第二章 第五节 幂函数与二次函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
对于形如f(x)＝xeq \f(n,m)(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的3种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
课前检测
1.已知 f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数，则 a+b=( )
A．2B．1
C．12D．0
【答案】A
【解析】本题考查幂函数的知识．
由题可得 a=1，-b+1=0，进而求出 a+b．
f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数．
可得 a=1，-b+1=0．
∴b=1．
a+b=2．
故选 A
2.幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3，当 x∈(0,+∞) 时为减函数，则实数 m 的值为( )
A．m=-1 或 2
B．m=-1
C．m=2
D．m=1±52
【答案】C
【解析】∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数，
∴m2-m-1=1，即 m2-m-2=0，解得：m=2 或 m=-1．
当 m=2 时，m2-2m-3=-3，y=x-3 在 (0,+∞) 上为减函数；
当 m=-1 时，m2-2m-3=0，y=x0=1(x≠0) 在 (0,+∞) 上为常数函数（舍去），
∴ 使幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为 (0,+∞) 上的减函数的实数 m 的值 2．
故选 C
3.幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．m>n>pB．m>p>n
C．n>p>mD．p>n>m
【答案】C
【解析】
在(0,1)内取同一值x0，
作直线x=x0，与各图象有交点．
则由“点低指数大”，知：n>p>m，
故选：C．
【备注】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用
4．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案 D
解析 函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
5．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)