苏教版3.2 二倍角的三角函数导学案

第十三课时  三角函数的性质

教学目标：

理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.

教学重点：

正、余弦函数的性质

教学难点：

正、余弦函数性质的理解与应用

教学过程：

Ⅰ.课题导入

上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.

(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：

y＝sinx，x∈R

y＝cosx，x∈R

(2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即

－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.

其中正弦函数y=sinx，x∈R

①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.

②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.

(3)周期性

由 (k∈Z)

知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

根据上述定义，可知：

正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.

(4)奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

(5)单调性

从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到

－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.

(1)y＝cosx＋1，x∈R；    (2)y＝sin2x，x∈R.

解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.

函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝

由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ

即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.

函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.

［例2］求下列函数的定义域：

(1)y＝1＋  (2)y＝

解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1

即x≠＋2kπ(k∈Z)

∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝

(2)由cosx≥0

得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)

∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)

［例3］求下列函数的单调递增区间：

①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)

解：①设u＝2x＋，则y＝cosu

当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大

又∵u＝2x＋随x∈R增大而增大

∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)

即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大

∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：

［kπ－π，kπ－］(k∈Z)

②设u＝－，则y＝3sinu

当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，

又∵u＝－随x∈R增大在减小

∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋

即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大

∴y＝3sin(－)的单调递增区间为 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)

Ⅲ.课堂练习

课本P33  1～7

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.

Ⅴ.课后作业

课本P46  习题  2、3、4

课后练习：

1．给出下列命题：

①y＝sinx在第一象限是增函数；

②α是锐角，则y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］；

③y＝sin｜x｜的周期是2π；

④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；

其中正确的命题的序号是_____.

分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：

令x1＝，x2＝＋2π，此时x1＜x2

而sin＞sin(＋2π)

∴①错误；

②当α为锐角时，＜α＋＜＋

由图象可知＜sin(α＋)≤1

∴②错误；

③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.

其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.

∴③错误；

④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1

∴④正确.

答案：④

评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.

2．求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝lg(sinx－)              (2)y＝2

分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.

解：(1)要使lg(sinx－)有意义，必须且只须sinx＞，

解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z

又∵0＜sinx－≤1－

∴lg(sinx－)≤lg(1－)

∴定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z)

值域为(－∞，lg(1－)］.

(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥，

解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋

即 －≤x≤＋，k∈Z.

又0≤2cos3x－1≤1

故0≤2≤2

∴定义域为［－，＋］，k∈Z

值域为［0，2］

评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.

4.比较下列各组数的大小：

(1)sin195°与cos170°;

(2)cos，sin，－cos

(3)sin(sin)，sin().

分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.

解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°

cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°

∵0°＜15°＜80°＜90°

又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，

∴sin15°＜sin80°        ∴－sin15°＞－sin80°

∴sin195°＞cos170°.

(2)∵sin＝cos(－)

－cos＝cos(π－)

又∵－＝1.47＜1.5＝

π－＝1.39＜1.4＜－＜

而y＝cosx在［0，π］上是减函数，

由π－＜－＜＜π

得cos＜cos(－)＜cos(π－)

即cos＜sin＜－cos.

(3)∵cos＝sin

∴0＜cos＜sin＜1

而y＝sinx在［0，1］内递增

∴sin(cos)＜sin(sin).

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