高中人教版新课标A第二章 推理与证明综合与测试课后练习题

2.2.2　反证法

1．实数a，b，c不全为0等价于

(　　)．

A．a，b，c均不为0

B．a，b，c中至多有一个为0

C．a，b，c中至少有一个为0

D．a，b，c中至少有一个不为0

解析　不全为0即至少有一个不为0，故选D.

答案　D

2．下列命题错误的是

(　　)．

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数

解析　a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．

答案　D

3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数

(　　)．

A．至少有一个不大于2  B．都小于2

C．至少有一个不小于2  D．都大于2

解析　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6     ①，

而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6       ②，

显然①，②矛盾，所以C正确．

答案　C

4．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是________．

答案　a≤b

5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．

答案　至少有两个内角是直角

6．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．

证明　假设AC⊥平面SOB，如图，

∵直线SO在平面SOB内，

∴SO⊥AC.

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.

∴SO⊥平面SAB.

∴平面SAB∥底面圆O.

这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．

7．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则

(　　)．

A．a，b都与l相交

B．a，b中至少有一条与l相交

C．a，b中至多有一条与l相交

D．a，b都不与l相交

解析　逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B.

答案　B

8．以下各数不能构成等差数列的是

(　　)．

A．3,4,5     B.，，

C．3,6,9     D.，，

解析　假设，，成等差数列，则2＝＋，即12＝7＋2，此等式不成立，故，，不成等差数列．

答案　B

9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．

解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

10．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．

解析　“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．

答案　a，b不全为0

11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．

证明　设f(x)＝0有一个整数根k，则

ak2＋bk＝－c.              ①

又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，

∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；

当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，

则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．

12．(创新拓展)已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立．

证明　法一(直接证法)　由an＋1＝f(an)得an＋1＝，

∴＝－＋＝－22＋≤，

∴an＋1<0或an＋1≥2；

(1)若an＋1<0，则an＋1<0<3，

∴结论“当n≥2时，恒有an<3”成立；

(2)若an＋1≥2，

则当n≥2时，有an＋1－an＝－an＝＝≤0，

∴an＋1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减；

由a2＝＝＝<3，

可知an≤a2<3，在n≥2时成立．

综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有an<3成立．

法二　(用反证法)　假设an≥3(n≥2)，

则由已知得an＋1＝f(an)＝，

∴当n≥2时，＝＝·≤＝<1，(∵an－1≥3－1)，

又易证an>0，∴当n≥2时，an＋1<an，

∴当n>2时，an<an－1<…<a2；

而当n＝2时，a2＝＝＝<3，

∴当n≥2时，an<3；

这与假设矛盾，故假设不成立，

∴当n≥2时，恒有an<3成立．