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    2022年高中数学新教材人教B版必修第二册学案第四章 §4.7 数学建模活动:生长规律的描述
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    人教B版 (2019)必修 第二册4.7 数学建模活动:生长规律的描述学案

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.7 数学建模活动:生长规律的描述学案,共3页。

    §4.7 数学建模活动生长规律的描述

    1发现问题提出问题

    我国是人口大国人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标预测人口模型的合理性不仅影响到未来地区经济和社会发展而且会影响到地区生态环境可持续发展因此建立合理的模型准确地预测未来人口的发展趋势制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义

    下面是我国19641999年人口统计表

    年份

    1964

    1969

    1974

    1979

    1984

    1989

    1994

    1999

    人口数/亿

    7.04

    8.06

    9.08

    9.79

    10.34

    11.06

    11.76

    12.52

     

    照这样的增长趋势试估计2009年我国的人口数

    2分析问题建立模型

    根据上表数据在平面直角坐标系中画出人口增长曲线图选一个近似于人口增长曲线的函数写出它的解析式

    (1)根据上表数据在平面直角坐标系中标出各点

    (2)由图可以看出人口数不断增加各点近似在一条直线上画出一条与标出的8个点最接近的直线再用待定系数法求出这条直线对应的一次函数写出它的解析式

    3确定参数计算求解

    设函数解析式为ykxb经过点(1 964,7.04)(1 994,11.76)

    解得

    所以函数解析式为y10.157x301.308.

    经过(1 984,10.34)(1 969,8.06)得到函数解析式为y20.152x291.228.

    4验证结果改进模型

    照这样的增长趋势我们来估计2009年我国的人口数

    x2 009y10.157×2 009301.30814.105

    x2 009y20.152×2 009291.22814.14.

    1982年宪法将计划生育定为基本国策实际到2009年我国人口总数约为13.347亿

    人口的变化受到众多方面因素影响因此对人口的预测与控制复杂很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响看下面二次函数模型

    问题重述

    根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据(如下表)建立模型估计出该地区2010年的人口同时画出拟合效果的图形

    该地区人口统计数据

    年份

    1800

    1810

    1820

    1830

    1840

    1850

    1860

    人口

    7.2

    13.8

    17.2

    17.6

    24.7

    33.6

    36.2

    年份

    1870

    1880

    1890

    1900

    1910

    1920

    1930

    人口

    48.6

    58.1

    73.3

    89.8

    105.6

    125.9

    149.1

    年份

    1940

    1950

    1960

    1970

    1980

    1990

    2000

    人口

    172.2

    189.8

    230.5

    246.7

    262.1

    271.2

    280.3

     

    分析问题建立模型

    从图像可以看出该地区人口数量y与年份x的关系可以近似看作二次函数关系yax2bxc利用已有数据拟合可得到参数abc.例如利用(1 800,7.2)(1 90089.8)(2 000,280.3)三组数据列方程组

    解得a0.005 395b=-19.135 5c16 971.3

    y0.005 395x219.135 5x16 971.3.

    验证结果改进模型

    作函数y0.005 395x219.135 5x16 971.3的图像如图所示

    从以上二次函数模型和原数据点的拟合效果可以看出拟合效果在1940年之前还可以但是对后期的数据拟合的不好

    我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报说到本世纪末或到下世纪中叶全世界(或某地区)的人口将达到多少亿你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上有较大的区别这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果

    关于人口模型这方面的内容是很丰富的我国学者为了解决我国人口迅速增长的问题作了大量的调查研究建立了不少的人口模型为我国政府指定相应的人口政策提供依据

    事实上人口的预测是一个相当复杂的问题影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外还和医药卫生条件的改善人们生育观念的变化等因素有关特别在做中短期预测时我们希望得到满足一定预测精度的结果比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等这些因素本身以及由此引起的年龄结构变化就变得相当重要也要予以考虑

     

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