专题15 导数的几何意义与运算（原卷版）-备战2022年高考数学二轮复习专题之提分秘典

专题15  导数几何意义与运算

一、单选题

1．（2021·山东聊城·高三期中）曲线在处的切线斜率为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】

利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数在这一点的切线的斜率

【详解】

，则，故在处的切线斜率为

故选：B

2．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，在单调递减

B．当时，在处的切线为轴

C．当时，在存在唯一极小值点，且

D．对任意，在一定存在零点

【答案】C

【分析】

直接法，逐一验证选项.选项A，利用导数的符号进行判断即可；选项B，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项C通过导数求出函数极值并判断极值范围；选项D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线的交点问题．

【详解】

对于选项A，当时，，，恒成立，所以在单调递增，故选项A不正确；

对于选项B，当时，，，故切点为 ，，所以切线斜率，

故直线方程为：，即切线方程为： ，故选项B不正确；

对于选项C，当时，，，，恒成立，所以单调递增，

又， 故存在唯一极值点，不妨设 ，则，即，且，

所以极小值，故选项C正确；

对于选项D，对于，，令，即，当，且， 显然没有零点，故，且，

所以则令，，令，解得，

所以 单调递减， 单调递增，有极小值，于是知时得 ，所以当时，函数无零点，对于条件中任意的均有零点矛盾，故选项D不正确；

故选：C

【方法点睛】

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

3．（2021·全国·高三期中（文））已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意可得，可求得、的值，即可求得结果.

【详解】

因为，则，，

又，．

故选：D.

4．（2021·四川·高三期中（理））已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据切线与已知直线垂直，可以得到切线的斜率，与求导的斜率相等，即可求出参数的值

【详解】

．当时，,因为切线与直线垂直，直线斜率为，所以切线斜率为，即，得：

故选：A

5．（2021·山东烟台·高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.

【详解】

，当时，，所以，由万能公式得：

所以

故选：B

6．（2021·江苏·高二课时练习）已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先求出的导函数，再由奇偶性以及特殊值即可得出答案.

【详解】

∵，

∴

易知是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B和D，

由，排除C，所以A正确.

故选：A.

7．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知，其中为函数的导数.则（    ）

A．0 B．2 C．2021 D．2022

【答案】B

【分析】

求导计算得到，，代入数据得到答案.

【详解】

，

；

则，

，

.

故选：B.

8．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数（是自然对数的底数），则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.

【详解】

因为，则，

所以，，所以，，故，

因此，.

故选：C.

9．（2020·福建省龙岩第一中学高三月考）已知函数，则其导函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

先求出，可根据为偶函数和得到正确的选项.

【详解】

因为，

所以，

∴为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项A、B；

又，故排除选项D.

故选：C.

二、填空题

10．（2021·四川省德阳中学校高三月考（理））已知函数曲线在点处的切线方程___________．

【答案】

【分析】

根据导数的几何意义即可求出.

【详解】

因为,所以,曲线在点处的切线方程为.

故答案为: .

11．（2021·全国·高三月考（文））函数在处的切线与平行，则切线方程为________.

【答案】

【分析】

利用导数的几何意义，求得在处的切线的斜率k，又，代入点斜式方程，整理即可得答案.

【详解】

，

，解得.

又，

切线方程为，即.

故答案为：

12．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）已知函数，则的值为______．

【答案】

【分析】

先对函数求导，然后令代入导函数中求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求出的值

【详解】

由，得，

令，则，解得，

所以，

所以，

故答案为：

13．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．

【答案】

【分析】

构造，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.

【详解】

构造，则，

函数满足，则，故在上单调递增．

又∵，则，

则不等式⇔，即，

根据在上单调递增，可知．

故答案为：

三、解答题

14．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数：

（1）；

（2）.

（3）；

（4）；

（5）y＝.

（6）；

（7）；

（8）；

（9）y＝.

（10）

（11）

（12）.

【答案】

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

【分析】

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的求导公式分别对函数求导即可得出答案.

（1）解：因为，所以；

（2）解：因为，

所以；

（3）解：因为，

所以；

（4）解：因为，

所以；

（5）解：因为，

所以；

（6）解：因为，

所以；

（7）解：因为，

所以；

（8）解：因为，

所以；

（9）解：因为，

所以

＝＝；

（10）解：因为，

所以；

（11）解：因为，

所以；

（12）解：因为，

所以.

15．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数；

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【答案】

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【分析】

根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；

（1）解：因为，所以；

（2）解：因为，所以；

（3）解：因为，所以；

（4）解：因为，所以；

（5）解：因为，所以

（6）解：因为，所以

16．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【答案】

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【分析】

根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；

（1）解：因为，所以

（2）解：因为，所以

（3）解：因为，所以

（4）解：因为，所以

（5）解：因为，所以

（6）解：因为，所以