高端精品高中数学二轮核心专题-立体几何中的探索性问题综合（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学二轮核心专题-立体几何中的探索性问题综合（带答案）教案，共30页。
立体几何中的探索性问题高考预测一：动态问题 1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：若二面角为，试求的值．【解析】解：（Ⅰ）证明：连接，交于，连接．且，即．四边形为平行四边形，且为中点，又点是棱的中点，．平面，平面，平面  （4分）（Ⅱ），为的中点，．平面平面，且平面平面，平面．，，为的中点，四边形为平行四边形，．  即．（6分）如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则平面的法向量为；，0，，，，．则，．设，在平面中，，，（8分）平面法向量为（10分）二面角为，，（舍（12分）2．如图，平面，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的正弦值为，求线段的长．【解析】解：（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，设，，则，2，，，2，，，1，，，0，，平面的法向量，0，，，且平面，平面．（Ⅱ）解：，1，，，0，，，，，设，，为平面的法向量，则，令，得，2，，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：．（Ⅲ）解：设平面的法向量，，，则，取，得，2，，设平面法向量，，，则，取，得，1，，二面角的正弦值为，，解得．二面角的正弦值为时线段的长为．3．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．（1）求点到平面的距离；（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值．【解析】解：（1），由于平面，从而即为三棱锥的高，故．设点到平面的距离为．由平面得，又由于，故平面，所以．由于，所以．故因为，所以点到平面的距离．（2）以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，0，，，1，，，2，，，0，．设，因为，0，，所以，0，，由，，，得，，，又，，，从而，．设，，，则，．当且仅当，即时，，的最大值为．在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．，，，，1，设平面的一个法向量为，，，则，，即，得：，令，则．，0，是平面的一个法向量．又，，，，，，1，设平面的一个法向量为，，，则，，即，取，则，，，4，是平面的一个法向量．从而，，又由于二面角为钝角，二面角的余弦值为．高考预测二：翻折问题4．如图，是等边三角形，，，将沿折叠到△的位置，使得．（1）求证：；（2）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：因为，所以，又因为，且，所以平面，因为平面，所以．（2）因为是等边三角形，，，不防设，则，又因为，分别为，的中点，由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．则有，0，，，0，，，1，，，0，，，．所以，．设平面的法向量为．则，即，令，则．所以．又平面的一个法向量为．所以．所以二面角的余弦值为．5．图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小．【解析】证明：（1）由已知得，，，，确定一个平面，，，，四点共面，由已知得，，面，平面，平面平面．解：（2）作，垂足为，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的边长为2，，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，则，1，，，0，，，0， ，，0，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，6，，又平面的法向量为，1，，，二面角的大小为．6．正方形的边长为2，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】解：（1）由已知可得，平面平面，平面，，平面平面，所以平面，，又，所以，又，且，所以平面．（2）作，垂足为．由（1）得，平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）可得，．又，，所以．故．可得，．则，0，，，，，，，，由（1）知：为平面的法向量，，设平面的法向量为，则：，即，所以，令，则，，，则，所以二面角的余弦值为．7．如图，在中，，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至，使平面平面．（1）当棱锥的体积最大时，求的长；（2）若点为的中点，为的中点，求证：平面．【解析】解：（1）令，则．，因为，且平面平面，故平面，所以，令，由得，当时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，当时，取得最大值，即：体积最大时，．（2）设为的中点，连接，，则有，，，，所以，又，所以．故，又因为点为的中点，，可得为中点，，又为的中点，可得：，所以：，由于，可得平面．8．如图（1），在中，，，，、分别是、上的点，且，将沿折起到△的位置，使，如图（2）．（1）求证：平面（2）当点在何处时，三棱锥体积最大，并求出最大值；（3）当三棱锥体积最大时，求与平面所成角的大小．【解析】证明：（1）在中，，，，可得．又，，面．面，．，，面．解：（2）设，则．由（1），又，，面．．因此当时，即为中点时，三棱锥体积最大，最大值为．解：（3）如图，连接，，，，即．因此与平面所成角．与平面所成角的大小为．9．如图（1），在中，，，，，分别是，上的点，且，．将沿折起到△的位置，使，如图（2）．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面平面．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【解析】证明：因为，分别为，上的点，且，又因为平面，所以平面（3分）证明：因为，，所以，，由题意可知，，（4分）又，所以平面，（5分）所以平面，（6分）所以，（7分）又，且，所以平面，（8分）又平面，所以（9分）解：线段上存在点，使平面平面．理由如下：因为，所以，在△中，过点作于，由可知，平面，又平面所以，又，所以平面，（12分）因为平面，所以平面平面，故线段上存在点，使平面平面（13分）如图（1），因为，所以，，即，所以，，．所以，如图（2），在△中，，所以，，在中，（14分）10．如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）．记，为三棱锥的体积．（1）求的表达式；（2）设函数，当为何值时，取得最小值，并求出该最小值；（3）当取得最小值时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．【解析】解：（1）设，则，，折起前，折起后，，平面；（2），时，取得最小值4；（3）以为原点，建立如图直角坐标系，由（2）知，，，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，，1，，且，1，设，，，则，，，即，1，，，，，，，当时，设平面的一个法向量为，，，，，得，取，2，设与平面所成角为，则，，，与平面所成角的大小为．高考预测三：存在性问题11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，，又，且，平面．（2）解：取中点为，连接，，，，又，．以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，，，1，，，，，，0，，则，1，，，，，，0，，，，，设，，为平面的法向量，则，取，得，，，设与平面的夹角为，则直线与平面所成角的正弦值为：．（3）解：设，假设存在实数使得平面，，，，由（2）知，，1，，，0，，，，，，1，，，，，由，可得，，，，，，平面，，，为平面的法向量，，解得．综上，存在实数，使得平面．12．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是正方形，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，，，0，，，4，，，4，，，4，，，0，，，4，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，1，，，，直线与平面所成角的正弦值为，．（Ⅲ）解：设，0，，则，0，，，4，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，故，令，解得，当为的中点时，二面角的大小为．13．如图，四棱锥层中，平面，，，．且，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面上平面？如果存在点，请指出点的位置；如果不存在，请说明理由．【解析】解：（1），又，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．（4分）（2）如图建立空间直角坐标系，则有：，0，，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，，设平面的法向量，，设直线与平面所成的角为，得：，，即直线与平面所成的角的正弦值为（8分）（3）设，，，得，，，，，，，，，所以，，，设平面的法向量，，，（10分）因为平面的法向量，且平面平面，所以，所以，故在线段上存在一点（靠近点处的三等分点处），使得平面平面．（12分）14．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由．【解析】（1）证明：连接交于点，，又平面侧面，且平面侧面，平面，又平面，．三棱柱是直三棱柱，底面，．又，平面，平面，平面，又侧面，．（2）由（1）得平面，直线与平面所成的角，即，又，，．假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为以点为原点，以、，所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，2，，，0，，，2，，，0，，，0，．，，，，，，，，，，0，．假设上存在点使得二面角的大小为，且，，，，，，设平面的法向量为，则，，，令得，0，，由（1）知平面，，，为平面的一个法向量．，，，解得点为线段中点时，二面角的大小为．15．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（Ⅰ）求证：．（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：因为在中，，分别为，的中点，所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以．（Ⅱ）解：取的中点，连接，所以．由（Ⅰ）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，0，，，，，，2，，，，．所以，，．设平面的法向量为．则即令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．故所求角的正弦值为．（Ⅲ）解：线段上存在点适合题意．设，其中，．设，，，则有，，，，，所以，，，从而，，，所以，又，所以，令，整理得．解得．所以线段上存在点适合题意，且．高考预测四：开放性问题16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．（1）求证：平面；（2）应是平面与直线交于点在平面内，求的值．【解析】解：（1）证明：平面，，，，平面．（2）解：平面，，，，，为的中点，点在上，且．过作，交于，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，2，，，0，，，，1，，，0，，，，，，1，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设，，，，，则，，，，，，解得，，，，，，平面与直线交于点在平面内，，解得，故的值为．17．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点为上靠近的三等分点．（1）求二面角的余弦值；（2）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．【解析】解：（1）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，则，，．不妨取平面的法向量，，．由图可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．（2）直线在平面内，理由如下：点在上，且，，，由（1）知，平面的法向量，，直线在平面内．18．如图，在棱长为2的正方体中，点、、分别为，，的中点，点是正方形的中心．（1）证明：平面；（2）若平面和平面的交线为，求二面角．【解析】解：（1）证明：连接，，点，，分别为，，的中点，，又平面，平面，平面，同理，平面，又，平面，平面，平面平面，点是正方形的中心，平面，平面；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，0，，故，设平面的法向量为，由，可得，令，则，取平面的法向量为，则，二面角的大小为．