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湘教版必修25.3简单的三角恒等变换教案设计
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这是一份湘教版必修25.3简单的三角恒等变换教案设计，共7页。教案主要包含了复习引入，讲解范例，课堂练习，课后作业，板书设计，课后记等内容，欢迎下载使用。
1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；
2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；
3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力
教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：自学辅导法
在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼
教学过程：
一、复习引入：
上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决
二、讲解范例：
例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB0绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在AO处设连杆AB长为340 ｍｍ，曲柄CB长为85 ｍｍ，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1 ｍｍ)
分析：如图所示，因为A0A＝AOC－AC，又知AOC＝AB＋BC＝340＋85＝425，所以只要求出AC的长，问题就解决了在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC
解：在△ABC中，由正弦定理可得
sinA＝
因为BC＜AB，所以A为锐角，得A＝14°15′
∴B＝18O°－（A＋C）＝18O°－（14°15′＋8O°）＝85°45′
由正弦定理，可得
AC＝
因此，AOA＝AOC－AC＝(AB＋BC）－AC＝(34O＋85)－3443＝8O7≈81（ｍｍ）
答：活塞移动的距离约为81ｍｍ
评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：
用正弦定理求A求B 求AC→求AOA
例2 如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝ｓ，试求AB的长
分析：如图所示：对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得
AC＝
在△BCD中，由正弦定理得
BC＝
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得
AB＝
评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用
(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用
例3 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响
问：S岛是否受其影响?
若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由
分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过ｔ小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB
解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，
由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°
在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·csSAB
＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3Otcs6O°
若S岛受到台风影响，则应满足条件
｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2
化简整理得 ｔ2－1Oｔ＋19≤O
解之得 5－≤ｔ≤5＋
所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束持续时间：(5＋)－（5－）＝2小时
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时
例4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为03，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195米，AB与水平线之间的夹角为620’，AC长为140米，求货物开始下滑时BC的长
解：设车箱倾斜角为，货物重量为
当即时货物下滑
当 时， ，
∠BAC=
在△ABC中:
，
三、课堂练习：
1海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?
答案：不会触礁
2直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A向B行驶，同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小
答案：约13小时
四、小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力
五、课后作业：
1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么csC的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
分析：先用正弦定理：可求出a∶b∶c=3∶2∶4，
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：
即
答案：A
2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度
解：如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，∠SNM=180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
答：货轮的速度为里/小时
3．△ABC中，a+b=10，而csC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值
分析：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理
解：
又∵csC是方程2x2－3x－2=0的一个根
由余弦定理可得
则
当a=5时，c最小且c=
∴△ABC周长的最小值为
4．在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为米
分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从△ADE，可建立含x的方程，解出x即可
解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为α，而C在湖中的像D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x
则CE=x－h，DE=x+h
5．在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α1处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东α2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小 (α1＞α2)
分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题
解：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：
①
在△ACD中，由正弦定理可得：
②
根据题意，有BC=CD
∴由①、②得：
即
（α1＞α2）
6．（1998年全国高考题）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sinB的值
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化积公式得
六、板书设计（略）
七、课后记：
1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；
2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；
3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力
教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：自学辅导法
在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼
教学过程：
一、复习引入：
上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决
二、讲解范例：
例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB0绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在AO处设连杆AB长为340 ｍｍ，曲柄CB长为85 ｍｍ，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1 ｍｍ)
分析：如图所示，因为A0A＝AOC－AC，又知AOC＝AB＋BC＝340＋85＝425，所以只要求出AC的长，问题就解决了在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC
解：在△ABC中，由正弦定理可得
sinA＝
因为BC＜AB，所以A为锐角，得A＝14°15′
∴B＝18O°－（A＋C）＝18O°－（14°15′＋8O°）＝85°45′
由正弦定理，可得
AC＝
因此，AOA＝AOC－AC＝(AB＋BC）－AC＝(34O＋85)－3443＝8O7≈81（ｍｍ）
答：活塞移动的距离约为81ｍｍ
评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：
用正弦定理求A求B 求AC→求AOA
例2 如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝ｓ，试求AB的长
分析：如图所示：对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得
AC＝
在△BCD中，由正弦定理得
BC＝
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得
AB＝
评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用
(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用
例3 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响
问：S岛是否受其影响?
若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由
分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过ｔ小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB
解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，
由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°
在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·csSAB
＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3Otcs6O°
若S岛受到台风影响，则应满足条件
｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2
化简整理得 ｔ2－1Oｔ＋19≤O
解之得 5－≤ｔ≤5＋
所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束持续时间：(5＋)－（5－）＝2小时
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时
例4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为03，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195米，AB与水平线之间的夹角为620’，AC长为140米，求货物开始下滑时BC的长
解：设车箱倾斜角为，货物重量为
当即时货物下滑
当 时， ，
∠BAC=
在△ABC中:
，
三、课堂练习：
1海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?
答案：不会触礁
2直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A向B行驶，同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小
答案：约13小时
四、小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力
五、课后作业：
1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么csC的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
分析：先用正弦定理：可求出a∶b∶c=3∶2∶4，
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：
即
答案：A
2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度
解：如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，∠SNM=180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
答：货轮的速度为里/小时
3．△ABC中，a+b=10，而csC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值
分析：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理
解：
又∵csC是方程2x2－3x－2=0的一个根
由余弦定理可得
则
当a=5时，c最小且c=
∴△ABC周长的最小值为
4．在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为米
分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从△ADE，可建立含x的方程，解出x即可
解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为α，而C在湖中的像D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x
则CE=x－h，DE=x+h
5．在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α1处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东α2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小 (α1＞α2)
分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题
解：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：
①
在△ACD中，由正弦定理可得：
②
根据题意，有BC=CD
∴由①、②得：
即
（α1＞α2）
6．（1998年全国高考题）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sinB的值
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化积公式得
六、板书设计（略）
七、课后记：
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