浙江省温州市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)
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这是一份浙江省温州市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省温州市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)
1.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知一个三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长不可能的是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
3.不等式x+2<0的解在数轴上的表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.若a>b,则下列不等式不正确的是( )
A.﹣5a>﹣5b B. C.5a>5b D.a﹣5>b﹣5
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B﹣∠A=10°,则∠A的度数为( )
A.50° B.40° C.35° D.30°
6.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( )
A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50°
C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40°
7.如图,在△DEC和△BFA中,点A,E,F,C在同一直线上,已知AB∥CD,且AB=CD,若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA,则需添加的条件是( )
A.EC=FA B.∠A=∠C C.∠D=∠B D.BF=DE
8.如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.已知x=2不是关于x的不等式2x﹣m>4的整数解,x=3是关于x的不等式2x﹣m>4的一个整数解,则m的取值范围为( )
A.0<m<2 B.0≤m<2 C.0<m≤2 D.0≤m≤2
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=4,点D是斜边AB的中点,以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE,使∠CDE=∠A,DE交BC于点F,则EF的长为( )
A.3 B. C. D.3.5
二、填空题(本题有8小题,每小题3分,共24分)
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则△ABC的外角∠BCD= 度.
12.根据数量关系:x的2倍与1的和大于x,可列不等式: .
13.不等式组的整数解是 .
14.如图,若∠α=38°,根据尺规作图的痕迹,则∠AOB的度数为 .
15.如图是一个等腰三角形,它的周长为28,其中腰长为x,则x的取值范围为 .
16.全国文明城市创建期间,某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛,共有25道题.答对一题记4分,答错(或不答)一题记﹣2分.小明参加本次竞赛得分要超过60分,他至少要答对 道题.
17.如图,在长方形ABCD中,点E是BC上一点,连结AE,以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E,延长EB′恰好经过点D,过点E作EF⊥BC,垂足为E,交AB′于点F,已知AB=9,AD=15,则EF= .
18.勾股定理有很多种证明方法,我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股定理.在Rt△ABC中,已知AB=2BC,分别以AB,BC,AC为边,按如图所示的方式作正方形ABDE,正方形BCFG,正方形ACHI.其中HI与BD交于点N,设四边形ABNI的面积为S1,△CHN的面积为S2,则= .
三、解答题(本题有6小题,共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
19.解不等式(组):
(1)1+3(x﹣2)≥x﹣3;
(2).
20.如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.
(1)求证:AC=BD;
(2)若∠ABC=35°,求∠CAO的度数.
21.如图1,图2是两张形状、大小完全相同的“5×7”方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D是方格纸上的四个格点(小正方形的顶点称为格点).
(1)在图1中画一个等腰三角形ADE,其中点E在格点上,且不在线段AB或CD上(画一个即可);
(2)在图2中画线段AM与BN,使AM=BN,其中点M,N分别是BC,CD上(不与端点重合)的格点.
22.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连结CD,BE,BD=BC=BE.
(1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数;
(2)设∠ACD=α°,∠ABE=β°,求α与β之间的数量关系,并说明理由.
23.某商场同时购进甲、乙、丙三种商品共100件,总进价为6800元,其每件的进价和售价如下表:
商品名称
甲
乙
丙
进价(元/件)
40
70
90
售价(元/件)
60
100
130
设甲种商品购进x件,乙种商品购进y件.
(1)商场要求购进的乙种商品数量不超过甲种商品数量,求甲种商品至少购进多少件?
(2)若销售完这些商品获得的最大利润是3100元,求甲种商品最多购进多少件?
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是直角边BC上一点,作射线AD,已知∠DAB=∠DBA,E是△ABC外射线AD上一动点,连结BE.
(1)当BE⊥AB时,求证:BD=ED;
(2)当AC=4,BC=8时,求AD的长;
(3)设△ACD的面积为S1,△BDE的面积为S2,且,在点E的运动过程中,是否存在△BDE为等腰三角形,若存在,求出相应的的值,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)
1.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,据此判断即可.
解:由轴对称图形的概念可知,选项B中的图形沿着一条直线翻折,直线两方的部分能够完全重合,所以它是轴对称图形,而选项A,C,D中的图形找不到这样一条直线,翻折后使直线两方的部分能够完全重合,所以它们都不是轴对称图形.
故选:B.
2.已知一个三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长不可能的是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
【分析】根据三角形三边关系得出,任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边,即可得出第三边的取值范围.
解:∵此三角形且两边为3和4,
∴第三边的取值范围是:1<x<7,
在这个范围内的都符合要求.
故选:D.
3.不等式x+2<0的解在数轴上的表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
解:移项得,x<﹣2,
在数轴上表示为:,
故选:D.
4.若a>b,则下列不等式不正确的是( )
A.﹣5a>﹣5b B. C.5a>5b D.a﹣5>b﹣5
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.
解:A.∵a>b,
∴﹣5a<﹣5b,故本选项符合题意;
B.∵a>b,
∴>,故本选项不符合题意;
C.∵a>b,
∴5a>5b,故本选项不符合题意;
D.∵a>b,
∴a﹣5>b﹣5,故本选项不符合题意;
故选:A.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B﹣∠A=10°,则∠A的度数为( )
A.50° B.40° C.35° D.30°
【分析】根据直角三角形的性质得到∠B+∠A=90°,根据题意列出方程组,解方程组得到答案.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,
则∠B+∠A=90°,
∴,
解得:,
故选:B.
6.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( )
A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50°
C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件,但不满足结论的例子.
解:A、满足条件∠1+∠2=90°,也满足结论∠1≠∠2,故A选项错误;
B、不满足条件,故B选项错误;
C、满足条件,不满足结论,故C选项正确;
D、不满足条件,也不满足结论,故D选项错误.
故选:C.
7.如图,在△DEC和△BFA中,点A,E,F,C在同一直线上,已知AB∥CD,且AB=CD,若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA,则需添加的条件是( )
A.EC=FA B.∠A=∠C C.∠D=∠B D.BF=DE
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠C,再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可.
解:需添加的条件是∠D=∠B,
理由是:∵AB∥CD,
∴∠A=∠C,
在△DEC和△BFA中,
,
∴△DEC≌△BFA(ASA),
故选:C.
8.如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【分析】作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,根据角平分线的性质得到DH=DG,证明Rt△DEG≌Rt△DFH,得到∠DEG=∠DFH,根据互为邻补角的性质得到答案.
解:作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,
∵D是∠ABC平分线上一点,DG⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DG,
在Rt△DEG和Rt△DFH中,
,
∴Rt△DEG≌Rt△DFH(HL),
∴∠DEG=∠DFH,又∠DEG+∠BED=180°,
∴∠BFD+∠BED=180°,
∴∠BFD的度数=180°﹣140°=40°,
故选:A.
9.已知x=2不是关于x的不等式2x﹣m>4的整数解,x=3是关于x的不等式2x﹣m>4的一个整数解,则m的取值范围为( )
A.0<m<2 B.0≤m<2 C.0<m≤2 D.0≤m≤2
【分析】由2x﹣m>4得x>,根据x=2不是不等式2x﹣m>4的整数解且x=3是关于x的不等式2x﹣m>4的一个整数解得出≥2、<3,解之即可得出答案.
解:由2x﹣m>4得x>,
∵x=2不是不等式2x﹣m>4的整数解,
∴≥2,
解得m≥0;
∵x=3是关于x的不等式2x﹣m>4的一个整数解,
∴<3,
解得m<2,
∴m的取值范围为0≤m<2,
故选:B.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=4,点D是斜边AB的中点,以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE,使∠CDE=∠A,DE交BC于点F,则EF的长为( )
A.3 B. C. D.3.5
【分析】根据勾股定理求出BC,根据直角三角形的性质得到CD=AD,证明AC∥DF,根据勾股定理计算,得到答案.
解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=4,
则BC===,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,
∴CD=AB=AD,
∴∠DCA=∠A,
∵∠CDE=∠A,
∴∠CDE=∠DCA,
∴AC∥DF,
∴∠EFC=∠ACB=90°,
∵AC∥DF,点D是斜边AB的中点,
∴DF=AC=,CF=BC=,
设EF=x,则ED=x+=CE,
在Rt△EFC中,EC2=EF2+CF2,即(x+)2=x2+()2,
解得:x=3.5,即EF=3.5,
故选:D.
二、填空题(本题有8小题,每小题3分,共24分)
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则△ABC的外角∠BCD= 110 度.
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB,根据三角形的内角和定理求出∠B,∠根据三角形的外角性质即可求出答案.
解:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠A=40°,
∴∠B=∠ACB=(180°﹣∠A)=70°,
∴∠BCD=∠A+∠B=40°+70°=110°,
故答案为:110.
12.根据数量关系:x的2倍与1的和大于x,可列不等式: 2x+1>x .
【分析】关系式为:x的2倍+1>x,把相关数值代入即可.
解:∵x的2倍为2x,
∴x的2倍与1的和大于x可表示为:2x+1>x,
故答案为:2x+1>x.
13.不等式组的整数解是 ﹣1 .
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后取其整数解即可得出结论.
解:.
解不等式①,得:x<0;
解不等式②,得:x>﹣2.
∴不等式组的解集为﹣2<x<0,
∴不等式组的整数解为﹣1.
故答案为:﹣1.
14.如图,若∠α=38°,根据尺规作图的痕迹,则∠AOB的度数为 76° .
【分析】由尺规作图的作法得到∠AOB=2∠α,代入数据即可得到答案.
解:由尺规作图可知,∠AOB=2∠α,
∵∠α=38°,
∴∠AOB=76°,
故答案为:76°.
15.如图是一个等腰三角形,它的周长为28,其中腰长为x,则x的取值范围为 7<x<14 .
【分析】首先用含x的式子表示底边,并且底边要大于零,得到关于x的不等式;利用三角形的任意两边之和大于第三边得到关于x的不等式.解不等式组即可.
解:∵腰长为x,且等腰三角形的周长为28,
∴底边为28﹣2x,并且28﹣2x>0,得x<14.
又∵x+x>28﹣2x,
解得x>7.
∴x的取值范围是7<x<14.
故答案为:7<x<14.
16.全国文明城市创建期间,某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛,共有25道题.答对一题记4分,答错(或不答)一题记﹣2分.小明参加本次竞赛得分要超过60分,他至少要答对 19 道题.
【分析】设小明答对x道题,则答错(或不答)(25﹣x)道题,利用总得分=4×答对题目数﹣2×答错(或不答)题目数,结合小明参加本次竞赛得分要超过60分,即可得出关于x的一元一次不等式,解之取其中的最小整数值即可得出结论.
解:设小明答对x道题,则答错(或不答)(25﹣x)道题,
依题意得:4x﹣2(25﹣x)>60,
解得:x>.
又∵x为正整数,
∴x可以取的最小值为19.
故答案为:19.
17.如图,在长方形ABCD中,点E是BC上一点,连结AE,以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E,延长EB′恰好经过点D,过点E作EF⊥BC,垂足为E,交AB′于点F,已知AB=9,AD=15,则EF= 5 .
【分析】由轴对称的性质可知:AB′=AB=9,∠AB′E=∠B=90°,B′E=BE,∠B′AE=∠BAE,然后根据勾股定理可得DB,BE的长,进而可得EF的长.
解:由轴对称的性质可知:AB′=AB=9,∠AB′E=∠B=90°,B′E=BE,∠B′AE=∠BAE,
在Rt△ADB′中,根据勾股定理,得
DB===12,
∵BC=AD=15,
∴EC=BC﹣BE=15﹣BE,
在Rt△DEC中,DE=DB′+B′E=12+BE,DC=AB=9,
根据勾股定理,得
DE2=EC2+DC2,
∴(12+BE)2=(15﹣BE)2+92,
解得BE=3,
∵EF⊥BC,AB⊥BC,
∴EF∥AB,
∴∠FEA=∠BAE,
∵∠B′AE=∠BAE,
∴∠FEA=∠B′AE,
∴FA=FE,
∴FB′=AB′﹣AF=9﹣FE,
在Rt△EFB′中,根据勾股定理,得
EF2=FB′2+EB′2,
∴EF2=(9﹣FE)2+32,
解得EF=5.
故答案为:5.
18.勾股定理有很多种证明方法,我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股定理.在Rt△ABC中,已知AB=2BC,分别以AB,BC,AC为边,按如图所示的方式作正方形ABDE,正方形BCFG,正方形ACHI.其中HI与BD交于点N,设四边形ABNI的面积为S1,△CHN的面积为S2,则= .
【分析】如图,连接IG,过点H作HP⊥IG于P,交BD于Q,设BC=a,则AB=2a,根据正方形性质可证得△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB,得出S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=a2,S正方形BGPQ=a2,S正方形ACHI=5a2,再证得△DNI≌△QNH(AAS),可求得:S2=a2,S1=a2,即可求得答案.
解:如图,连接IG,过点H作HP⊥IG于P,交BD于Q,
设BC=a,则AB=2a,
∵四边形ABDE、四边形BCFG和四边形ACHI是正方形,
∴AE=AB=2a,BG=BC=a,∠ABC=∠BAE=∠AEI=∠CAI=∠D=90°,
∴∠IAE+∠BAI=∠BAI+∠CAB=90°,
∴∠IAE=∠CAB,
∴△AIE≌△ACB(ASA),
同理可得:△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB,
∴S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=×a×2a=a2,
∵∠GBQ=∠BGP=∠GPQ=90°,BG=GP=a,
∴四边形BGPQ是正方形,
∴S正方形BGPQ=a2,
∴S正方形ACHI=5a2,
∵ID=QH=a,∠D=∠HQN=90°,∠DNI=∠QNH,
∴△DNI≌△QNH(AAS),
∴DN=NQ=a,
∴S△HNQ=×a×a=a2,
∴S2=S△CHN=S△CHQ+S△HNQ=a2+a2=a2,
∴S1=S四边形ABNI=S正方形ACHI﹣S△ACB﹣S△CHN=5a2﹣a2﹣a2=a2,
∴==;
故答案为:.
三、解答题(本题有6小题,共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
19.解不等式(组):
(1)1+3(x﹣2)≥x﹣3;
(2).
【分析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤:去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
解:(1)去括号,得1+3x﹣6≥x﹣3,
移项,得3x﹣x≥6﹣1﹣3,
合并同类项,得2x≥2,
两边都除以2,得x≥1;
(2),
解不等式①,得x≥﹣2,
解不等式②,得x<1,
所以该不等式组的解为﹣2≤x<1.
20.如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.
(1)求证:AC=BD;
(2)若∠ABC=35°,求∠CAO的度数.
【分析】(1)由“HL”可证Rt△ACB≌Rt△BDA,再根据全等三角形的性质即可得解;
(2)由全等三角形的性质可得∠BAD=∠ABC=35°,再根据角的和差即可求解.
【解答】证明:(1)∵∠C=∠D=90°,
∴△ACB和△BDA都是直角三角形,
在Rt△ACB和Rt△BDA中,
,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL),
∴AC=BD;
(2)在Rt△ACB中,∠ABC=35°,
∴∠CAB=90°﹣35°=55°,
由(1)可知△ACB≌△BDA,
∴∠BAD=∠ABC=35°,
∴∠CAO=∠CAB﹣∠BAD=55°﹣35°=20°.
21.如图1,图2是两张形状、大小完全相同的“5×7”方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D是方格纸上的四个格点(小正方形的顶点称为格点).
(1)在图1中画一个等腰三角形ADE,其中点E在格点上,且不在线段AB或CD上(画一个即可);
(2)在图2中画线段AM与BN,使AM=BN,其中点M,N分别是BC,CD上(不与端点重合)的格点.
【分析】(1)作AD=AE=5,即可(答案不唯一);
(2)作线段AM=BN=5即可.
解:(1)如图1,△ADE即为所求(答案不唯一).
(2)如图2,线段AM和线段BN即为所求.
22.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连结CD,BE,BD=BC=BE.
(1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数;
(2)设∠ACD=α°,∠ABE=β°,求α与β之间的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可;
(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可.
解:(1)∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=30°,∠ACB=70°,
∴∠ABC=80°.
在△BDC中,BD=BC,
∴,
∴∠ACD=∠BDC﹣∠A=20°.
(2)设∠BCD=x°,
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE=(α+x)°,
∴∠DBC=180°﹣2x°,∠EBC=180°﹣2(α+x)°.
∴∠DBC﹣∠EBC=(180°﹣2x°)﹣[180°﹣2(α+x)°]=2α°,
又∵∠DBC﹣∠EBC=∠ABE=β°,
∴2α=β.
23.某商场同时购进甲、乙、丙三种商品共100件,总进价为6800元,其每件的进价和售价如下表:
商品名称
甲
乙
丙
进价(元/件)
40
70
90
售价(元/件)
60
100
130
设甲种商品购进x件,乙种商品购进y件.
(1)商场要求购进的乙种商品数量不超过甲种商品数量,求甲种商品至少购进多少件?
(2)若销售完这些商品获得的最大利润是3100元,求甲种商品最多购进多少件?
【分析】(1)先根据题意用含x的式子表示出y,再列不等式可得答案;
(2)根据甲、乙、丙的进价和售价列出不等式,再解不等式可得答案.
解:(1)根据题意,得40x+70y+90(100﹣x﹣y)=6800,
解得,
∵乙种商品数量不超过甲种商品数量,
∴y≤x,
∴,
解得.
答:甲种商品至少购进32件;
(2)根据题意,得20x+30y+40(100﹣x﹣y)≤3100,
由(1),得,
代入不等式,解得x≤40,
答:甲种商品最多购进40件.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是直角边BC上一点,作射线AD,已知∠DAB=∠DBA,E是△ABC外射线AD上一动点,连结BE.
(1)当BE⊥AB时,求证:BD=ED;
(2)当AC=4,BC=8时,求AD的长;
(3)设△ACD的面积为S1,△BDE的面积为S2,且,在点E的运动过程中,是否存在△BDE为等腰三角形,若存在,求出相应的的值,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据等角的余角相等、等腰三角形的判定定理证明即可;
(2)根据勾股定理列出方程,解方程得到答案;
(3)过点B作BH⊥DE,垂足为H,分ED=BD、ED=BE、BD=BE三种情况,根据等腰三角形的性质计算即可.
【解答】(1)证明∵BE⊥AB,
∴∠DAB+∠AEB=90°,
∵∠DBA+∠DBE=90°.∠DAB=∠DBA,
∴∠DBE=∠AEB,
∴BD=ED;
(2)解:∵∠DAB=∠DBA,
∴AD=BD,
设AD=BD=x,则CD=8﹣x,
由勾股定理,得AD2﹣CD2=AC2,即x2﹣(8﹣x)2=42,
解得:x=5,
∴AD=5;
(3)解:如图,过点B作BH⊥DE,垂足为H,
∴∠BHD=90°.
在△ACD和△BHD中,
,
∴△ACD≌△BHD(AAS),
∴AC=BH,CD=HD.
∵△ACD的面积为S1,△BDE的面积为S2,=,
∴CD:ED=18:25,
∴HD:EH=18:7.
设CD=HD=18a,ED=25a,则EH=7a,
当ED=BD时,则AD=BD=25a,
则==,
当ED=BE时,则BE=25a,
由勾股定理得:BH==24a,
则AC=24a,
由勾股定理得:AD==30a,
∴BD=30a,
则==;
当BD=BE时,DH=HE,
∵HD:EH=18:7,
∴不存在此情况.
综上所述,存在△BDE是等腰三角形,的值为或.
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