2021年浙江省温州市中考数学名校冲刺金卷（2） 解析版

这是一份2021年浙江省温州市中考数学名校冲刺金卷（2） 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省温州市中考数学名校冲刺金卷（2）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）在给定的﹣2，8，0，四个实数中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．8 C．0 D．
2．（4分）两个长方体按如图所示方式摆放，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）我国东风21D的打击精确度接近巡航导弹，具有足够的实力对航母造成一定伤害，而东风26相比于东风21D而言，射程数据更加出色，它能够直接打击5100公里范围内的既定目标．数据5100用科学记数法表示为（　　）
A．5.1×102 B．5.1×103 C．5.1×104 D．51×102
4．（4分）在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个．搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．75°
7．（4分）如图，在▱ABCD中，BD＝6，AC＝10，BD⊥AB，则AD的长为（　　）

A．8 B． C．2 D．2
8．（4分）工人师傅将截面为矩形的木条锯成矩形ABCD和矩形AEFG两部分如图所示，C，B，G在一条直线上，CB＝a，BG＝b，∠AGB＝β，则点E到CG的距离等于（　　）

A．acosβ+bsinβ B．asinβ+btanβ
C．acosβ+btanβ D．asinβ+btanβ
9．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A．6 B． C．5 D．
10．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以E为中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD分别与FE，FC交于P，Q两点，若tan∠BCE＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：x2﹣9＝　 　．
12．（5分）不等式组的解集为 　 　．
13．（5分）小聪为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是125千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区400户居民这一天投放的可回收垃圾共约 　 　千克．

14．（5分）若扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 　 　．
15．（5分）小明家装修时留有一个菱形区域需铺瓷砖，其中有两根大小一样的圆形排水管如图，整个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，按规定切出菱形瓷砖ABCD，并在这块瓷砖上挖出两个圆．经测量发现，AB＝52cm，点B到左圆的最近距离BE＝14cm，BC到左圆最近距离FH＝6cm，且圆的半径均为6cm，则两个圆的圆心相距 　 　cm．

16．（5分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点均在反比例函数y＝的图象上，点A与点C关于原点O对称且∠ABC＝90°，将△ABC沿着直线AC翻折得到△ADC，若CD平行于x轴，AC＝2，则k的值为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程
17．（10分）（1）计算：|；
（2）化简：．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

19．（8分）为纪念2021年3月22﹣28日“中国水周”﹣﹣珍惜水•爱护水•节约水．某校七八年级进行“珍惜水资源”知识竞赛，成绩分为优秀，良好，及格，不合格四个等级，其相应等级得分分别为10分，8分，6分，4分．随机抽查了七、八年级各40人，将抽查出来的七年级和八年级的成绩整理并绘制成统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）分别求出七年级和八年级的平均成绩；
（2）从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何评价这两个年级的成绩？请说明理由．
20．（8分）如图，在8×8的方格纸中，A，B两点都在格点上，请按要求画出图形．
（1）图1中找出格点C，使△ABC是等腰三角形；
（2）图2中找出格点C，D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，且∠BAD的余弦值为．

21．（10分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（3，0）和点（2，3）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴；
（2）平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，它们的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），且x1x2＝，求AB的长．

22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝Rt∠，点O在BC上，以O为圆心，以OC为半径构造半⊙O，与AB切于点D，与BC，CA分别交于E，F两点．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）过点F作FH⊥BC于点H（点H在点O的左侧），交DC于点G，若，BE＝1，求⊙O的直径长．

23．（12分）某体育器材专卖店销售A，B两款篮球，已知A款篮球的销售单价比B款篮球多10元，且用4000元购买A款篮球的数量与用3600元购买B款篮球的数量相同．
（1）A、B两款篮球的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A、B两款篮球很快售完，该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍．
①求A款篮球至少有几个；
②老板计划让利顾客，A款篮球8折出售，B款篮球的销售单价不变，且两款篮球的进价每个均为60元，应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元？
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AP＝1，且点P在边AD上．将△ABP沿直线PB折得到△EBP，延长PE交射线BC于点F，分别延长BE，CD交于点G，连接PG．
（1）求证：△PBF是等腰三角形．
（2）若PG＝，求DG的长．
（3）设点Q为PG的中点，连接DQ，是否存在DQ垂直于△PEG的一边？如果存在，请求出BC的长；如果不存在，请说明理由．


2021年浙江省温州市中考数学名校冲刺金卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）在给定的﹣2，8，0，四个实数中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．8 C．0 D．
【分析】根据实数的大小关系解决此题．
【解答】解：根据实数的大小关系，得﹣2＜0＜＜8．
∴在﹣2，8，0，四个实数中，最小的是﹣2．
故选：A．
2．（4分）两个长方体按如图所示方式摆放，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层中间是一个较小的矩形，
故选：B．
3．（4分）我国东风21D的打击精确度接近巡航导弹，具有足够的实力对航母造成一定伤害，而东风26相比于东风21D而言，射程数据更加出色，它能够直接打击5100公里范围内的既定目标．数据5100用科学记数法表示为（　　）
A．5.1×102 B．5.1×103 C．5.1×104 D．51×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5100＝5.1×103．
故选：B．
4．（4分）在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个．搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．
【解答】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P（摸到红球）＝，
故选：A．
5．（4分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．75°
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝100°，根据垂径定理得到＝，进而求出∠BOD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB、OC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，
∵E是边BC的中点，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝×100°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠D＝×（180°﹣50°）＝65°，
故选：C．

7．（4分）如图，在▱ABCD中，BD＝6，AC＝10，BD⊥AB，则AD的长为（　　）

A．8 B． C．2 D．2
【分析】根据平行四边形的性质得出OB，OA，进而利用勾股定理得出AB，进而解答即可．
【解答】解：AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴2AO＝AC，2OB＝BD，
∵BD＝6，AC＝10，
∴OA＝5，OB＝3，
∵DB⊥AB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝，
在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD＝，
故选：D．
8．（4分）工人师傅将截面为矩形的木条锯成矩形ABCD和矩形AEFG两部分如图所示，C，B，G在一条直线上，CB＝a，BG＝b，∠AGB＝β，则点E到CG的距离等于（　　）

A．acosβ+bsinβ B．asinβ+btanβ
C．acosβ+btanβ D．asinβ+btanβ
【分析】过点E作EH⊥BA的延长线于点H，则∠HAE＝∠AGB＝β，再用∠β的正切值和余弦值表示出AH和AB的长，可得答案．
【解答】解：过点E作EH⊥BA的延长线于点H，

∵∠BAG+∠AGB＝90°，∠BAG+∠HAE＝90°，
∴∠HAE＝∠AGB＝β，
∵BG＝b，tanβ＝，
∴AB＝btanβ，
∵AE＝AD＝BC＝a，
∴cosβ＝，
∴AH＝acosβ，
∴HB＝AH+AB＝acosβ+btanβ，
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【分析】先求出二次函数的解析式，然后求出C的坐标，根据对称性将AP+PC转化为PB+PC，因为PB+PC≤BC，
所以得出PB+PC的最小值为BC，求出BC即可．
【解答】解：∵y＝x2+bx+c过（﹣1，0），（5，0），
∴，
∴，
∴y＝x2﹣4x﹣5，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），

∵AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC⩽BC，
当P，B，C三点共线时，
PA+PC＝BC，
∴，
故选：C．
10．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以E为中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD分别与FE，FC交于P，Q两点，若tan∠BCE＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点F点作FG⊥AD交AD于点G，由旋转的性质可得∠BCE＝∠AEP，即可求证△BCE∽△AEP，推出PF：PE＝1：2，因为FG∥AB∥CD，可以推出∴APE∽△GPF，△FGQ∽△CDQ，根据线段比例关系和勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点F点作FG⊥AD交AD于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，FG∥AB，
∵将EC逆时针旋转90°得到EF，
∴∠CEF＝90°，EF＝EC，
∵∠BEC+∠BCE＝90°，∠BEC+∠AEP＝90°，
∴∠BCE＝∠AEP，
∴△BCE∽△AEP，
∵tan∠BCE＝，
设BE＝a，则BC＝3a，AE＝2a，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：CE＝＝a，
∵△BCE∽△AEP，
∴，即，
解得：AP＝，EP＝，
∴PF＝EF﹣EP＝EC﹣EP＝，
∴PF：PE＝1：2，
∵FG∥AB∥CD，
∴△APE∽△GPF，△FGQ∽△CDQ，
∴PG：AP＝1：2，即PG＝，FG：AE＝1：2，即FG＝a，DG＝AD﹣AP﹣PG＝2a，
∵FG：CD＝a：3a＝1：3，
∴QG：DQ＝1：3，即QG＝DG＝，
∴QP＝QG+PG＝，
在Rt△QAE中，用勾股定理得：QE＝＝．
∴＝．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
12．（5分）不等式组的解集为 　﹣2≤x＜3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3+x≥1，得：x≥﹣2，
解不等式2x﹣6＜0，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
故答案为：﹣2≤x＜3．
13．（5分）小聪为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是125千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区400户居民这一天投放的可回收垃圾共约 　150　千克．

【分析】求出样本中125千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案．
【解答】解：估计该小区400户居民这一天投放的可回收垃圾共约×125×15%＝150（千克），
故答案为：150．
14．（5分）若扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 　π　．
【分析】根据扇形的面积＝•l•r，计算即可．
【解答】解：由题意，S＝×π×2＝π，
故答案为π．
15．（5分）小明家装修时留有一个菱形区域需铺瓷砖，其中有两根大小一样的圆形排水管如图，整个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，按规定切出菱形瓷砖ABCD，并在这块瓷砖上挖出两个圆．经测量发现，AB＝52cm，点B到左圆的最近距离BE＝14cm，BC到左圆最近距离FH＝6cm，且圆的半径均为6cm，则两个圆的圆心相距 　　cm．

【分析】设左边的圆的圆心为J，连接EJ，JH，连接AC，BD交于点O．利用相似三角形的性质求出OJ，可得结论．
【解答】解：设左边的圆的圆心为J，连接EJ，JH，连接AC，BD交于点O．

∵EJ＝JF＝6cm，BE＝14cm，FH＝6cm，
∴BJ＝BE+EJ＝14+6＝20（cm），JH＝12cm，
在Rt△BHJ中，BH＝＝＝16（cm），
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°＝∠BHJ，
∵∠HBJ＝∠CBO，
∴△JHB∽△COB，
∴＝，
∴＝，
∴OB＝cm，
∴OJ＝OB﹣BJ＝﹣20＝（cm），
根据对称性可知，两个圆的圆心相距＝2OJ＝（cm），
故答案为：．
16．（5分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点均在反比例函数y＝的图象上，点A与点C关于原点O对称且∠ABC＝90°，将△ABC沿着直线AC翻折得到△ADC，若CD平行于x轴，AC＝2，则k的值为 　　．

【分析】根据题意得出∠AOB＝2∠AOE＝45°，S△AOB＝2S△AOE，即可根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOB＝2S△AOE＝2×|k|＝，从而求得k＝．
【解答】解：连接OB、OD，作BF⊥OA于F，
设AD与x轴的交点为E，
∵点A与点C关于原点O对称，AC＝2，
∴OA＝OC＝1，
∵∠ABC＝90°，
∴OB＝AC＝OA，
∵顶点A、B均在反比例函数y＝的图象上，
∴A、B关于直线y＝x对称，
∵CD∥x轴，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥x轴，
∴AE＝DE，
∴∠AOE＝∠DOE，S△AOD＝2S△AOE，
∴∠AOD＝2∠AOE，
∵将△ABC沿着直线AC翻折得到△ADC，
∴△AOD≌△AOB，
∴∠AOB＝∠AOD＝2∠AOE，
∴4∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝22.5°，
∴∠AOB＝45°，
∴OF＝BF＝OB＝，
∴S△AOB＝OF•BF＝，
∴S△AOB＝2S△AOE＝2×|k|＝，
∴k＞0，
∴k＝．
故答案为：．

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程
17．（10分）（1）计算：|；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简绝对值，负整数指数幂，二次根式，然后再计算；
（2）先将原式变形，然后利用同分母分式加减法运算法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣2
＝﹣2﹣；
（2）原式＝
＝
＝
＝a﹣b．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝140°，
∴∠OBC＝20°．
19．（8分）为纪念2021年3月22﹣28日“中国水周”﹣﹣珍惜水•爱护水•节约水．某校七八年级进行“珍惜水资源”知识竞赛，成绩分为优秀，良好，及格，不合格四个等级，其相应等级得分分别为10分，8分，6分，4分．随机抽查了七、八年级各40人，将抽查出来的七年级和八年级的成绩整理并绘制成统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）分别求出七年级和八年级的平均成绩；
（2）从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何评价这两个年级的成绩？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的求解方法进行解答即可；
（2）分别求出中位数，众数，再进行分析即可．
【解答】解：（1）七年级的平均成绩为：×（9×10+20×8+5×6+6×4）＝7.6；
八年级的平均成绩为：×（40×40%×10+40×25%×8+40×20%×6+40×15%×4）＝7.8；
（2）由题意得：七年级的中位数是：，八年级的中位数是：，
七年级的众数是：8，八年级的众数是：10；
从平均数上看，7.8＞7.6，则八年级的成绩比七年级的成绩较好；
从中位数上看，8＝8，则两个年级的成绩一样；
从众数上看，10＞8，则八年级的成绩比七年级的要好．
20．（8分）如图，在8×8的方格纸中，A，B两点都在格点上，请按要求画出图形．
（1）图1中找出格点C，使△ABC是等腰三角形；
（2）图2中找出格点C，D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，且∠BAD的余弦值为．

【分析】（1）根据AB＝BC＝5或AB＝AC＝5，分别找出符合要求的点C；
（2）根据轴对称的性质画图．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝BC＝5，或AB＝AC＝5，
∴有4个格点C符合条件，
当AC＝BC时，点C不在格点上，

（2）若AB的垂直平分线为对称轴，找出符合要求的点C、D如下：

21．（10分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（3，0）和点（2，3）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴；
（2）平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，它们的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），且x1x2＝，求AB的长．

【分析】（1）把（3，0），（2，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中，解二元一次方程组即可求出c、b，从而求出二次函数表达式，并由对称轴x＝﹣求出对称轴；
（2）由对称轴可得x1+x2＝2，再利用完全平方公式可得结论．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（3，0）和点（2，3），
∴，
解得b＝2，c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3，对称轴x＝﹣＝1．
（2）∵平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，
∴A、B关于直线x＝1对称，即x1+x2＝2，
∵x1x2＝，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴AB＝|x1﹣x2|＝3．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝Rt∠，点O在BC上，以O为圆心，以OC为半径构造半⊙O，与AB切于点D，与BC，CA分别交于E，F两点．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）过点F作FH⊥BC于点H（点H在点O的左侧），交DC于点G，若，BE＝1，求⊙O的直径长．

【分析】（1）连接OD，由切线的性质可证明AB⊥OD，得OD∥AC，则可以得到∠ODC＝∠ACD＝∠OCD，得到CD平分∠ACB；
（2）连接DE，先证明△BDE∽△FCG，求出BD的长，再证明△BDE∽△BCD，求出BC的长，即可得到CE的长，即⊙O的直径长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB切⊙O于点D，
∴AB⊥OD，
∴∠BDO＝∠BAC＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODC＝∠ACD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ACD＝∠OCD，
∴CD平分∠ACB．
（2）如图，连接DE，
∵FH⊥BC于点H，
∴∠CHF＝∠A＝90°，
∴∠B＝∠CFG＝90°﹣∠ACB，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝∠ODC＝90°﹣∠ODE，
∵∠ODC＝∠OCD，
∴∠BDE＝∠OCD＝∠FCG，
∴△BDE∽△FCG，
∴＝，
∴＝＝，
∵BE＝1，
∴BD＝＝＝，
∵∠B＝∠B，∠BDE＝∠BCD，
∴△BDE∽△BCD，
∴＝，
∵BC＝＝＝，
∴CE＝﹣1＝，
∴⊙O的直径长为．

23．（12分）某体育器材专卖店销售A，B两款篮球，已知A款篮球的销售单价比B款篮球多10元，且用4000元购买A款篮球的数量与用3600元购买B款篮球的数量相同．
（1）A、B两款篮球的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A、B两款篮球很快售完，该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍．
①求A款篮球至少有几个；
②老板计划让利顾客，A款篮球8折出售，B款篮球的销售单价不变，且两款篮球的进价每个均为60元，应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）设B款篮球的单价是a元，则A款篮球的单价是（a+10）元，根据“已知A款篮球的销售单价比B款篮球多10元，且用4000元购买A款篮球的数量与用3600元购买B款篮球的数量相同”列分式方程解答即可，注意分式方程要检验；
（2）设购买A款篮球x个，根据“该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍”列不等式解答即可；
②根据题意可以得到利润与购买A款篮球数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）设B款篮球的单价是a元，则A款篮球的单价是（a+10）元，
根据题意得，
解得，a＝90，
经检验，a＝90是原分式方程的解，
则a+10＝100，
答：A、B两款篮球的销售单价分别是100元、90元；
（2）①设购买A款篮球x个，则购买B款篮球（100﹣x）个，
∵A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍，
∴x≥2（120﹣x），
解得，x≥80，
故A款篮球至少有80个；
②设销售利润为w元，
则w＝（100×0.8﹣60）x+（90﹣60）（100﹣x）＝﹣10x+3000，
∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝2200，100﹣x＝20，
答：当购买A款篮球80个，B款篮球20个时，能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是2200元．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AP＝1，且点P在边AD上．将△ABP沿直线PB折得到△EBP，延长PE交射线BC于点F，分别延长BE，CD交于点G，连接PG．
（1）求证：△PBF是等腰三角形．
（2）若PG＝，求DG的长．
（3）设点Q为PG的中点，连接DQ，是否存在DQ垂直于△PEG的一边？如果存在，请求出BC的长；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图1中，证明∠FPB＝∠FBP，可得结论．
（2）如图2中，过点P作PH⊥BC于H，则四边形ABHP是矩形，设BG交AD于点F．设FP＝FB＝x，利用勾股定理求出x，推出BF＝PF＝5，EF＝4，再利用相似三角形的性质，求出PT，ET，DG即可．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当DQ⊥EG时，设DQ交TG于点J．设DT＝m，则DG＝m，GT＝m，如图3﹣2中，当DQ⊥PG时，分别构建方程求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴∠APB＝∠PBF，
由翻折的性质可知，∠APB＝∠BPE，
∴∠BPE＝∠PBF，
∴FP＝FB，
∴△PBF是等腰三角形．

（2）解：如图2中，过点P作PH⊥BC于H，则四边形ABHP是矩形，设BG交AD于点F．

∴AB＝PH＝3，AP＝BH＝1，
设BF＝PF＝x，则HF＝x﹣1，
在Rt△PHF中，则有x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴HF＝4，PF＝BF＝5，
∴EF＝＝＝4，
∵PT∥BF，
∴△PTE∽△FBE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PT＝，ET＝
∵PG＝，PE＝1，
∴EG＝＝＝2，
∴GT＝EG﹣ET＝2﹣＝，
∵∠PTE＝∠DTG，∠PET＝∠TDG＝90°，
∴△PTE∽△GTD，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝1．

（3）存在．如图3﹣1中，当DQ⊥EG时，设DQ交TG于点J．设DT＝m，则DG＝m，GT＝m，

∵DQ∥PE，GQ＝QP，
∴JE＝JG，
∴+m＝×m，
解得m＝，
∴BC＝AT+DT＝1++＝，
如图3﹣2中，当DQ⊥PG时，

∵QG＝QP，DQ⊥PG，
∴DG＝DP，
∴PT+DT＝DG，
∴+m＝m，
∴m＝，
∴BC＝AT+DT＝1++＝6．
综上所述，满足条件的BC的值为或6．