高中物理人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力4 力的合成和分解学案设计

4　力的合成和分解

[学习目标]　1.通过实际生活实例，体会等效替代物理思想．(重点)　2.通过实验探究，得出求合力的方法——平行四边形定则．(重点)　3.会用作图法和直角三角形的知识求共点力的合力与分解．(难点)　4.运用力的合成与分解知识分析日常生活中的相关问题，培养将物理知识应用于生活和生产实践的意识．

一、合力和分力

假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力．这几个力就叫作那个力的分力．

二、力的合成和分解

1．定义：求几个力的合力的过程叫作力的合成；求一个力的分力的过程叫作力的分解．

2．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向．

3．分解法则：遵循平行四边形定则．把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2.

4．分解依据

(1)一个力分解为两个力，如果没有限制，可以分解为无数对大小、方向不同的分力．

(2)实际问题中，要依据力的实际作用效果或需要分解．

三、矢量和标量

1．矢量：既有大小，又有方向，相加时遵从平行四边形定则或三角形定则的物理量．

2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量．

3．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向．三角形定则与平行四边形定则实质上是一样的．

1．正误判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)合力与分力同时作用在一个物体上． (×)

(2)由力的平行四边形定则可知，合力可能小于分力． (√)

(3)把已知力F分解为两个分力F1与F2，此时物体受到F、F1、F2三个力的作用．  (×)

(4)既有大小，又有方向的物理量一定是矢量． (×)

(5)矢量与标量的本质区别是它们的运算方法不同． (√)

2．(多选)将力F分解为F1、F2两个分力，则下列说法正确的是(　　)

A．F1、F2和F同时作用在物体上

B．由F求F1或F2叫作力的分解

C．由F1、F2求F叫作力的合成

D．力的合成与分解都遵循平行四边形定则

BCD　[分力和合力是等效替代关系，不能同时作用在物体上，A错；由力的合成和分解的概念可知B、C正确．力的合成和分解都是矢量运算，都遵循平行四边形定则，D正确．]

3．(多选)关于几个力与其合力，下列说法正确的是(　　)

A．合力的作用效果跟原来那几个力共同作用产生的效果相同

B．合力与原来那几个力同时作用在物体上

C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用

D．求几个共点力的合力遵循力的平行四边形定则

ACD　[合力与分力是“等效替代”的关系，即合力的作用效果与几个分力共同作用时的效果相同，合力的作用效果可以替代这几个分力的作用效果，不能认为合力与分力同时作用在物体上，所以A、C正确，B错误；求合力应遵循力的平行四边形定则，所以D正确．]

1.合力的计算方法

(1)作图法

根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

(2)计算法

两分力共线时：

①若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同；

②若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同．

两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．

以下为求合力的两种常见特殊情况：

2.合力与分力的大小关系

(1)合力与分力间的大小关系

当两分力F1、F2大小一定时：

①最大值：两力同向时合力最大，F＝F1＋F2，方向与两力同向．

②最小值：两力方向相反时，合力最小，F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向．

③合力范围：两分力的夹角θ(0°≤θ≤180°)不确定时，合力大小随夹角θ的增大而减小，所以合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.

(2)三个力合力范围的确定

①最大值：当三个力方向相同时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2＋F3.

②最小值：若其中两个较小的分力之和(F1＋F2)≥F3时，合力的最小值为零，即Fmin＝0；若其中两个较小的分力之和(F1＋F2)<F3时，合力的最小值Fmin＝F3－(F1＋F2)．

③合力的取值范围：Fmin≤F≤F1＋F2＋F3.

【例1】　如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)

A．50 N　　　　　　 B．60 N

C．120 N   D．100 N

思路点拨：①轻绳跨过定滑轮，BC段绳和BD段绳的拉力大小相等．

②重物静止，BD段绳的拉力为mg＝100 N.

③BC段和BD段绳的拉力间夹角为120°.

D　[轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示．由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，又因为∠DBE＝60°，所以△BDE为等边三角形，所以F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N，选项D正确．]

上例中，若将横梁一端A处改为铰链，绳子系于横梁另一端B处，此时横梁恰好水平，如图所示．则AB杆和BC绳所受弹力分别为多大？

[提示]　AB杆和BC绳合力与BD绳的拉力大小相等，方向相反，即

FBC＝＝200 N

FAB＝FBDtan 60°＝100 N.

解决分力与合力问题的注意点

(1)作图法求合力

①作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度．

②严格采用作图工具作图，并用测量工具测出对应力的大小及方向．

③作图时表示分力和合力的有向线段共点且要画成实线，与分力平行的对边要画成虚线，表示力的线段上要画上刻度和箭头．

(2)计算法求合力时常用到的几何知识

①应用直角三角形中的边角关系求解，适用于平行四边形的两边垂直、平行四边形的对角线与一条边垂直及菱形的情况．

②应用等边三角形的特点求解．

③应用相似三角形的知识求解，适用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况．

1. 如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头．其中一人用了450 N的拉力，另一人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求合力．

[解析]　解法一：作图法用图示中的线段表示150 N的力．用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形，如图所示．用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°.

解法二：计算法

设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F.

由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得

F＝ N＝750 N

合力F与F1的夹角θ的正切值

tan θ＝＝＝

所以θ＝53°.

[答案]　750 N，与较小拉力的夹角为53°

1.一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的．实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力．

2．一个合力分解为一组分力的情况分析

(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．

甲　　　　　乙

(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．

甲　　　　　乙

(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：

①当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示；

②当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示；

③当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示；

④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示．

【例2】　把一个80 N的力F分解成两个分力F1、F2，其中力F1与F的夹角为30°，求：

(1)当F2最小时，另一个分力F1的大小；

(2)F2＝50 N时，F1的大小．

[解析]　(1)当F2最小时，如图甲所示，F1和F2垂直，此时F1＝Fcos 30°＝80× N＝40 N.

甲　　　　　乙

(2)根据图乙所示，Fsin 30°＝80 N×＝40 N＜F2

则F1有两个值．

F1′＝Fcos 30°－＝(40－30) N

F1″＝(40＋30) N.

[答案]　(1)40 N　(2)(40－30) N或(40＋30) N

1画矢量图是解决力的分解问题的有效途径.

2涉及“最大”“最小”等极值问题时，可多画几种不同情形的图，通过比较鉴别正确情景.

2．把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是(　　)

A.F　　　　　　　 B.F

C.F   D.F

C　[如图所示，由于<F2＝F<F，所以F1的大小有两种情况，根据F2＝F可知，F2有两个方向，F21和F22，对应F21利用几何关系可以求得F11＝F，对应F22利用几何关系得F12＝F，选项C正确．]

1.求解力的分解问题的基本思路

对一个实际力的分解问题，关键是根据力的作用效果确定力的分解方向，然后再画出力的平行四边形，这样问题就转化为了一个根据已知边角关系进行求解的几何问题．其基本思路可表示为：

2．常见典型力的分解实例

常见典型力的分解实例可分成面模型、绳模型、杆模型．

1．面模型中，力的作用效果往往垂直于面．

2．绳模型中，力的作用效果往往沿着绳．

3．杆模型中，力的作用效果不一定沿着杆：如果杆与墙是转动连接(用可转动的滑轮相连)，力的作用效果就沿着杆，其他情况，力的作用效果不一定沿着杆．

【例3】　如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.

[解析]　小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′，构成的平行四边形，如图所示．

小球对墙面的压力F1＝F1′＝mgtan 60°＝

100 N，方向垂直墙壁向右；

小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向．

[答案]　见解析

上例中，若将竖直墙壁改为与左端相同的墙角B撑住小球且B端与A端等高，则小球对墙角的压力分别为多大？方向如何？

[提示]　由几何关系知：FA＝FB＝mg＝100 N，故小球对A、B点的压力大小都为100 N，方向分别沿OA、OB方向．

按作用效果分解力的一般思路

3．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　D

C　[A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项图均画得正确．C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C项图画错．D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项图画得正确．]

1．(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法正确的是(　　)

A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同

B．两力F1、F2一定是同种性质的力

C．两力F1、F2一定是同一物体受到的力

D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力

AC　[只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成，C正确；合力是对原来几个分力的等效替代，各分力可以是不同性质的力，合力与分力不能同时存在，A正确，B、D错误．]

2．如图所示，挑水时水桶上绳子连接状态分别如图中a、b、c三种情况．下列说法中正确的是(　　)

A．a状态绳子受力大容易断

B．b状态绳子受力大容易断

C．c状态绳子受力大容易断

D．a、b、c三种状态绳子受力都一样

A　[桶的重力产生两个效果，即沿绳子的两个分力，由平行四边形定则可知，绳子的夹角越大，绳子的分力越大，a绳夹角最大，故A正确．]

3．两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是(　　)

A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N

C．F1＝1 N，F2＝8 N   D．F1＝2 N，F2＝1 N

B　[两力合成时，合力范围为：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，A中合力为7 N≤F≤11 N，B中合力为4 N≤F≤12 N，C中的合力为7 N≤F≤9 N，D中的合力为1 N≤F≤3 N，故B正确．]

4．如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力能恰沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小．

[解析]　如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，

使合力F沿正东方向，则

F＝F1cos 30°＝100× N＝50 N

F2＝F1sin 30°＝100× N＝50 N.

[答案]　50 N　50 N