初中数学6.2 幂的运算教案设计

这是一份初中数学6.2 幂的运算教案设计，
幂的运算及整式乘法【典型例题】一. 幂的运算 1. 同底数幂的乘法： 首先观察： （1）23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=27 （2）53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57 （3）a3·a4=(a×a×a)×(a×a×a×a)=a7 观察后得到运算的法则=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即am·an=am+n（m、n为正整数） 例1. 计算： （1）73×75 （2）y5·y2 （3）a·a3·an （4）am·am+3 （5）P2·(－P)4 （6）(－x)3·x5 分析：解决此题关键是正确掌握同底数幂的乘法法则：am·an=am+n（m、n为正整数），且注意有关符号的变化：(－P)4=P4，(－x)3=－x3 解：（1）73×75=73+5=78 （2）y5·y2=y5+2=y7 （3）a·a3·an=a1+3·an=a4·an=a4+n （4）am·am+3=am+m+3=a2m+3 （5）P2·(－P)4=P2·P4=P6 （6）(－x)3·x5=－x3·x5=－x8 注意： 1. 同底数幂的乘法是幂的运算的基础，非常重要。 2. 由（3）可知am·an·aP=am+n+P（m、n、P均为正整数） 例2. 计算： （1）(－a)4·(－a)2·(－a) （2）(－a)4·(－a2)·(－a) （3）x5·x3－x4·x4+x7·x+x2·x6 （4）33·36－32·36+3·(－3)7 分析：上面几个题目均较为复杂，但主要是运用同底数幂相乘的法则，底数不同的要化成相同才能使用法则，而且是同类项的要合并。 解（1）(－a)4·(－a)2·(－a)=(－a)4+2+1=(－a)7 （2）(－a)4·(－a2)·(－a) =a4·(－a2)·(－a)=a4·a2·a=a4+2+1=a7 （3）x5·x3－x4·x4+x7·x+x2·x6=x5+3－x4+4+x7+1+x2+6=x8－x8+x8+x8=2x8 （4）33·36－32·36+3·(－3)7=33+6－32+6+3·(－37)=39－38－38 =39－2×38=3×38－2×38 =(3－2)×38=38 2. 幂的乘方： 观察： （1）(23)2=23×23=26 （2）(32)3=32×32×32=32+2+2=36 （3）(a3)4=a3·a3·a3·a3=a3×4=a12 这也就是说：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 例3. 计算： （1）(103)5 （2）(an)2 （3）(am-3)2 （4）[(3x－2y)2]3 （5）[(－x)2]m （6）－(x2)m 分析：解答此题的关键是掌握幂的乘方性质，即：底数不变，指数相乘。(am)n=am·n（m、n为正整数） 解：（1）(103)5=103×5=1015 （2）(an)2=a2n （5）[(－x)2]m=(x2)m=x2m （6）－(x2)m=－x2m 例4. 计算： （1）(a2)8·(a4)4 （2）(－3x)3·(－x2)4 （3）(－x3)2·(－x2)3 （4）[(x－y)2]3·(y－x) 解：（1）(a2)8·(a4)4=a2×8·a4×4=a16·a16=a16+16=a32 （2）(－3x)3·(－x2)4=－(3x)3·(x2)4=－(3x)3·x2×4=－(33×x3)·x8 =－33x3+8=－33·x11 （3）(－x3)2·(－x2)3=(x3)2·[－(x2)3]=x6·(－x6)=－x12 （4）[(x－y)2]3·(y－x)=(x－y)6·[－(x－y)]=－(x－y)6·(x－y)=－(x－y)7 3. 积的乘方： 观察： （1）(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2 （2）(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b4 可得：(ab)n=anbn（n为整数） 这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积。 例5. （1）(2b)3 （2）(2×a3)2 （3）(－a)3 （4）(－3x)4 解：（1）(2b)3=23b3=8b3 （2）(2×a3)2=22(a3)2=4a6 （3）(－a)3=(－1)3a3=－a3 （4）(－3x)4=(－3)4·x4=81x4 例6. 计算： （1）(x2)3·(x2y)2 （2）x8y6－(x4y3)2 （3）2x10－(2x5)2 （4）85×0.1255 （5）162×24×42（用2n的形式表示） 解：（1）(x2)3·(x2y)2=x6·x4y2=x10y2 （2）x8y6－(x4y3)2=x8y6－x4×2y3×2=x8y6－x8y6=0 （3）2x10－(2x5)2=2x10－4x10=－2x10 （5）162×24×42=(24)2×24×(22)2=28×24×24=28+4+4=216二、整式的乘法： 1. 单项式与单项式相乘： 例7. 计算： （1）3x2y·（－2xy3） （2）(－5a2b3)·(－4b2c) 解：（1）3x2y·（－2xy3）=[3·(－2)]·(x2·x)·(y·y3) =－6x3y4 （2）(－5a2b3)·(－4b2c)=[(－5)·(－4)]·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c 单项式与单项式相乘的法则：只要将它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例8. 计算： （2）(3.2×103)×(5×105) （3）(－4a2b5c)·3ab6·(－7b2c3) 解： =－5x6y5 （2）(3.2×103)×(5×105)=3.2×5×(103×105)=16×108=1.6×109 （3）(－4a2b5c)·3ab6·(－7b2c3) =[(－4)×3×(－7)](a2·a)·(b5·b6·b2)·（c·c3） =84a3b13c4 2. 单项式与多项式相乘： 例9. 计算： （1）2a2(3a2－5b) （2）(－2a2)·(3ab2－5ab3) 解：（1）2a2(3a2－5b)=2a2·3a2－2a2·5b=6a4－10a2b （2）(－2a2)·(3ab2－5ab3)=(－2a2)(3ab2)－(－2a2)(5ab3) =－6a3b2－(－10a3b3) =－6a3b2+10a3b3 单项式与多项式相乘的法则：将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。 例10. 计算：x(x2－1)+2x2(x+1)－3x(2x－5) 解：原式=x3－x+2x3+2x2－6x2+15x =3x3－4x2+14x 例11. 已知：ab2=－6，求－ab(a2b5－ab3－b)的值。 分析：此题应该先将单项式与多项式相乘，得出一些关于ab2的代数式，然后再求结果。 解：－ab(a2b5－ab3－b) =－a3b6+a2b4+ab2 =－(ab2)3+(ab2)2+ab2 =－ (－6)3+(－6)2+(－6) =216+36－6 =246 3. 多项式乘多项式： 先研究(m+n)(a+b)： 将(m+n)看成一个整体，有(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b =ma+na+mb+nb 由此可知，多项式乘多项式的法则：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例12. 计算： （1）(x+2)(x－3)； （2）（3x－1）(2x+1) 解：（1）(x+2)(x－3)=x2－3x+2x－6=x2－x－6 （2）（3x－1）(2x+1)=6x2+3x－2x－1=6x2+x－1 例13. 计算： （1）(x－3y)(x+7y)； （2）(2x+5y)(3x－2y) 解：（1）(x－3y)(x+7y)=x2+7xy－3yx－21y2=x2+4xy－21y2 （2）(2x+5y)(3x－2y)=6x2－4xy+15yx－10y2=6x2+11xy－10y2 例14. 先化简，再求值： 6x2+(3x－2)(1－2x)+(x+2)(3－x)，其中x=－1 解：6x2+(3x－2)(1－2x)+(x+2)(3－x) =6x2+(3x－2－6x2+4x)+(3x+6－x2－2x) =6x2+3x－2－6x2+4x+3x+6－x2－2x =－x2+8x+4 =－(－1)2－8+4 =－5。 例15. 若不论x取何值，多项式x3－2x2－4x－1与(x+1)(x2+mx+n)都相等，求m、n。 分析：先求出（x+1）与（x2+mx+n）的积，再比较积与x3－2x2－4x－1的系数。它们对应项的系数应分别相等。 解：(x+1)(x2+mx+n)=x·x2+x·mx+x·n+x2+mx+n =x3+(m+1)x2+(m+n)x+n 因为不论x取何值，两多项式相等，所以m+1=－2 n=－1 即m=－3，n=－1 本课小结： 1. 在幂的运算中，很多情况下要注意观察是否是同底数幂，若是才可以用其法则，否则，不可以用其法则。 2. 在整式的乘法中，要注意熟记这些法则，而且还要继续注意在使用幂的运算时观察其底数。【模拟试题】 1. 计算： （1）(x4)3，（2）(y3)2·(y2)3，（3）3y2·y3－5y·y4， （4）(－P)2·(－P)3·P4－P·P3·(－P)5 （5）t2·(t3)2，（6）8x6－2(x2)3，（7）(x·x2·x3)4，（8）[(y2)2]4 （9）12y8－2y2·(y2)3－3(y4)2－4(y·y3)2 （10）x3(x2y)4，（11）(x2·x3+m)3 （12）3(x5)2·(x3)2－(2x3)2·(x2)5 （13）(3a3)3+(3a3·3a6)－3a9 2. 计算： （1）－3xy·2x2y （4）(－3ab2)(2a2－5ab－1) （5）x(x－y)+x(y－x) （6）3x(－x2－4x+1)－2x·(3x2+x－5) （7）(x－1)(x2+x+1) （8）x(x2－1)－(x+1)(x2+1) （9）(x2－x－1)(2x+1) 3. 已知162×43×26=22x-1，[(10)2]y=1012求x+y的值。 4. 先化简再求值： (－2x)·(3x2－4x－1)+6x3－2x，其中|x－2|=0。 5. 已知(x2+px+8)(x2－3x+q)的乘积中不含有x2与x3的项，求p、q的值。【试题答案】 1. 计算： （1）(x4)3=x12 （2）(y3)2·(y2)3=y6·y6=y12 （3）3y2·y3－5y·y4=3y5－5y5=－2y5 （4）(－P)2·(－P)3·P4－P·P3·(－P)5=P2(－P3)·P4－P4（－P5） =－P9+P9=0 （5）t2·(t3)2=t2·t6=t8 （6）8x6－2(x2)3=8x6－2x6=6x6 （7）(x·x2·x3)4=(x6)4=x24 （8）[(y2)2]4=[y4]4=y16 （9）12y8－2y2·(y2)3－3(y4)2－4(y·y3)2=12y8－2y8－3y8－4y8=3y8 （10）x3(x2y)4=x3·x8y4=x11y4 （11）(x2·x3+m)3=x6·x3(3+m)=x6+9+3m=x15+3m （12）3(x5)2·(x3)2－(2x3)2·(x2)5=3x10x6－2x6·x10=x16 （13）(3a3)3+(3a3·3a6)－3a9=33·a9+9a9－3a9=33a9 2. 计算： （1）－3xy·2x2y=－6x3y2 （4）(－3ab2)(2a2－5ab－1)=－6a3b2+15a2b3+3ab2 （5）x(x－y)+x(y－x)=x(x－y)－x(x－y)=0 （6）3x(－x2－4x+1)－2x·(3x2+x－5)=－3x3－12x2+3x－6x3－2x2+10x =－9x3－14x2+13x （7）(x－1)(x2+x+1)=x3+x2+x－x2－x－1=x3－1 （8）x(x2－1)－(x+1)(x2+1)=x3－x－x3－x2－x－1=－x2－2x－1 （9）(x2－x－1)(2x+1)=2x3－2x2－2x+x2－x－1=2x3－x2－3x－1 3. 解：162×43×26=(24)2×(22)3×26=28×26×26=220=22x-1 故2x－1=20 而[(10)2]y=1012得102y=1012 y=6 4. 解：(－2x)(3x2－4x－1)+6x3－2x=－6x3+8x2+2x+6x3－2x=8x2 而|x－2|=0知x=2 故8x2=8×22=32 5. 解：(x2+px+8)(x2－3x+q)=x4+(p－3)x3+(8+q－3p)x2+(pq－24)x+8q 而题目中已知其乘积中无x3与x2项，故p－3=0 8+q－3p=0 得p=3，q=1。