上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题（简答）

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一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，集合，则
2. 向量在向量方向上的投影为
3. 二项式的二项展开式中第3项的二项式系数为
4. 复数的共轭复数为
5. 已知是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，那么使得
成立的实数的取值范围是
6. 已知函数，则
7. 已知，条件，条件（），若是的充分不必要条件，
则实数的取值范围是
8. 已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则
的取值范围是
9. 数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为
10. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的
上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为
11. 已知数列的前项和为，对任意，且
，则实数的取值范围是
12. 已知函数关于的不等式的解集
是，若，则的取值范围是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
14. 一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（ ）
A. B. C. D.
15. 若圆和圆没有公共点，则实数的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
16. 设是的垂心，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示，圆锥的底面圆半径，母线.
（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
（2）过点在圆锥底面作的垂线交底面圆圆弧于点，
设线段中点为，求异面直线与所成角的大小.
18. 设函数（，为实数）.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）设，求函数的最小值（用表示）.
19. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东30°方向8处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西75°方向上，已知.
（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1）
（2）求景点与景点之间的距离.
（结果精确到0.1）
20. 给正有理数、（，，，且和不
同时成立），按以下规则排列：① 若，则排在前面；② 若
，且，则排在的前面，按此规则排列得到数列.
（例如：）.
（1）依次写出数列的前10项；
（2）对数列中小于1的各项，按以下规则排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列，求数列的前10项的和，前2019项的和；
（3）对数列中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合，的子集满足：对任意的，有，求集合
中元素个数的最大值.
21. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？
证明你的结论.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
二. 选择题
13. B 14. C 15. D 16. D
三. 解答题
17.（1），；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1）km；（2）km.
20.（1）；（2），；（3）1010.
21.（1）是；（2）；（3）