人教版新课标B选修2-31.3.2杨辉三角教学设计

1.3.2二项式定理----杨辉三角

学习目标：

1掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1），

（2）.

2．二项展开式的通项公式：

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5．二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

二、讲解范例：

例1． 设，

当时，求的值

解：令得：

，

∴，

点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例2．求证：．

证（法一）倒序相加：设       ①

又∵　　　②

∵，∴，   

由①+②得：，

∴，即．

（法二）：左边各组合数的通项为

，

∴ ．

例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项

解：令，则展开式中各项系数和为，

又展开式中二项式系数和为，

∴，．

（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴，，

（2）设展开式中第项系数最大，则，

∴，∴，

即展开式中第项系数最大，．

例4．已知，

求证：当为偶数时，能被整除

分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式

 ∵，

∴，∵为偶数，∴设（），

∴

            （） ，

当=时，显然能被整除，

当时，（）式能被整除，

所以，当为偶数时，能被整除

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三、课堂练习：

1．展开式中的系数为   ，各项系数之和为     ．

2．多项式（）的展开式中，的系数为  

3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）

 A.4               B.5              C.6             D.8

4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应   （ ）

 A.低于5％             B.在5％～6％之间    

C.在6％～8％之间      D.在8％以上

5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）

A.0       B.         C.       D.

6．求和：．

7．求证：当且时，．

8．求的展开式中系数最大的项 

答案：1. 45, 0    2.  0  ．提示：

3. B    4. C   5. D   6.

7. (略)      8.

四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 

高考资源网五、课后作业：

1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值

答案：

2．设

求：①    ②．

答案：①；  ②

3．求值：．

答案：

4．设，试求的展开式中：

（1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

答案：（1）；  

（2）所有偶次项的系数和为；

所有奇次项的系数和为

六、板书设计（略）

七、课后记：  

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