高端精品高中数学二轮核心专题-导数不等式的证明（带答案）教案

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导数不等式的证明
高考预测一：一元不等式的证明
1．证明：
（1）；
（2）．
【解析】证明：（1）令，
则，
，，
在时单调递减，
成立，
；
，等号成立；
，，
即，
在时单调递增，

成立，
．
令，则它的导数为．
当时，，故函数在上是减函数．
当时，，当且仅当时，，故函数在，上是增函数．
故当时，函数取得最小值为0，
故有，．
；
（2）设，则，
当时，，．
当时，，
在上是增函数，
．
当时，，
在上是减函数，
．
对都有，
．
2．设函数在处取得极值．
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）证明对任意的正整数，不等式．
【解析】（1）解：，
，
在处取得极值，
，，
故，
当，即时，，
当，即时，，
的增区间为，减区间为．
（2）证明：当时，左边，右边，成立；
当时，左边，右边，成立；
当时，原不等式等价于，
令，，
则，
当时，，，
，
从而，递减，
所以，当时，
有，
即，
综上所述：对任意的正整数，不等式都成立．
3．设函数，其中
（1）若，求在，的极小值；
（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：
【解析】解：（1）由题意知，的定义域为
时，由，得舍去），
当，时，当，时，，
所以当，时，单调递减；当，时，单调递增，
所以（2）
（2）由题意在有两个不等实根，
即在有两个不等实根，
设，则，解之得
（3）当时，．令，
则在，上恒正
在，上单调递增，
当时，恒有
即当时，有，
即．
4．当时，求证：．
【解析】证明：令，则，
，．
当时，，即．
所以在上单调递减．
所以，属．
所以在上单调递减．
所以，．
即，．
高考预测二：函数不等式证明中的变形原理
5．已知函数．
讨论函数的单调性；
若在点，（1）处的切线斜率为．
求的解析式；
求证：当．
【解析】解：由题意可得，定义域为
对函数求导可得，
①时，，
由可得，，由可得
在单调递增，在，单调递减
②时，令可得或
当时
由可得，由可得
故在单调递减，在，单调递增
当时，同理可得在单调递减，在，单调递增
当时，
在增（6分）
解：由知）知

．（8分）
证明：

令
故当时，，在单调递增，
（1），又

当时，，在单调递增，（1）
又，

综上所述，且时，（14分）
6．已知函数
求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
【解析】解：
所以（1），所以切线方程
（Ⅱ），
即：，，则有，
即要使成立．
令，那么，
可知当时单调增，当时单调减．
故在处取最大值为，
那么要使得成立，则有．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，即
当时，，
当时，



．

综上所述，
7．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）如果当时，，求的取值范围．
【解析】解：切线方程为即，
（1）由于直线的斜率为，且过点，
故，即，解得，．
（2）由（1）知，所以
．
考虑函数，则
，
设，由知，
当时，，可得，
从而当时，，
设．由于当，时，，故，
而（1），故当时，，可得，与题设矛盾．
设．此时，而（1），
故当时，，可得，与题设矛盾．
综合得，的取值范围为，．
8．已知函数，是自然对数的底数）．
（1）求的单调区间；
（2）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
【解析】解：（1）求导数得，，
令，，
当时，；当时，．
又，
所以时，；
时，．
因此的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：（2）因为．
所以，．
由，
求导得，
所以当时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减．
所以当时，．
又当时，，
所以当时，，即．
综上所述，对任意，
9．已知函数，．，且为常数，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）函数的你定义域为，，
，
在区间上单调递增，且，
①当时，在区间上恒成立，即，
函数在上单调递增，此时无极值点；
②当时，方程有唯一解，设为，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
是函数的极小值点，即函数只有一个极值点；
综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点；
（2）当时，对任意的恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，记，
记，故在上单调递增，
又，
存在，使得，且，，，，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，
又，
，
，
，
，即，
综上所述，实数的取值范围为，．
10．已知函数（其中，是自然对数的底数）．
（1）若对任意，都有，求的取值范围；
（2）设的最小值为，当时，证明：．
【解析】解：（1）的定义域为，，
若时，当时，，在上递增，且时，，所以不恒成立，故不符合条件；
若时，，所以符合条件；
若时，令，得，
当，时，，在，上递减；
当，时，，在，上递增，
所以，即，得，
综上，的取值范围是，．
（2）的定义域为，，得，于是
当时，，递减；当时，，递增，
所以，
，得，当时，，递增；当时，，递减，
所以，
所以；
要使，等价于，等价于，
由（1）知时，得，在时，得，用替代，得，用替代，得（当且仅当时取等号），
取，显然成立，
综上知，．
高考预测三：函数不等式证明中的隐零点问题
11．已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
【解析】解：（1）因为，
则等价于，求导可知．
则当时，即在上单调递减，
所以当时，（1），矛盾，故．
因为当时、当时，
所以，
又因为（1），
所以，解得；
另解：因为（1），所以等价于在时的最小值为（1），
所以等价于在处是极小值，
所以解得；
（2）由（1）可知，，
令，可得，记，则，
令，解得，
所以在区间上单调递减，在，上单调递增，
所以，又，所以在上存在唯一零点，
所以有解，即存在两根，，
且不妨设在上为正、在，上为负、在，上为正，
所以必存在唯一极大值点，且，
所以，
由可知；
由可知，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以；
综上所述，存在唯一的极大值点，且．
12．已知函数，．
（1）设，
①当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
②当时，求证：对任意恒成立．
（2）讨论的极值点个数．
【解析】解：（1），，
①当时，，
切线方程为；
②证明：即证对任意，，只需证时，对任意都成立，
，，令得，
且时，，单减，时，，单增，
（1），
在上单增，
，
当时，对任意恒成立．
（2），
只有一个极值点或三个极值点，
令，当只有一个极值点时，的图象必穿过轴且只穿过一次，即为单调减函数或者极值同号，
为单调减函数时，在上恒成立，则△，解得；
极值同号时，设，为极值点，则，有解，则，
且，
，
同理，
，化简得，
，解得，
当时，只有一个极值点；
当有三个极值点时，，同理可得，
综上，当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点．
13．设函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，，求证：无零点．
【解析】解：（1）若，则，

当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由
可知，，
当时，，显然没有零点；
当时，设，，
在，单调递增，
又，（2），
在上存在唯一一个零点，不妨设为，则，
当时，，即，当，时，，
即，
在上单调递减，在，上单调递增，
的最小值为，
，
，两边取对数可得，即，
，（当且仅当时取等号），
令（a），则（a），
当时，（a），当，时，（a），
（a）在上单调递增，在，上单调递减．
又，（e），
当时，（a），当且仅当时取等号，
由可知当时，，故当时，，故（a），
．
当时，没有零点．
14．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的极值；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），
①时，在上单调递增，没有极值；
②时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数存在极小值，其极小值为，没有极大值；
③时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数存在极大值，其极大值为，没有极小值；

（2）当时，恒成立，
恒成立，．
设，，
设，下面证明有唯一解．
又，单调递增，（1），时，，所以在上有零点，
令，得，
又，所以式等价于，
由（1）知当时，在单调递增，所以，
设，单调递增，又，（1），
所以，使得，即有唯一解，即，
因此方程有唯一解，代入得，
有唯一解．
时，，，单调递减；，时，，，单调递增；
所以的最小值为，
所以．
即的取值范围为，．
15．已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，
其导数为．
由或，
设，，
当时，；当时，．
即在区间上递增，在区间上递减，
，
又当时，，当时，且恒成立．
当或时，方程无根，函数只有一个极值点．
当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，
故函数只有一个极值点．
当时，方程有两个根、且，，
函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点．
综上所述，当或时，函数只有一个极值点．
（Ⅱ）依题意得，令，则对，都有成立．
，当时，函数在上单调递增，
注意到，
若，，有成立，这与恒成立矛盾；
当时，因为在上为减函数，且，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，
，
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
，
函数在上递增，在上递减，
，即的最小值的最大值为；
综上所述，的最小值的最大值为．
16．已知函数，，其中，，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）求证：对任意，，存在，，使得在区间，上恒有．
【解析】解：（1）时，，
则，
，
，
故，
则在递减；
（2）证明：当时，，
要证明对任意的，，，
则只需证明任意，，，
设（a），
看作以为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，
①恒成立，
对于②，令，
则，
设时，，即，
，，
在上，，递增，
在上，，递减，
则时，取得最大值
，
故②成立，
综上，在区间，上恒有．
17．已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求．
【解析】解：（1）证明：，
，
，
考虑到，，
所以①当，时，，此时，
②当，时，，所以单调递增，
所以，
所以函数单调递减，，
③当，时，，所以单调递增，
所以，
所以函数单调递增，，
当，时，，
综上所述，当时，．
（2）构造函数，
考虑到，，
，
，
由（1）可知：在时恒成立，
所以在，上单调递增，
①若，则在，为负，为正，
在，单调递减，递增，
所以，
而当时，，
故满足题意．
②若，，
因为，
所以，
由零点存在定理，必存在，，使得，
此时满足时，，单调递减，
所以，矛盾，舍去，
③若，，
因为当时，，
所以当时，，
此时必存在，使得，
此时满足，时，，单调递增，
所以，矛盾，舍去，
而当时，当，
所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．
综上所述，．
18．已知函数．
（Ⅰ）当时，证明：对恒成立；
（Ⅱ）若函数在存在极大值点，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：时，，
要证对恒成立，
即证对恒成立，
即证对恒成立，
令，，
则，
故在单调递增，且，
故，即，
故在上恒成立；
（Ⅱ），
故，
在上存在极大值点，
有这个解，
，只有，，
故，，，
设（a），，，
则（a），令（a），解得：，
故时，（a），，时，（a），
故（a），
故的最小值是．
19．已知函数，，，其中为常数．
（1）若在，上是增函数，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
【解析】解（1）因为在，上是增函数，
所以在上恒成立，显然在，上单调递减，
故，解得即为所求．
（2）要证，只需证恒成立，
令，，则，
令，，则，
令，，则，
所以在，上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，即，
所以在，上单调递减，所以，即恒成立，
所以当时，．
高考预测四：双零点问题
20．已知函数是常数）在处切线的斜率等于1．
（1）求函数的单调区间并比较（2），（3），（4）的大小；
（2）若方程为自然对数的底数）有且只有一个实根，求实数的取值；
（3）如果方程有两个不同的零点，，求证．
【解析】解：（1）的导数为，
在处切线的斜率为，解得，
即有，，
当时，，递增；当时，递减．
则的增区间为，减区间为；
（2），（4）（2），而（3）（4），
则（2）（4）（3）；
（2）由题意得，在上有唯一解，
由（1）可得，的增区间为，减区间为，
所以（e），
设，则在上单调递减，在上单调递增，
所以（e），
所以当且仅当时，有且只有一个实根，
所以；
（3）不妨设，
，，，
可得，，
要证明 ，即证明，也就是，
因为，所以即证明：，
即：，
令，则，于是．
令，，则，
故函数在上是增函数，所以（1），
即成立．
所以原不等式成立．
21．已知函数（其中是自然对数的底数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）当函数有两个零点，时．证明：．
【解析】解：（1）由，，得，
①当时，则对恒成立，
此时的单调递增，递增区间为；
②当时，
由，得到，即，
由，得到，即
所以，时，的单调递增区间是；递减区间是；
综上，当时，的单调递增区间为．
当时，的单调递增区间是；递减区间是；
（2）函数有两个零点，时，则需要满足时，
有两个解，即，
由于恒成立，则，
设，由题意得：，
①，
②，
②①得：③，
令，则，，
③可化为：，
，，
，
要证：，
只需证：，
即证：，
构造函数，
则，
在递增，
（1），
．
22．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
【解析】解：（1）函数，求导，．
①当时，，则函数为上的单调递增函数．
②当时，令，则．
若，则，在上是单调减函数；
若，则，在上是单调增函数．
（2）证明：由（Ⅰ）可知，不妨设，
由两式相减得．
要证，即证，
也就是证，
即，即证，
又，只要证．
令，则式化为 ，
设
，，所以在上单调递增，所以．
．
23．已知函数，．
（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围．
（2）若存在两个不同极值点，，且，求证．
【解析】（1）解：由，得，
在其定义域上单调递减，在恒成立，
即在恒成立，
令，则，
当时，，当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
．
则；
（2）证明：若存在两个不同极值点，，，且．
欲证，只需证，
只需证，
也就是证．
，，，
．
．
令，则，则，
设，则，
可知在，上单调递增．
（e）．
．
24．已知函数，其中，．
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．
【解析】（Ⅰ）解：由，得，．
（1）当，即时，，
在上单调递减；
（2）当，即时，．
①当时，且，，
在上单调递增；
②当时，，
，
当变化时，，的变化情况如下表：



，


0


单调递减
极小值
单调递增
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，
（Ⅱ）证明：由知，当时，函数在上单调递减，
在，上单调递增，
又（1），
函数恰有两个零点，，
或．
①当，即时，
令，当时，，且，
有唯一的，使得，
则不等式等价于，
又，即，
只需证明，即当时，证明成立，
令，则，
在，上单调递增，即当时，有（1）．
原不等式成立．
②当，即时，
令，当，时，，且，
有唯一的，使得，
则不等式等价于，
又，即，
只需证明，即当时，证明成立，
令，则．
在区间，上单调递增，即当时，有（1）．
原不等式成立．
综上，当函数恰有两个零点，，原不等式成立．
25．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作，，且，若，证明：．
【解析】解：，
方程的判别式△，
①当时，△，，在为增函数，
②当时，△，方程的两根为，
当时，，在为增函数，
当时，，在，为增函数，在，为减函数，
综上所述：当时，的增区间为，无减区间，
当时，的增区间为，，减区间，，
证明：，
所以
因为有两极值点，，
所以，，
欲证等价于要证：，
即，
所以，
因为，，
所以原式等价于要证明：．
又，，
作差得，
所以
所以原式等价于要证明：，
令，，上式等价于要证：，，
令，
所以，
当时，，
所以在上单调递增，
因此（1），
所以在上恒成立，所以原不等式成立．
26．已知函数，为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值；
（3）关于的方程有两个实根，，求证：．
【解析】解（1）对函数求导得，
，
又，
曲线在处的切线方程为，
即；
（2）记，其中，
由题意知在上恒成立，
下面求函数的最小值，
对求导得，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：



，


0


递减
极小值
递增
，
，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：


1



0


递增
极大值
递减
（1），
故当且仅当时取等号，
又，从而得到；
（3）先证，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：



，


0


递减
极小值
递增
，
恒成立，即，
记直线，分别与交于，，，，
不妨设，则，
从而，当且仅当时取等号，
由（2）知，，则，
从而，当且仅当时取等号，
故，
因等号成立的条件不能同时满足，故．
高考预测五：多元函数不等式的证明
27．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：．
【解析】解：（1）函数的定义域为，
函数的导数，
设，
当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数，
当时，判别式△，
①当时，△，即，即恒成立，此时函数在上是减函数，
②当时，，，的变化如下表：



，

，


0

0


递减

递增

递减
综上当时，在上是减函数，
当时，在，和，上是减函数，
则，上是增函数．
（2）由（1）知，不妨设，则，，
则，
则，
则问题转为证明即可，
即证明，
则，
即，
即证在上恒成立，
设，，其中（1），
求导得，
则在上单调递减，
（1），即，
故，
则成立．
（2）另解：注意到，
即，
不妨设，
由韦达定理得，，得，，
可得，即，
要证，只要证，
即证，，
构造函数，，，
在上单调递减，
（1），
成立，即，成立．
即成立．
28．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知存在两个极值点，，令，若，，求的取值范围．
【解析】解：（1）．
（ⅰ）当，即时，，在上单调递减；
（ⅱ）当，即或时，令，得或．
①当时，在上，单调递增；在上，单调递减．
②当时，在和上，单调递减；在上，单调递增．
（2），则，
由（1）可知，．，且．
则，



从而．
令，，则．
因为，所以（a），
所以（a）在上单调递减，则（a）（4），即（a）．
因为，，即，所以，
故的取值范围为．
29．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间．
（2）若函数有两个极值点、，且，证明：．
【解析】解：（1）的定义域为，，
令，则△，
①当△，即，则，故，当且仅当时，，
函数在上单调递增；
②当△且，即，的两个根为，，
故当时，，，在单调递减，当，时，，，在，单调递增；
③当△且，即时，的两个根为，
故当，，即，在单调递增，当，时，，，在，单调递减，当，时，，在，单调递增；
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，，；单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）证明：由（1）可知，，且，，
则，
，
令，则，，
在上单调递减，
，
在上单调递增，
，即，则，即得证．
30．设函数．
（Ⅰ） 求的极值；
（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
【解析】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为
（Ⅱ）
令，则
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，恒成立；
故实数的取值范围为：
构造函数，，，
，，，在上是单调递增的；
故（b）（a），即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故（b）（a）即：
综上，．
31．已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（1）证明：若，则．
【解析】解：（Ⅰ）解法的导数为，
令，得；令，得，
即在单调递减，在上单调递增，
可知（1），解得．
解法，即，
令，则，
令，得；令，得，
即在单调递减，在上单调递增，
可知（1），可得．
证明：取，知，
由（Ⅰ）知，即，
可得，
即有，
则
．
32．已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：若，则．
【解析】解：（1）函数，可得，
令，得；令，得，
即在单调递减，在上单调递增，
可知的最小值是（1），
解得；
（2）证明：取，知，
由（1）知，即，
，，
整理得．
即：．
33．已知函数．
（1），且是函数的极值点，求曲线在点，（1）处的
切线方程；
（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
【解析】解：（1） （2分）
由题意知（2），代入得，经检验，符合题意．
从而切线斜率，切点为，切线方程为 （4分）
（2）由条件得在上恒成立． （6分）
设，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．（8分）
所以当，的最大值为，所以． （10分）
（3）当时，不等式：等价于．（12分）
令，则，设，则，（14分）
当时，，在上单调递增，（1），
所以，原不等式成立． （16分）
34．（1）已知函数，，使，求实数的取值范围；
（2）证明：，其中；
（3）设表示不超过的最大整数，证明：
【解析】解：（1）若，令，则；
若， ，不合题意；
若，只需．求导数，得．
令，解得．
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．
故在处取得最小值．
，由，得，．
综上可知，实数的取值范围为，．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知，即．
取，，即．
当时，，当且仅当时，等号成立，
故当且时，有．
令，得，即．
令，得，即，亦即．
综上，得．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），得．
令，，得．
对于，分别取，2，，，
将上述个不等式依次相加，得
，
． ①
对于，分别取，2，，，
将上述个不等式依次相加，得
，即，
． ②
综合①②，得．
易知，当时，，
．
又，
．（14分）
35．已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）对任意的，求证：．
【解析】解：（1）当时，，
此时，
函数在上单调递增，
则在上恒成立，
，解得；
（2）证明：依题意知，当，时，，
所以，
记，，，
因为，
所以在，上单调递增，则（1），
从而，，，
又因为，所以，由式，知，即，
于是，
故当时，不等式成立．
36．已知，，，求证：．
【解析】证明：要证
只要证
即．
构造函数令，，，
只要证在，上单调递减，
只要证．
．
，即，即为，
当时，，
又，
，
即，时，．
以上各步都可逆推，得．
37．已知函数，．
（1）求函数的最大值；
（2）设，当，时，试讨论函数的单调性；
（3）利用（2）的结论，证明：当时，．
【解析】解：（1），
当时，，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
（1）．
（2），设，则，
当时，，当时，，当时，，
，
，，
，
，
又的定义域为，，，
在和，上是减函数．
（3）由（2）可知当时，在上单调递减，
设，则在上单调递减，
，
，即，
，
，
．
38．已知函数．
（1）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当且时，试比较与的大小．
【解析】解：（1）函数的定义域为．．
函数在处取得极值，，
，
，移项，将分离得出，，令，
则令，可知在上，在，上，
在处取得极小值，也就是最小值．此时，
所以．
（1）由（1）在上为减函数．且时，
有，，整理得①
当时，，由①得，
当时，，由①得．