初中数学沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定教案

第4课时　直角三角形相似的判定

教学目标

1．掌握如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．

2．掌握直角三角形的各种判定方法，用来判定直角三角形相似．

3．运用两直角三角形相似解决问题．

教学重难点

两个直角三角形相似的判定方法及其应用．

教学过程

导入新课

【导语一】 复习直角三角形全等的判定方法．

【导语二】 直角三角形全等的判定方法比一般三角形多一种判定方法，那么两个直角三角形相似的判定方法，是否也比一般三角形多一种呢？

推进新课

一、合作探究

【问题1】 对于两个直角三角形，我们可以用“HL”判定它们全等．那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？

将上面的问题转化为数学问题：如图，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∠C＝90°，∠C1＝90°，＝，证明Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.

在知道两组对应边的比相等的情况下，∠C＝∠C1不是夹角，不能根据“两组对应边的比相等，夹角相等”来判定．只有一组相等的角，不能用“两组对应角相等”来判定．让学生思考、交流，需转化成“两边对应成比例，夹角相等”或“三组对应边的比相等”来判定．

设＝＝k，则AB＝kA1B1，AC＝kA1C1，由勾股定理，得

BC＝，B1C1＝.

所以＝＝＝＝k.

所以＝＝.

所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.

结论：如果两个直角三角形的斜边的比等于一组直角边的比，那么这两个直角三角形相似．

【问题2】 直角三角形是特殊的三角形，一般三角形相似的判定方法适用吗？两直角三角形相似共有几种判定方法？

直角三角形是特殊的三角形，一般三角形相似的判定方法都适用，它本身还具有特殊的判定方法：如果两个直角三角形的斜边的比等于一组直角边的比，这两个直角三角形相似．

二、巩固提高

【例题】如图，已知矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．

分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．

三、达标训练

1．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD上一点，要使△ABC∽△CDE，则需添加的条件是________．

2．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.

本课小结

1．直角三角形相似的判定方法

直角三角形是特殊的三角形，除一般三角形相似的判定方法外，它本身还具有特殊的判定相似的方法：直角三角形的斜边和直角边的比相等，两个直角三角形相似．

2．判定两个直角三角形相似时，除考虑直角三角形相似的判定方法，还可以考虑一般三角形相似的方法．

1．相似三角形判定的基本图形

(1)平行线型的相似三角形，如图①②③，其中DE∥BC，则△ADE∽△ABC.

(2)相交线型的相似三角形，如图④⑤⑥⑦，其中有一个公共角，另有∠1＝∠2.

(3)旋转型的相似三角形，如图⑧⑨，在图⑧中，∠1＝∠2，∠D＝∠B，则△ADE∽△ABC，△ADE是绕点A顺时针方向旋转∠1的度数而得；在图⑨中，∠1＝∠2，AD⊥BC，AB⊥BE，则△ADC∽△ABE，是将△ADC绕点A逆时针方向旋转∠BAD的度数而得．

熟悉上述基本类型的相似三角形，将有助于在复杂图形中，正确而迅速地识别图中的相似三角形．

2．分类讨论思想在相似三角形中的应用举例

数学思想是数学的灵魂，是打开数学学习与研究之门的金钥匙．其中分类讨论思想是数学思想中的一种重要的思想方法，下面举例说明分类讨论思想在相似三角形中的应用．

(1)对应边不确定

【例1】 △ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从A开始沿AB边向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以4 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经几秒钟△PBQ与△ABC相似？

分析：本题是一道动态开放探索性问题，解决这类问题的思路是：动中求“静”，“一般”中见特殊．由于点P、Q在移动过程中的路线都是∠B(即∠ABC或∠PBQ)的两边，所以只需夹住∠B的两边对应成比例，则这两个三角形就相似，但没有明确∠B(即∠ABC或∠PBQ)的两边的对应关系，所以就存在两种关系：△PBQ∽△ABC或△QBP∽△ABC.

解：设经过t s △PBQ与△ABC相似，

则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10－2t.

①当△PBQ∽△ABC时，有，

即，解得t＝2.5；

②当△QBP∽△ABC时，有，

即，解得t＝1.

所以经过1 s或2.5 s时△PBQ与△ABC相似．

(2)对应角不确定

【例2】 如图，∠A＝50°，∠B＝60°，一直线l与△ABC的AC、AB边分别相交于D、E两点，当∠ADE为多少度时，△ABC与△ADE相似？

分析：显然∠C＝70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC与△ADE相似．

解：①当∠ADE＝∠C＝70°时，

△ABC∽△AED.

②当∠ADE＝∠B＝60°时，

△ABC∽△ADE.

所以当∠ADE等于70°或60°时，

△ABC与△ADE相似．

(3)图形的位置不确定

【例3】 如图①，直角三角形铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3 cm和4 cm，在这个三角形铁片中剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料最少，你有怎样的剪法？

分析：要使剩下的边角料最少，就是要使剪出的正方形铁片面积最大，需要利用相似三角形的性质求出正方形的边长，但剪出正方形的方法有两种，要进行讨论．

解：(1)按图②的剪法，设正方形的边长为x cm，

则AD＝(4－x) cm.

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.

∴＝，即＝，解得x＝ cm.

∴正方形DCFE的面积S1＝2＝(cm2)．

(2)按图③的剪法，设正方形的边长为y cm，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，交DE于点M.

∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB.

∴＝，AB＝＝5(cm)．

又∵CH·AB＝BC·AC，∴CH＝＝(cm)．

∴CM＝(cm)．

∴＝，即y＝12－5y，解得y＝(cm)．

∴正方形DEFG的面积S2＝2＝(cm2)．

∵＞，∴S1＞S2.

∴采用图②的剪法可使正方形的面积最大，即剩下的边角料最少．

3．坐标系中的相似形

把相似形与坐标系联系在一起是中考考查的新内容之一，解决这类问题要注意坐标符号与线段之间的转化．

【例1】 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0,6)，点B(8,0)，AB＝10.动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)求直线AB的解析式；

(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．

分析：(1)根据A、B两点坐标，可直接用待定系数法列方程组求解；(2)△APQ与△AOB相似，有两种情况，一是△APQ∽△AOB，这时∠APQ＝∠AOB；二是△AQP∽△AOB，这时∠AQP＝∠AOB，可根据相似三角形对应边成比例列方程求解．

解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

由题意，得解得

∴直线AB的解析式为y＝－x＋6.

甲

(2)由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：

①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，如图甲．

∴＝，解得t＝(s)．

∴P，Q.

乙

②当∠AQP＝∠AOB时，

有△AQP∽△AOB，如图乙．

∴＝，

解得t＝(s)．

∴P，Q.

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)．

(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数关系式；

(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

解：(1)∵OA＝12 cm，OB＝6 cm，

由题意，得BQ＝t，OP＝t，∴OQ＝6－t.

∴y＝×OP×OQ＝×t×(6－t)＝－t2＋3t(0≤t≤6)．

(2)当△POQ和△AOB相似时，有

①若＝，即＝，

解得t＝4(s)；

②若＝，即＝，解得t＝2(s)．

∴当t＝4 s或t＝2 s时，△POQ与△AOB相似．