2020-2021学年3.1等比数列教学设计及反思

等比数列的概念

教学目标

1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式．

2．逐步体会类比、归纳的的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力．

3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．

教学重点和难点

重点：等比数列概念的形成及通项公式的应用．

难点：对概念的深刻理解．

教学过程设计

（一）引入新课

师：前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列——等比数列．

（板书）三  等比数列

（二）讲解新课

师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举例说明你对等比数列的理解．

（要求学生能主动利用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解）

生：数列1，3，9，27，…

师：你为什么认为它是等比数列呢？

生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．

（先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维）

师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？

生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．

师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子．

（若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了）

师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．

生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．

师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．

说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？

生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．

师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．

生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．

师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．

（板书）1．定义  如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

（教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同一个常数更准确）

师：记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多少？

师：好，公比会找了，再来看这样一件事，等比数列从定义上与等差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数列也是等比数列呢？

生：有，如数列1，1，1，1，…是一个以0为公差的等差数列，也是以1为公比的等比数列．

师；除了这个数列以外，还能再举一个吗？

等比数列．

师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联想到，形如a，a，a，…（a∈R）的数列好像都满足既是等差又是等比数列，是这样吗？

（可让学生作短暂的讨论，再找学生回答）

生：形如a，a，a，…这样的数列一定是等差数列（这一点可以由等差数列的定义加以证明）．但它未必是等比数列．

师：能具体解释一下吗？

生：当a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数列，a≠0时，此数列是等比数列．

师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步认识等比数列有什么帮助吗？从中得到什么启示吗？

生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一项都要做分母，所以均不能为零．

师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲，数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢？

生：是必要非充分条件．

师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．

（板书）2．对定义的理解

（1）“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件．

师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同的．

下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语言来描述它？

师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比的等．

师：由于n可取任意自然数，故an+1可表示数列中每一项，an 可表示相应的前一项，因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个式子与定义是等价的．

师：这个比式也可作为我们判断一个数列｛an｝是否是等比数列的依据．这样我们就完成了对等比数列的定义的研究、回顾一下研究过程．主要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义；二是得用抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等比数列．

下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列，要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？

生：两个条件．

师：哪两个条件？

生：可以是首项和公比

师：如果等比数列｛an｝，首项为a1，公比为q，你会用什么方法来表示这个等比数列呢？

生：可以表示为a1，a2，a3，a4…这是常用的列举法

师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示法吗？

师：这两种表示法各有所长，但使用最方便的还是通项公式法．即如果已知｛an｝是等比数列，首项是a1，公比是q，如何用n的解析式表示数列中的第n项呢？

（板书）3．等比数列的通项公式

（1）已知等比数列｛an｝，首项为a1，公比为q，则an=？

生：an=a1qn-1（n∈N+）．

师：你是怎么得到的．

生：根据已知条件，数列可以写成a1，a1q，a1q2，a1q3，…从而发现规律，归纳出第n次an=a1·qn-1．

师：归纳的结论是正确的，且用的方法，调动的知识都非常好，寻找通项即寻找项的一般规律，先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论．这种方法是不完全归纳法，因此这个结论的正确性是需要证明的（请同学们课下完成）．

（板书）an=a1qn-1（n∈N+）．

（2）对公式的认识与理解

师：对于这个通项公式，可以从几个方面去认识它呢？

（这不是第一次遇到这类公式，学生应知道从什么角度去认识公式）

生：可以从函数观点去认识，把通项公式看作关于n的解析式．

师：与什么函数的解析式相类似．

生：指数函数．

师：它类似于指数函数解析式，说明它在某些方面可能与指数函数有联系．

生：还可以把它看作一个方程，用方程思想来求解其中的量．

师：方程中有四个量，知三求一是最简单的公式应用，不过当已知a1，q和an，求n时，此时的方程是个指数方程，求解时需多加注意．如｛an｝是等比数列，首项是2，公比是2，那么256是数列中第几项？

生：因为an=a1qn-1，则an=2·2n-1=2n．又an=256，得256=2n．解得n=8．

师：其它的例子不再举了．但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一个方程就不能解决了，需要方程组才能解决．这也就是通项公式的不同层次的应用了，下面一起看这样一个题目．

（板书）例1 一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值．

师：拿到这个题目，你打算怎样设计你的求解方案，或者说对这个题目有什么想法．

生：想求出首项和公比．

师：为什么要求出它们呢？

生：有了首项和公比，就有了通项公式，就可以求出数列中任何一项．

师：好，这就是计算中要抓基本量的思想．首项和公比就是等比数列的两个基本量．下面我们具体开始解，大家共同完成这个题目的求解．

生：设等比数列｛an｝的首项为a1，公比为q．由已知得

师：怎么解这个方程组呢？

生：②÷①得q+q2=6．解得q=-3或q=2．

师：最后结果是正确的，但在具体求解过程中还有值得改进的地方．

此题要求的是a8，即a1q7=a1q·q6=2q6．故只要把q求出即可求出a8的值．这样在解方程组时就不必求出a1，从而使运算过程得以简化．

（板书）解：设等比数列的首项为a1，公比为q．则由已知得

②÷①得q2+q=6．解得q=-3或q=2．则a8=a1q7=a1q·q6=2·q6=2·（-3）6=1458或a8=2q6=2·26=27=128．故数列第八项是1458或128．

师：通过这个小题的计算，发现这类型题目主要是方程思想的应用．应用过程中主要是三个基本步骤：设、列、求，通过刚才的实践，你们觉得在这三步上应该注意什么呢？

生：设未知数应注意设等比数列的基本量首项和公比．在解方程组时，通常会用到乘除消元的方法．

师：总结得不错，在注意以上几点的同时，还应注意利用分析综合法寻求已知和所求之间的联系，以达到简化运算的目的．

下面我们一起看例2．

（板书）例2  在各项为负的数列｛an｝中，如果2an=3an+1，且

项，如果不是说明理由．

（此题先让学生讲明思路，根据时间完成主要内容即可）

师：这个题目应从哪里入手解决呢？

生：应先判断这个数列是否是等比或等差数列．

师：为什么要做这件事呢？

生：因为知道了是什么样的数列，就可以找出其通项公式，就可以判断某个数是否是数列中的项．

师：如果判断它是否是等差或等比数列呢？

师：好，这种思路是可行的，除此之外还有其他思路吗？

生：可以利用2an=3an+1（n∈N+）找到2a1=3a2，2a2=3a3，…

师：这种方法把一般关系具体化，有一定可取之处，但有一定的偶然性，因此两种思路比较而言，另一种方案更具一般性．

下面请同学把这种方案具体实施一下．

（让一个学生就说一个重要环节，并及时指出表述上的问题）

师：这两步是等价的吗？

生：不等价，应保证an≠0才等价．

师：题目中能保证an≠0吗？

生：根据条件“各项均为负”可以保证an≠0．

师：在表述上应怎样调整呢？

（提醒学生，开方时必须指明a1＜0，才能保证只有一解）

师：在这个题目求解过程中注意这样几点：

（1）判断数列是等比数列时，将条件变形为比的形式，注意变形的等价性；

（2）判断某个数是否是数列中的项，只需将该数代入通项公式，并解此方程，看是否有正整数解．

（四）小结

师：这节课主要学习了一个重要概念等比数列和一个重要的公式等比数列的通项公式．

（1）对于这个概念要注意与等差数列的类比中把握它们的区别与联系．

（2）对于通项公式除了记住内容，了解推导之外，关键是能用方程观点去认识，并应用它解决有关问题．

（五）布置作业

课本习题（略）

课堂教学设计说明

等比数列是在等差数列之后介绍的，因此它的数学方法不能简单地重复等差数列．应当既（体现）出两者的联系，又有所变化且有所提高．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，教师为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究相关内容如定义、表示方法．通项公式及对公式的认识，通过学生的研究，探索，加上老师概括总结，既充分发挥学生的主体作用又体现教师的主导作用．

等比数列的通项公式应用是等比数列这段知识的重点，也是本节课的重点，方程思想的应用是公式应用的核心和关键．所以必须了解方程思想应用的特点，首先必须用方程的观点去认识等比数列的基础知识；再从本质上把握公式其次在运用方程思想解题时，对于设元要抓好其中的关键量；最后在运用方程思想时需恰当应用整体代入，设而不求，如例1的计算应注意把a2=2的条件整体代入到所求的a8中，从而使a1设而不求．