高中数学人教版新课标B必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试导学案及答案

微专题4　函数性质及其综合运用

函数的性质是函数部分的重点内容，目前我们学习到的主要是函数的单调性和奇偶性，在高考中出题往往是以这两个性质为中心，综合考查根据题目交代的背景进行的逻辑思维能力和运算能力．牵涉到的主要有数形结合思想、转化与化归思想、方程思想等思想方法．借助奇偶函数的定义、单调性定义以及它们的逆用，分离变量、转化主元等都是能够处理这类问题的主要技巧．

一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小

例1　已知函数f(x)对任意实数x都满足f(－x)－f(x)＝0，且当x∈[0，＋∞)时都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]<0成立，令a＝f(1)，b＝f ，c＝f(－2)，则(　　)

A．b<a<c   B．c<a<b

C．b<c<a   D．a<b<c

答案　A

解析　由已知可得f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，

故f ＜f(1)＜f(2)＝f(－2)，即b<a<c.

反思感悟　奇偶函数和单调函数结合，判断大小问题往往是把各个自变量统一到函数的一个单调区间上，再根据增减性进行比较．

二、利用奇函数、偶函数的图像解不等式

例2　已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(－3)＝0，则不等式(x－2)f(x)<0 的解集是(　　)

A．(－∞，－3)∪(2,3)   B．(－3，－2)∪(3，＋∞)

C．(－3,3)   D．(－2,3)

答案　A

解析　∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)内是增函数，∴f(x)在(－∞，0]内是减函数，∵f(－3)＝f(3)＝0，则f(x)对应的草图如图：

则不等式(x－2)·f(x)<0等价为①

或②

由①得得2<x<3，由②得得x<－3，综上，2<x<3或x<－3，故不等式的解集为(－∞，－3)∪(2,3)．

反思感悟　利用偶函数在对称区间上的单调性相反和分类讨论的思想是解决本题的关键，通过题目条件画出符合函数条件的草图是主要方法，通过讨论x>2，x<2 两种情况，将问题的难度分解，从而使问题得到解答．

三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式

例3　已知f(x)为定义在R上的偶函数，g(x)＝f(x)＋x2，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)单调递增，则不等式f(x＋1)－f(x＋2)<2x＋3的解集为(　　)

A.   B.

C．(－∞，－3)   D．(－∞，3)

答案　B

解析　根据题意，g(x)＝f(x)＋x2，且f(x)为定义在R上的偶函数，

则g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝f(x)＋x2＝g(x)，即函数g(x)为偶函数，

f(x＋1)－f(x＋2)＜2x＋3⇒f(x＋1)＋(x＋1)2＜f(x＋2)＋(x＋2)2，即g(x＋1)＜g(x＋2)，

又由g(x)为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，

则有|x＋1|＜|x＋2|，将不等式两边同时平方解得x>－，即不等式的解集为.

反思感悟　对于一边含有函数对应法则符号，而另一边是式子的解不等式问题，一般是通过变形等方法，让另一边的式子也带上符号，然后利用单调性，再去掉函数符号求解．

四、利用函数的奇偶性、单调性求最值

例4　已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.

解　如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图像，

由图知，当x∈时，

f(x)的最小值为f(1)＝－1，

又f ＝2，f(4)＝5，

所以f(x)的最大值为f(4)＝5.

又f(x)为奇函数，所以当x∈时，

f(x)的最大值为f(－1)＝－f(1)＝1，

f(x)的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－5.

所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.

反思感悟　解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图像关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图像关于y轴对称．

五、利用函数的奇偶性、单调性解决恒成立问题

例5　已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，当x1，x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有>0，若存在x∈[－1,1]，使得f(x)≤m2－3am＋4对任意a∈[－2,1]恒成立，求实数m的取值范围．

解　∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且>0，

∴>0成立，

由x1，x2为[－1,1]上的任意值，且x1≠－x2，

∴f(x)是增函数．

由题意可知fmin(x)≤m2－3am＋4，

又∵fmin(x)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

可得m2－3am＋4≥－1对任意a∈[－2,1]恒成立，

令g(a)＝m2－3am＋5，

∵g(a)≥0在[－2,1]上恒成立，

则即

解得m∈(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．

反思感悟　 本题利用奇函数对已知条件变形，从而得出函数的单调性是关键，恒成立问题往往是先分离变量(本题没用到)，然后利用函数的单调性求最值解决，转换主元也是本题考查的一个方面．

六、抽象函数的应用

例6　函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.

(1)证明　设x1，x2∈R，且x1<x2，

则x2－x1>0，f(x2－x1)>1.

∴f(x2)－f(x1)＝f [(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)

＝f(x2－x1)－1>0.

∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．

(2)解　∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

∴原不等式可化为f(3m－2)<f(2)．

∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m<.

故不等式的解集为.

反思感悟　解决抽象函数的主要方法是赋值，往往可以令里面的两个未知数分别等于对方的相反数或者赋值为0,1之类的数值，在题目条件给出的情况下，如本题的f(4)＝5，就要在赋值的时候往这个条件上靠拢，一般是先考虑作为自变量的数的一半．

七、函数的综合问题

例7　设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1(x∈R)．

(1)若函数f(x)是偶函数，求实数a的值；

(2)若a＝2，求函数f(x)的最小值；

(3)对于函数y＝m(x)，在定义域内给定区间[a，b]，如果存在x0(a<x0<b)，满足m(x0)＝，则称函数m(x)是区间[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”．如函数y＝x2是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数g(x)＝－x2＋mx＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．

解　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立，

即(－x)2＋|－x－a|＋1＝x2＋|x－a|＋1，

∴|x＋a|＝|x－a|，得ax＝0，

∵x∈R，∴a＝0.

(2)当a＝2时，f(x)＝x2＋|x－2|＋1

＝

∴f(x)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝5，

f(x)在(－∞，2)上的的最小值为f ＝，

∵<5，∴函数f(x)的最小值为.

(3)∵函数g(x)＝－x2＋mx＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，

∴存在x0∈(－1,1)，使g(x0)＝，

而＝m，存在x0∈(－1,1)，使得g(x0)＝m，

即关于x的方程－x2＋mx＋1＝m在(－1,1)内有解；

由－x2＋mx＋1＝m得x2－mx＋m－1＝0，

解得x1＝1，x2＝m－1，∴－1<m－1<1，即0<m<2.

故m的取值范围是(0,2)．

反思感悟　本题牵涉到的知识点较多，主要有函数奇偶性定义、分段函数求最值、含参一元二次方程有解问题．新定义函数是最近几年比较流行的出题方法，关键要弄清楚题目交代的背景，而且往往是利用上面的已经做完的解答为启示进行解答．