新教材(辅导班)高一数学寒假讲义12《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》课时精讲(原卷版)学案

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

知识点一　　　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

知识点二　　　三个重要公式

1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题

向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：

(1)求两点间的距离(求向量的模)．

(2)求两向量的夹角．

(3)证明两向量垂直．

2．解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.

(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　)

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　　)

(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　)

2．做一做

(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为________．

(3)已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.

题型一  平面向量数量积的坐标表示

例1　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：

(1)向量a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.

[条件探究]　若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：

(1)向量a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.

　数量积坐标运算的两条途径

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

＝1.

题型二  向量的模的问题

例2　(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________；

(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：

①向量a的模；

②与a平行的单位向量的坐标；

③与a垂直的单位向量的坐标．

　求向量的模的两种基本策略

(1)字母表示下的运算

利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．

(2)坐标表示下的运算

若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.

设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)

A.  B.  C．2  D．10

题型三  向量垂直的坐标表示

例3　设O＝(2，－1)，O＝(3,1)，O＝(m,3)．

(1)当m＝2时，用O和O表示O；

(2)若A⊥B，求实数m的值．

　用向量数量积的坐标表示解决垂直问题

利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．

已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

题型四  平面向量的夹角问题

例4　已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，

(1)若c＝5，求sinA的值；

(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．

　求平面向量夹角的步骤

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；

(2)求出|a|＝，|b|＝；

(3)代入公式：cosθ＝(θ是a与b的夹角)．

已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．

题型五  向量数量积的综合应用

例5　已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．

利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：

(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．

(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可．

(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．

已知a，b，m，n∈R，设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，用向量方法求证：＝.

1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于(　　)

A．3          B.      C．－          D．－3

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)

A.        B.      C.         D.

3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.

4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.

5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|.