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中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第21讲 概率的应用（解析版）学案
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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第21讲 概率的应用（解析版）学案，共26页。学案主要包含了概率的概念，概率的计算，概率的应用，判断游戏的公平性，概率与几何知识的综合应用，概率与统计知识的综合应用，概率与物理知识的综合应用等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点二十一：概率的应用
聚焦考点☆温习理解
一、概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
二、概率的计算
1.实验法
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
2. 公式法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝
3. 列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
4. 画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
5. 几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
三、概率的应用
1.摸球问题
2.掷正方体骰子问题
3.转盘问题
4. 判断游戏的公平性
5.概率与几何知识的综合应用
6. 概率与代数知识的综合应用
7. 概率与统计知识的综合应用
8. 概率与物理知识的综合应用
名师点睛☆典例分类
考点典例一、摸球问题
【例1】(2019•河南•3分)现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
黄
红
红
红
(黄，红)
(红，红)
(红，红)
红
(黄，红)
(红，红)
(红，红)
白
(黄，白)
(红，白)
(红，白)
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
【举一反三】
1. (2018山东济南市历下区五十中学中考模拟)一个暗箱里装有10个黑球,8个红球,12个白球,每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故选D.
2. (2018河南省商丘市中考数学模拟)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意可画树状图为：
根据题意可知共有16种可能的情况，而和等于6的情况只有3种可能，因此标号的和为6的概率为.
故选：C
考点典例二、掷正方体骰子问题
【例2】(2019•湖北省荆门市•3分)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是( )
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
【举一反三】
(2017广东省深圳市罗湖区二模)将一质地均匀的正方体骰子朝上一面的数字，与3相差1的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将一质地均匀的正方体骰子掷一次，共有6种等可能的结果，与点数3相差1的有2，4，
∴与点数3相差1的概率是： .
故选D.
考点典例三、转盘问题
【例3】(2019•山东潍坊•9分)如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
数字
3
5
2
3
3
4
3
5
(1)求前8次的指针所指数字的平均数．
(2)小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)
【分析】(1)根据平均数的定义求解可得；
(2)由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5知后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，再画树状图求解可得．
【解答】解：(1)前8次的指针所指数字的平均数为×(3+5+2+3+3+4+3+5)＝3.5；
(2)∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为＝．
【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2:3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】
点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
考点典例四、判断游戏的公平性
【例4】(2019云南7分)甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【解析】
解：(1)方法一：列表法如下：
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(x，y)所有可能出现的结果共有16种.………………………………4分
方法二：树形图(树状图)法如下：
(x，y)所有可能出现的结果共有16种。………………………………4分
(2)这个游戏对双方公平.理由如下：
由列表法或树状图法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等.
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝………………………………6分
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜).
∴这个游戏对双方公平.………………………………………………………………7分
【点睛】该题考查的是随机事件概率的应用，判断游戏的公平性．游戏是否公平关键看在规则下双方获胜的概率是否相等，相等说明游戏公平，否则不公平．
【举一反三】
(2018年浙江省杭州市中考数学仿真二)某学校要举办一次演讲比赛，每班只能选一人参加比赛．但八年级一班共有甲、乙两人的演讲水平相不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，经班主任与全班同学协商决定用摸小球的游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．
游戏规则如下：在两个不透明的盒子中，一个盒子里放着两个红球，一个白球；另一个盒子里放着三个白球，一个红球，从两个盒子中各摸一个球，若摸得的两个球都是红球，甲胜；摸得的两个球都是白球，乙胜，否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
根据上述规则回答下列问题：
(1)从两个盒子各摸出一个球，一个球为白球，一个球为红球的概率是多少？
(2)该游戏公平吗？请用列表或树状图等方法说明理由．
【答案】(1)一个球为白球，一个球为红球的概率是；
(2)该游戏规则不公平.
【解析】试题分析：(1)画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式计算即可得；
(2)分别求出甲获胜和乙获胜的概率，比较后即可得．
试题解析：(1)画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能情形，其中一个球为白球，一个球为红球的有7种，
∴一个球为白球，一个球为红球的概率是；
(2)由(1)中树状图可知，P(甲获胜)=，P(乙获胜)=，
∵，
∴该游戏规则不公平．
考点典例五、概率与几何知识的综合应用
【例5】(2019•贵阳•3分)如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形(每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同)，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是( )
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：＝．
故选：D．
【举一反三】
(山东省枣庄市滕州市鲍沟中学中考模拟)如图，在4张背面完全相同的卡片上分别印有不同的图案．现将印有图案的一面朝下洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率是( )．
A． B． C． D．1
【答案】B．
考点：概率公式；中心对称图形．
考点典例五、概率与代数知识的综合应用
【例6】(2019•江苏扬州•8分)只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17.
(1)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的
概率是 ；
(2)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.
【解析】：
（1） 总共有四个，7有一个，所以概率就是1÷4=
（2） 根据题意得：
∴抽到两个素数之和等于30的概率是4÷12=
【考点】：概率，素数的定义
【举一反三】
1. (2018四川省广元中学中考模拟)已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组
(﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4)中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方时的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题解析：这个函数的对称轴是x=，当k为2或者1这两个数的时候，所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方，所以概率为．
故选B．
2. 4张相同的卡片上分别写有数字-1、-3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀.
(1)从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
(2)从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】(1)；(2).
【解析】解：(1)总共有四个，奇数有两个，所以概率就是
(2)根据题意得：一次函数图形过第一、二、四象限，则
∴图象经过第一、二、四象限的概率是.
分析：(1)直接利用概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次获胜的性质，找出k＜0，b＞0的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：(1)从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率=；
故答案为；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．
考点典例七、概率与统计知识的综合应用
【例7】(2019湖北省鄂州市)．(8分)某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
11
20
40
m
4
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计表中m的值为 25 ，统计图中n的值为 25 ，A类对应扇形的圆心角为 39.6 度；
(2)该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
(3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
【分析】(1)先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：(1)∵样本容量为20÷20%＝100，
∴m＝100﹣(11+20+40+4)＝25，n%＝×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°×＝39.6°，
故答案为：25、25、39.6．
(2)1500×＝300(人)
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
(3)画树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
【举一反三】[来源:Z.xx.k.Com]
(2018年山东省济南市天桥区中考二模)为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
(1)本次问卷调查共抽查了 名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)请你估计该校约有 名学生最喜爱打篮球；
(4)学校准备从喜欢跳绳活动的4人(三男一女)中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或树状图的方法，求抽到一男一女的概率．
【答案】(1)50；(2)补图见解析；(3)360；(4)
【解析】试题分析：(1)利用喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；
(2)先计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；
(3)用1500乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数；
(4)通过列表展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女的结果数，然后估计概率公式求解．
解：(1)调查的总人数为12÷24%=50(人)；
(2)喜欢乒乓球的人数=50﹣12﹣17﹣7﹣4=10(人)，
补全条形统计图为：
(3)1500×24%=36，
所以估计该校约有360名学生最喜爱打篮球；
(4)列表如下：
[来源:学科网ZXXK]
男1
男2
男3
女
男1
――――
(男2，男1)
(男3，男1)
(女，男1)
男2
(男1，男2)
――――
(男3，男2)
(女，男2)
男3
(男1，男3)
(男2，男3)
――――
(女，男3)
女
(男1，女)
(男2，女)
(男3，女)
――――
共有12种等可能的结果数，其中一男一女的情况有6种，
所以抽到一男一女的概率==．
考点：条形统计图，用用样本估计总体，随机事件的概率.
考点典例八、概率与物理知识的综合应用
【例8】(2019•四川省达州市•3分)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【解答】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光
所以P(灯泡发光)＝．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝．
【举一反三】
(湖北武汉市武昌区十四中2018年九年级数学中考模拟)如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是 ．
【答案】
考点：(1)概率公式；(2)概率的意义
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1．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )
A. B. C. D.
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
详解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，
故选B．
点睛：本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
2．(2019四川乐山)小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为x+1＜2的解集是x＜1，六个数中满足条件的有2个，
故概率是.
3．(2018江苏省无锡市二模)现有A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P()，那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：易知P(x,y)的点总共有36种情况。
当x=1时，y=3；当x=2时，y=4；当x=3时，y=5；当x=4时，y=6；共4种情况在直线上
故概率为；故选C
考点：概率计算
4．(2019山东枣庄)从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m，n)在函数y＝图象的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】解：∵点(m，n)在函数y＝的图象上，∴mn＝6．
列表如下：
m
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
n
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
mn
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
mn的值为6的概率是．
故选：B．
5．(2018年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
考点：1．概率公式；2．中心对称图形．
6．(内蒙古杭锦旗2018届初中毕业第一次模)如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：
所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的一共有9个，
能构成轴对称图形的有所标数据1,2,3,4,共4个,则所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为：.
故选：D.
7．(2018山东潍坊中考模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B=45o，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切. 向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率是( ).
A. 1- B. C. 1- D.
【答案】A
【解析】如图，
设切点为E，F，连接AE，
∵以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，∴AE⊥BC，
∵∠B=45°，∴AE=BE=AB,∠BAC=135°，∴=BC⋅AE=，
=−=
∴飞镖插在阴影区域的概率=1− ，故选A.
8．(2018内蒙古呼和浩特中考模拟)如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵随机闭合开关、 、 中的两个,共有3种情况： , , ，
能让灯泡发光的有 、 两种情况。
∴能让灯泡发光的概率为.故选B.
9．(2019山东德州)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】解：(1)画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为，
故选：C．
10．(重庆合川区清平中学2018年九年级数学中考模拟)小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )
A. 对小明有利 B. 对小亮有利
C. 游戏公平 D. 无法确定对谁有利
【答案】C
【解析】根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇；由此可得两人获胜的概率相等，故游戏公平．
11．(黑龙江省大庆市杜尔伯特县第二中学2018届九年级3月模拟)经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题解析：列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是.
故选A．
12．黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_____________.
【答案】；
【解析】试题解析：列表得：
1
2
3
4
1
−−−
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
−−−
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
−−−
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
−−−
所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，
则
故答案为:
13. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．
14．(黑龙江省鹤岗市2018届中考数学一模)将一枚质地均匀的硬币连续掷三次，两次是正面朝上的概率是________．
【答案】
【解析】画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，两次都是正面朝上的有4种情况，
∴两次都是正面朝上的概率是： ；
故答案是： ．
15．(浙江省宁波市鄞州实验中学2018届九年级3月联考数学试题)一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为________________________．
【答案】
【解析】试题解析：根据题意可得：在不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，共9个，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为.
16．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是__________．
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】6
点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
17．(2019四川凉山州)某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统
计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；
(2)在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校
决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
【答案】(1)40；(2)90°；(3)见解析；(4)．
【解析】解：(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40(人)，
故答案为：40；
(2)扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：90°．
(3)获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4(人)，
条形统计图为：
(4)由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率是.
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
18．(2018年甘肃省兰州中考模拟)“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
(1)该顾客至多可得到 元购物券；
(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
【答案】(1)70；(2).
【解析】试题分析：(1)由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70(元)；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：(1)则该顾客至多可得到购物券：50+20=70(元)；
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：．
19. 图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.
(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
(2)现将方格内空白的小正方形(，，，，，)中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【来源】甘肃省定西市2018年中考数学试卷(含答案)
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：(1)正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，根据概率的计算法则得出答案；(2)首先根据题意得出所有可能出现的情况，然后根据轴对称图形的性质得出符合条件的情况，从而得出答案．
详解：解：(1)∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，
∴米粒落在阴影部分的概率是=；
点睛：本题主要考查的是概率的计算法则以及轴对称图形的性质，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键
20．(2019四川广安)为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活
动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查
数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ．
(2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女)中随机选
送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】(1)200，84，15；(2)1124人；(3)．
【解析】解：(1)68÷34%＝200，
所以本次调查共抽取了200名学生，
m＝200×42%＝84，
n%＝×100%＝15%，即n＝15；
(2)3600×34%＝1124，
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1124人；
(3)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率＝．
21.(2018年重庆中考模拟)某校团委为积极参与“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，向学校学生征集书画作品，今年3月份举行了“书画比赛”初赛，初赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级。该校七年级书法班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题。
该校七年级书法班共有 名学生; 扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度，并补全条形统计图;
A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生参加“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率。
【答案】(1)50，144；图见解析；(2) .
【解析】试题分析：(1)用A等级的人数除以A等级所占的百分比求出总人数，再用360°乘以C等级所占的百分比求出C等级所对应扇形的圆心角的度数，再用总人数减去A、C、D、E等级的人数，求出B等级的人数，从而补全统计图；
(2)根据题意先列表，得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
(1)该校七年级书法班共有学生人数是： =50(人)；
扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角度数是：360°×=144°；
B等级的人数是：50−4−20−8−2=16(人)，补图如下：
(2)列表如下：
男
男
女
女
男
﹣﹣﹣
(男，男)
(女，男)
(女，男)
男
(男，男)
﹣﹣﹣
(女，男)
(女，男)
女
(男，女)
(男，女)
﹣﹣﹣
(女，女)
女
(男，女)
(男，女)
(女，女)
﹣﹣﹣
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=．
中考数学一轮复习讲义
考点二十一：概率的应用
聚焦考点☆温习理解
一、概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
二、概率的计算
1.实验法
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
2. 公式法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝
3. 列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
4. 画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
5. 几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
三、概率的应用
1.摸球问题
2.掷正方体骰子问题
3.转盘问题
4. 判断游戏的公平性
5.概率与几何知识的综合应用
6. 概率与代数知识的综合应用
7. 概率与统计知识的综合应用
8. 概率与物理知识的综合应用
名师点睛☆典例分类
考点典例一、摸球问题
【例1】(2019•河南•3分)现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
黄
红
红
红
(黄，红)
(红，红)
(红，红)
红
(黄，红)
(红，红)
(红，红)
白
(黄，白)
(红，白)
(红，白)
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
【举一反三】
1. (2018山东济南市历下区五十中学中考模拟)一个暗箱里装有10个黑球,8个红球,12个白球,每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故选D.
2. (2018河南省商丘市中考数学模拟)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意可画树状图为：
根据题意可知共有16种可能的情况，而和等于6的情况只有3种可能，因此标号的和为6的概率为.
故选：C
考点典例二、掷正方体骰子问题
【例2】(2019•湖北省荆门市•3分)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是( )
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
【举一反三】
(2017广东省深圳市罗湖区二模)将一质地均匀的正方体骰子朝上一面的数字，与3相差1的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将一质地均匀的正方体骰子掷一次，共有6种等可能的结果，与点数3相差1的有2，4，
∴与点数3相差1的概率是： .
故选D.
考点典例三、转盘问题
【例3】(2019•山东潍坊•9分)如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
数字
3
5
2
3
3
4
3
5
(1)求前8次的指针所指数字的平均数．
(2)小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)
【分析】(1)根据平均数的定义求解可得；
(2)由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5知后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，再画树状图求解可得．
【解答】解：(1)前8次的指针所指数字的平均数为×(3+5+2+3+3+4+3+5)＝3.5；
(2)∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为＝．
【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2:3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】
点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
考点典例四、判断游戏的公平性
【例4】(2019云南7分)甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【解析】
解：(1)方法一：列表法如下：
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(x，y)所有可能出现的结果共有16种.………………………………4分
方法二：树形图(树状图)法如下：
(x，y)所有可能出现的结果共有16种。………………………………4分
(2)这个游戏对双方公平.理由如下：
由列表法或树状图法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等.
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝………………………………6分
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜).
∴这个游戏对双方公平.………………………………………………………………7分
【点睛】该题考查的是随机事件概率的应用，判断游戏的公平性．游戏是否公平关键看在规则下双方获胜的概率是否相等，相等说明游戏公平，否则不公平．
【举一反三】
(2018年浙江省杭州市中考数学仿真二)某学校要举办一次演讲比赛，每班只能选一人参加比赛．但八年级一班共有甲、乙两人的演讲水平相不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，经班主任与全班同学协商决定用摸小球的游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．
游戏规则如下：在两个不透明的盒子中，一个盒子里放着两个红球，一个白球；另一个盒子里放着三个白球，一个红球，从两个盒子中各摸一个球，若摸得的两个球都是红球，甲胜；摸得的两个球都是白球，乙胜，否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
根据上述规则回答下列问题：
(1)从两个盒子各摸出一个球，一个球为白球，一个球为红球的概率是多少？
(2)该游戏公平吗？请用列表或树状图等方法说明理由．
【答案】(1)一个球为白球，一个球为红球的概率是；
(2)该游戏规则不公平.
【解析】试题分析：(1)画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式计算即可得；
(2)分别求出甲获胜和乙获胜的概率，比较后即可得．
试题解析：(1)画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能情形，其中一个球为白球，一个球为红球的有7种，
∴一个球为白球，一个球为红球的概率是；
(2)由(1)中树状图可知，P(甲获胜)=，P(乙获胜)=，
∵，
∴该游戏规则不公平．
考点典例五、概率与几何知识的综合应用
【例5】(2019•贵阳•3分)如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形(每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同)，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是( )
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：＝．
故选：D．
【举一反三】
(山东省枣庄市滕州市鲍沟中学中考模拟)如图，在4张背面完全相同的卡片上分别印有不同的图案．现将印有图案的一面朝下洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率是( )．
A． B． C． D．1
【答案】B．
考点：概率公式；中心对称图形．
考点典例五、概率与代数知识的综合应用
【例6】(2019•江苏扬州•8分)只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17.
(1)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的
概率是 ；
(2)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.
【解析】：
（1） 总共有四个，7有一个，所以概率就是1÷4=
（2） 根据题意得：
∴抽到两个素数之和等于30的概率是4÷12=
【考点】：概率，素数的定义
【举一反三】
1. (2018四川省广元中学中考模拟)已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组
(﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4)中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方时的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题解析：这个函数的对称轴是x=，当k为2或者1这两个数的时候，所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方，所以概率为．
故选B．
2. 4张相同的卡片上分别写有数字-1、-3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀.
(1)从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
(2)从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】(1)；(2).
【解析】解：(1)总共有四个，奇数有两个，所以概率就是
(2)根据题意得：一次函数图形过第一、二、四象限，则
∴图象经过第一、二、四象限的概率是.
分析：(1)直接利用概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次获胜的性质，找出k＜0，b＞0的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：(1)从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率=；
故答案为；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．
考点典例七、概率与统计知识的综合应用
【例7】(2019湖北省鄂州市)．(8分)某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
11
20
40
m
4
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计表中m的值为 25 ，统计图中n的值为 25 ，A类对应扇形的圆心角为 39.6 度；
(2)该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
(3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
【分析】(1)先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：(1)∵样本容量为20÷20%＝100，
∴m＝100﹣(11+20+40+4)＝25，n%＝×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°×＝39.6°，
故答案为：25、25、39.6．
(2)1500×＝300(人)
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
(3)画树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
【举一反三】[来源:Z.xx.k.Com]
(2018年山东省济南市天桥区中考二模)为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
(1)本次问卷调查共抽查了 名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)请你估计该校约有 名学生最喜爱打篮球；
(4)学校准备从喜欢跳绳活动的4人(三男一女)中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或树状图的方法，求抽到一男一女的概率．
【答案】(1)50；(2)补图见解析；(3)360；(4)
【解析】试题分析：(1)利用喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；
(2)先计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；
(3)用1500乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数；
(4)通过列表展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女的结果数，然后估计概率公式求解．
解：(1)调查的总人数为12÷24%=50(人)；
(2)喜欢乒乓球的人数=50﹣12﹣17﹣7﹣4=10(人)，
补全条形统计图为：
(3)1500×24%=36，
所以估计该校约有360名学生最喜爱打篮球；
(4)列表如下：
[来源:学科网ZXXK]
男1
男2
男3
女
男1
――――
(男2，男1)
(男3，男1)
(女，男1)
男2
(男1，男2)
――――
(男3，男2)
(女，男2)
男3
(男1，男3)
(男2，男3)
――――
(女，男3)
女
(男1，女)
(男2，女)
(男3，女)
――――
共有12种等可能的结果数，其中一男一女的情况有6种，
所以抽到一男一女的概率==．
考点：条形统计图，用用样本估计总体，随机事件的概率.
考点典例八、概率与物理知识的综合应用
【例8】(2019•四川省达州市•3分)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【解答】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光
所以P(灯泡发光)＝．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝．
【举一反三】
(湖北武汉市武昌区十四中2018年九年级数学中考模拟)如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是 ．
【答案】
考点：(1)概率公式；(2)概率的意义
课时作业☆能力提升
1．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )
A. B. C. D.
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
详解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，
故选B．
点睛：本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
2．(2019四川乐山)小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为x+1＜2的解集是x＜1，六个数中满足条件的有2个，
故概率是.
3．(2018江苏省无锡市二模)现有A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P()，那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：易知P(x,y)的点总共有36种情况。
当x=1时，y=3；当x=2时，y=4；当x=3时，y=5；当x=4时，y=6；共4种情况在直线上
故概率为；故选C
考点：概率计算
4．(2019山东枣庄)从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m，n)在函数y＝图象的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】解：∵点(m，n)在函数y＝的图象上，∴mn＝6．
列表如下：
m
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
n
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
mn
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
mn的值为6的概率是．
故选：B．
5．(2018年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
考点：1．概率公式；2．中心对称图形．
6．(内蒙古杭锦旗2018届初中毕业第一次模)如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：
所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的一共有9个，
能构成轴对称图形的有所标数据1,2,3,4,共4个,则所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为：.
故选：D.
7．(2018山东潍坊中考模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B=45o，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切. 向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率是( ).
A. 1- B. C. 1- D.
【答案】A
【解析】如图，
设切点为E，F，连接AE，
∵以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，∴AE⊥BC，
∵∠B=45°，∴AE=BE=AB,∠BAC=135°，∴=BC⋅AE=，
=−=
∴飞镖插在阴影区域的概率=1− ，故选A.
8．(2018内蒙古呼和浩特中考模拟)如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵随机闭合开关、 、 中的两个,共有3种情况： , , ，
能让灯泡发光的有 、 两种情况。
∴能让灯泡发光的概率为.故选B.
9．(2019山东德州)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】解：(1)画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为，
故选：C．
10．(重庆合川区清平中学2018年九年级数学中考模拟)小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )
A. 对小明有利 B. 对小亮有利
C. 游戏公平 D. 无法确定对谁有利
【答案】C
【解析】根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇；由此可得两人获胜的概率相等，故游戏公平．
11．(黑龙江省大庆市杜尔伯特县第二中学2018届九年级3月模拟)经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题解析：列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是.
故选A．
12．黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_____________.
【答案】；
【解析】试题解析：列表得：
1
2
3
4
1
−−−
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
−−−
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
−−−
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
−−−
所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，
则
故答案为:
13. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．
14．(黑龙江省鹤岗市2018届中考数学一模)将一枚质地均匀的硬币连续掷三次，两次是正面朝上的概率是________．
【答案】
【解析】画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，两次都是正面朝上的有4种情况，
∴两次都是正面朝上的概率是： ；
故答案是： ．
15．(浙江省宁波市鄞州实验中学2018届九年级3月联考数学试题)一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为________________________．
【答案】
【解析】试题解析：根据题意可得：在不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，共9个，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为.
16．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是__________．
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】6
点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
17．(2019四川凉山州)某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统
计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；
(2)在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校
决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
【答案】(1)40；(2)90°；(3)见解析；(4)．
【解析】解：(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40(人)，
故答案为：40；
(2)扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：90°．
(3)获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4(人)，
条形统计图为：
(4)由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率是.
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
18．(2018年甘肃省兰州中考模拟)“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
(1)该顾客至多可得到 元购物券；
(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
【答案】(1)70；(2).
【解析】试题分析：(1)由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70(元)；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：(1)则该顾客至多可得到购物券：50+20=70(元)；
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：．
19. 图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.
(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
(2)现将方格内空白的小正方形(，，，，，)中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【来源】甘肃省定西市2018年中考数学试卷(含答案)
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：(1)正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，根据概率的计算法则得出答案；(2)首先根据题意得出所有可能出现的情况，然后根据轴对称图形的性质得出符合条件的情况，从而得出答案．
详解：解：(1)∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，
∴米粒落在阴影部分的概率是=；
点睛：本题主要考查的是概率的计算法则以及轴对称图形的性质，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键
20．(2019四川广安)为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活
动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查
数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ．
(2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女)中随机选
送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】(1)200，84，15；(2)1124人；(3)．
【解析】解：(1)68÷34%＝200，
所以本次调查共抽取了200名学生，
m＝200×42%＝84，
n%＝×100%＝15%，即n＝15；
(2)3600×34%＝1124，
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1124人；
(3)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率＝．
21.(2018年重庆中考模拟)某校团委为积极参与“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，向学校学生征集书画作品，今年3月份举行了“书画比赛”初赛，初赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级。该校七年级书法班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题。
该校七年级书法班共有 名学生; 扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度，并补全条形统计图;
A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生参加“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率。
【答案】(1)50，144；图见解析；(2) .
【解析】试题分析：(1)用A等级的人数除以A等级所占的百分比求出总人数，再用360°乘以C等级所占的百分比求出C等级所对应扇形的圆心角的度数，再用总人数减去A、C、D、E等级的人数，求出B等级的人数，从而补全统计图；
(2)根据题意先列表，得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
(1)该校七年级书法班共有学生人数是： =50(人)；
扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角度数是：360°×=144°；
B等级的人数是：50−4−20−8−2=16(人)，补图如下：
(2)列表如下：
男
男
女
女
男
﹣﹣﹣
(男，男)
(女，男)
(女，男)
男
(男，男)
﹣﹣﹣
(女，男)
(女，男)
女
(男，女)
(男，女)
﹣﹣﹣
(女，女)
女
(男，女)
(男，女)
(女，女)
﹣﹣﹣
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=．
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