＝，
∴|BF1|＝，|AF1|＝|BF1|＝，|AB|＝|BF1|＝m，
由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝2a，
∴m﹣m＝2a，即m＝4a①，
|BF1|﹣|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝m﹣2a＝m，∴|BF2|＝|AB|＝|AF2|＝m，即△ABF2是等边三角形，
∴∠F2BM＝∠ABF2＝60°，
在△F2BM中，由余弦定理知，
cos∠F2BM＝，即＝，
化简得，7m2＝16c2②，
由①②可得，＝7，
则b2＝c2﹣a2＝6a2，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故答案为：y＝±x．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
17．2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．
月收入（单位百元）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
1
2
3
5
3
4
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；
月收入高于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率．
（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
P（ K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：（1）2×2列联表如下：
月收入高于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
7
11
18
不赞成
3
29
32
合计
10
40
50
∴，
所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．
（3）按照分层抽样方法可知，月收入在[25，35）的抽4人，记为{a，b，c，d}，月收入在[65，75）的抽2人，记为{A，B}，
则从6人中任取3人的所有情况为：
{A，B，a}、{A，B，b}、{A，B，c}、{A，B，d}、{A，a，b}、{A，a，c}、{A，a，d}、
{A，b，c}、{A，b，d}、{A，c，d}、{B，a，b}、{B，a，c}、{B，a，d}、{B，b，c}、
{B，b，d}、{B，c，d}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，c，d}、{b，c，d}，共20种，
其中至少有一人月收入在[65，75）的情况有16种，
所以3人中至少有1人月收入在[65，75）的概率为．
18．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2＝3且a1、a3、a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项和为Sn，求数列{nSn}的前n项和Tn．
解：（1）设数列{an}的公差为d，则有a1+d＝3，因为a1、a3、a7成等比数列，
所以即，化简得a1＝2d，解得a1＝2，d＝1，…
所以an＝2+（n﹣1）×1＝n+1，
即数列{an}的通项公式为an＝n+1；………………
（2），，，，……………………………
设①，则②，
①﹣②得
＝，，…………………………………………………
． ………………………………………………………………
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是CD的中点，F是底面A1B1C1D1上的动点，且满足AF⊥BE．
（1）求证：平面AEF⊥平面ABCD；
（2）当AF＝EF时，求点C到平面BEF的距离．
【解答】（1）证明：∵，
∴AE2+BE2＝AB2，∴BE⊥AF，
又∵BE⊥AF，AE∩AF＝A，∴BE⊥平面AEF，…………………………
又∵BE⊂平面ABCD，∴平面AEF⊥平面ABCD；………………………………
（2）取AE中点G，连接FG，∵AF＝EF，∴AE⊥FG，
由（1）平面AEF⊥平面ABCD可知FG⊥平面ABCD，∴，
由（1）BE⊥平面AEF，∴BE⊥EF，……………………
设点C到平面BEF的距离为h，∵V三棱锥C﹣BEF＝V三棱锥F﹣BCE，
∴，
解得，
所以点C到平面BEF的距离为． ……………………………
20．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M，N不同两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
解：（1）由题意知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2＝＝＝2，
且e1•e2＝1．所以e1＝＝＝＝，解得a＝2，
所以椭圆方程，…………………………………………
（2）假设该直线过定点且在x轴上，设直线l的方程y＝k（x﹣t），
联立消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ………………＝＝
即，
所以﹣24+6t＝0，t＝4，即直线过定点（4，0）． ………………………………
21．已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a，g（x）＝f（x）ex﹣m，a，m∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，若对任意实数k，b都有函数y＝g（x）+kx+b的图象与直线y＝kx+b相切，求证：0≤m＜．（参考数据：e3≈20）
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）f'（x）＝aex﹣1，
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，函数f（x）在R上单调递减，……………………………
当a＞0时，由f'（x）＞0得x＞﹣lna，由f'（x）＜0得x＜﹣lna，故函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增；…………………………………
（2）证明：设切点为（x0，y0），则g'（x0）+k＝k且g（x0）+kx0+b＝kx0+b，即g'（x0）＝0，g（x0）＝0，g（x）＝（ex﹣x﹣1）ex﹣m，g'（x）＝（2ex﹣x﹣2）ex，
由g'（x0）＝0得，
设h（x）＝2ex﹣x﹣2，则h'（x）＝2ex﹣1，h'（x）＞0得x＞﹣ln2，h'（x）＜0得x＜﹣ln2，
故h（x）在（﹣∞，﹣ln2）上单调递减，在（﹣ln2，+∞）上单调递增，
1°在单调递增区间（﹣ln2，+∞）上，h（0）＝0，故x0＝0，由g（x0）＝0得m＝0………
2°在单调递减区间（﹣∞，﹣ln2）上，h（﹣2）＝2e﹣2＞0，，
故在区间上存在唯一的x0，使得，故，………
此时由g（x0）＝0，得＝＝，
函数在上递增，φ（﹣2）＝0，，故．
综上1°2°所述，． ………………………………………………………
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值．
解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），转换为直角坐标法方程为，根据，转换为极坐标方程为，
整理得．
曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（2）根据（1）的结论，
|OA|2+|OB|2＝＝，
由于0＜α＜，故1＜1+2sin2θ＜3，
故∈（1，7），
故没有最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|＜2，
①当x≤﹣1时，则2﹣2x+（x+1）＜2，∴x＞1，∴无解，
②当﹣1＜x＜1时，则2﹣2x﹣（x+1）＜2，∴﹣＜x＜1，
③当x≥1时，则2x﹣2﹣（x+1）＜2，∴1≤x＜5，
∴不等式f（x）＜2 的解集为（﹣，5）．
（2）若a＞0，
①当x≤﹣1时，则f（x）＝a+1﹣x，
②当﹣1＜x＜时，f（x）＝a﹣1﹣3x，
③当x≥时，f（x）＝x﹣a﹣1，
∵f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（）＝﹣﹣1，
∵f（x）+3＞0恒成立，∴f（x）min＞﹣3，
即﹣﹣1＞﹣3，解得a＜4，又∵a＞0，
∴a的取值范围为（0，4）．
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