高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.1 角的概念推广图文ppt课件

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1.2.1　角的概念推广1.2.2　象限角及其表示课标阐释 1.理解正角、负角和零角的概念.(数学抽象)2.掌握象限角的特征及其表示方法.(数学抽象)3.理解终边相同的角的概念,会表示终边相同的角的集合.(逻辑推理)思维脉络 激趣诱思知识点拨当钟表慢了或快了时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确.在调整的过程中,你能分析出分针转动的角度有什么不同吗?在体操或跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,做上述动作时,你知道运动员转体多少度吗?激趣诱思知识点拨一、角的概念推广1.角的概念平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边.激趣诱思知识点拨2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: 名师点析1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”.2.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算就类似于实数的加减运算.激趣诱思知识点拨微练习1用任意角表示下列各角:(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为　　　　; (2)将时钟拨慢2 h,分针转过的角为　　　　. 答案(1)-360°　(2)720°微练习2下列说法正确的是(　　)A.最大角是180° B.最大角是360°C.角不可以是负的 D.角可以任意大小解析由角的定义,角可以是任意大小的.故选D.答案D激趣诱思知识点拨二、象限角在平面直角坐标系中研究角时,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.名师点析1.在角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角.2.若角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限.激趣诱思知识点拨微练习下列各角是第三象限角的是(　　)　　　　　　　　　　　　　A.15° B.105°C.215° D.315°解析因为215°=180°+35°,所以215°是第三象限的角.故选C.答案C激趣诱思知识点拨三、终边相同的角一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.名师点析理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点:(1)式中角α为任意角;(2)k∈Z这一条件必不可少;(3)k·360°与α之间是“+”,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同;(4)当α与β的终边相同时,α-β=k·360°(k∈Z),反之亦然.激趣诱思知识点拨微思考160°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系?提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.微思考2如何表示与60°终边相同的角的集合?提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.激趣诱思知识点拨微思考160°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系?提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.微思考2如何表示与60°终边相同的角的集合?提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 概念辨析问题的求解方略对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1一个角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少?按顺时针方向旋转三周后又是多少?解终边按逆时针方向旋转三周,转过的角度为360°×3=1 080°,所以按逆时针旋转后的角度数是1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是-3×360°+30°=-1 050°.探究一探究二探究三当堂检测终边相同的角例2写出与75°角终边相同的角的集合S,并把S中适合360°≤β<1 080°的元素β写出来.解与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.当360°≤β<1 080°时,即360°≤75°+k·360°<1 080°,又k∈Z,所以k=1,或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 终边相同的角的求解方法求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定整数k的值,求出满足条件的角.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2与-2 020°角终边相同的最小正角是　　　　　. 解析因为-2 020°=140°-6×360°,所以与-2 020°终边相同的最小正角是140°.答案140°探究一探究二探究三当堂检测象限角例3(1)分别判断角α=-130°和β=-940°是第几象限角.(2)若角α是第二象限角,试判断180°-α及2α是第几象限角.解(1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角与230°角终边相同,而230°是第三象限角,故α是第三象限角.由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角与140°角终边相同,而140°是第二象限角,故β是第二象限角.(2)由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)(k∈Z),即-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z).所以180°-α为第一象限角.同理,180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以角2α可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 象限角的判定1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限.2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终边所在的位置.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'.解(1)因为-120°=240°-360°,所以在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限角.(2)因为660°=300°+360°,所以在0°~360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限角.(3)因为-950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范围内,与-950°08'终边相同的角是129°52',它是第二象限角.探究一探究二探究三当堂检测1.(2020山东淄博高一期中)-215°是(　　)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析因为-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,所以-215°是第二象限角,故选B.答案B探究一探究二探究三当堂检测2.集合M={α|α=k·90°,k∈Z}中各角的终边都在(　　)A.x轴非负半轴上B.y轴非负半轴上C.x轴或y轴上D.x轴非负半轴或y轴非负半轴上解析当k=4n(n∈Z)时,α=n·360°;当k=4n+1(n∈Z)时,α=90°+n·360°;当k=4n+2(n∈Z)时,α=180°+n·360°;当k=4n+3(n∈Z)时,α=270°+n·360°.因此,集合M中各角的终边都在x轴或y轴上.答案C探究一探究二探究三当堂检测3.时间过了3小时20分,则钟表的分针所转过的角的度数为　　　　,时针所转过的角的度数为　　　　. 答案-1 200°　-100°探究一探究二探究三当堂检测4.已知角α的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是　 . 解析在0°~360°范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45°和150°,因此,所求α的范围是45°+k·360°<α<150°+k·360°(k∈Z).答案{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}