初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角教学设计

教学目标

知识技能

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

2．准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

数学思考

1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。

2．通过观察图形，提高学生的识图的能力

3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

解决问题

1．在探索圆周角定理的过程中，学会运用分类讨论的数学思想转化的数学思想解决问题。

2．渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法。

情感态度

引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

教学重点

圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用。

教学难点

1.认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

2．推论的灵活应用以及辅助线的添加 

问题情境

师生行为

设计意图

活动1

问题

如图，同学甲站在圆心O位置，同学乙站在靠墙的位置C，同学丙丁站在其他靠墙的位置D．E。得到的视角分别是∠AOB，∠ACB，∠ADB，∠AEB这些视角中哪些是圆心角？其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角定义，并会判断。

教师演示课件或图片，展示一个圆柱形的海洋馆，接着出示海洋馆横截面示意图。

教师结合示意图和圆心角的定义，引导学生得出圆周角的定义，由学生口述，教师板书：

圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。

强调：定义中的两个条件缺一不可。利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。接下来给学生一组辨析题：

练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由。

从实际生活入手，创设问题情境，激发学生的求知欲和学习兴趣。并在运用数学知识解答问题中获得成功的体验。

通过这组练习题，学生就能很快的深入理解圆周角的概念，准确的记忆圆周角的定义。

培养学生观察能力和分析问题的能力。

活动2：探究圆周角定理，并证明圆周角定理。

问题1：①同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系？

②同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与 ∠ADB，∠AEB的大小关系怎样？

问题2：

㈠一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？圆心与圆周角的位置关系有几种？

㈡当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2所发现的结论？

㈢对于②③两种情况你也能证明吗？

教师提出问题，引导学生用度量工具量角器，动手实验进行度量，发现结论。

由学生归纳发现的规律，教师板书：

同弧所对的圆周角度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

教师提问，学生动手画，思考并回答。

教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况：①圆心在圆周角的一边上、②圆心在圆周角内部、③圆心在圆周角外部。

教师引导，学生写出已知，求证，并完成证明。

（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半。

提出必须用严格的数学方法去证明。

证明：(圆心在圆周角上)

（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：

当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论。

证明：作出过C的直径（略）

学生亲自动手利用度量工具进行实验，探究得出结论，调动了学生的积极性，培养了他们的归纳能力。

这一过程体现了数学中的分类讨论的思想；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中从特殊到一般的化归思想。从而让学生学会了一种分析问题解决问题的方式方法。

活动三：探索圆周角定理的推论

问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？

问题2：在⊙O中，若=，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若∠C=∠G，是否得到    =呢

问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角？

让学生分析、研究，并充分交流。

注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若=，则∠C=∠G；但反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若=，否则不一定成立。这时教师要求学生举出反面例子：

若∠C=∠G，则≠，从而得到圆周角的又一条性质

老师组织学生归纳：

同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中”。

问题：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）

学生通过问题3中两个问题的解决，在教师引导下得推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径。

教师指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握。

巩固练习1：判断题：

1．等弧所对的圆周角相等；（   ）

2．相等的圆周角所对的弧也相等；（   ）

3．90°的角所对的弦是直径；（   ）

4．同弦所对的圆周角相等。（   ）

让学生在同一知识中变换角度思考问题，从不同的方位观察圆心角与圆周角，更深一步理解“同弧”二字的含义，培养了学生思维的深度和广度。

“同弧”能否改成“同弦”呢？这一问题的设置培养了学生思维的严密性及对圆周角概念的进一步理解。

这组练习题的目的是强化对圆周角定理的推论1．推论2的理解，加深对推论1．推论2的理解，掌握并准确运用。

活动四：圆周角定理及其推论的应用

例1如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．

例2如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC．AD．BD的长。

例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练习本上。

师生交流：

①分析解题思路；

②作辅助线的方法，充分利用直径所对的圆周角为直角

③解题推理过程（要规范）。

这样处理例1的目的，是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解。

巩固圆周角定理及其推论，通过例2的讲解让学生明白在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。

活动五：小结，布置作业

指导学生共同小结 

知识：本节课主要学习了圆周角定理及其推论。推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握。

能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角思想方法。

在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想。分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题。

作业：

（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB．∠ADB的度数？

（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个。

（3）如图7-33在⊙O中，DE=2BC，∠EOD=64°，求∠A的度数？

通过自我小结，梳理知识，培养学生的归纳、概括能力，养成良好的学习习惯。

巩固所学新知，对本节知识进行检测与反馈。