湘教版4.1什么是向量第3课时学案及答案
展开课 题：向量的加法与减法（2）
教学目的：
⑴了解相反向量的概念；
⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.
教学难点：对向量减法定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
8．向量加法的交换律：+=+
9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
二、讲解新课：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法：
1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法
2．用加法的逆运算定义向量的减法：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作= a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：1表示a b强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a b = a + (b) a b
三、讲解范例：
例1已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd
解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,
作, , 则= ab, = cd
例2平行四边形中，，，用，表示向量、
解：由平行四边形法则得：
= a + b, = = ab
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）
四、课堂练习：
1.下列等式:①a+0=a ②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列等式中一定能成立的是( )
A. += B. -=
C.+= D. -=
3.化简-++的结果等于( )
A. B. C. D.
4.已知=a, =b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .
5.在正六边形ABCDEF中, =m, =n,则= .
6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .
参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 135.m-n 6.a与b反向
五、小结 向量减法的定义、作图法
六、课后作业：
1.在△ABC中, =a, =b,则等于( )
A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设=a, =b, =c, =d,则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
3.在下列各题中,正确的命题个数为( )
(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同
(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同
(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反
(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:
a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .
5.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .
6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .
7.在五边形ABCDE中,设=a, =b, =c, =d,用a、b、c、d表示.
8.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.
9.已知O是□ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a, =b, =c,试证明:c+a-b=.
参考答案：1.B 2.B 3.D 4.-f -e f 0
5.2 km/h 6.a与b的方向相反且都不为零向量 7.b+d-a-c
8.
9.(略)
七、板书设计（略）
八、课后记：
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