人教版八下数学 第20章 平均数、众数、中位数及方差经典例题

平均数、众数、中位数及方差

◆考点链接

    1．通过实际例子，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差．

    2．会计算加权平均数、极差，并用它们表示数据的离散程度．

◆典例精析

    【例题1】（绍兴）某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（  ）．

    A．在公园调查了1000名老年人的健康状况;

    B．在医院调查了1000名老年人的健康状况;

    C．调查了10名老年邻居的健康状况;

    D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况

    答案：D

    评析：调查、收集数据是统计学中的一个重要环节．因此对调查的对象是采用普查或抽查，选取的样本是否具有代数性都应考虑．

    【例题2】为了调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：min）分别为：60，55，75，55，55，43，65，40．
    （1）求这组数据的众数、中位数；

    （2）求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60min，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？

    解：（1）这组数据中，55出现了3次，出现次数最多，即这组数据的众数是55；将数据按从小到大排列，其中间两个数据都是55，即这组数据的中位数是55．

    （2）平均数是：=（60+55+75+55+55+43+65+40）=56（min），

    ∴这8名学生完成家庭作业所需的平均时间为56min．

    ∵56<60，由此估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求．

    【例题3】（武汉）在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S甲2=172，S乙2=256．下列说法：

    ①两组的平均数相同；

    ②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；

    ③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；

    ④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；

    ⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．

    其中正确的共有（  ）．

    A．2种     B．3种    C．4种     D．5种

    解：甲组的平均数是80分，乙组的平均数是80分，所以①正确；S甲2小于S乙2，所以甲组的成绩要稳定些，②也正确；甲组成绩的众数是90，乙组成绩的众数是70，所以③正确；甲组成绩的中位数是80，乙组成绩的中位数是80，从中位数来看成绩一样，成绩≥80的人数甲组比乙组多，甲组成绩总体比乙组好，所以④正确；⑤的说法显然正确，所以选D．

    评析：要会求平均数、众数、中位数、方差；同时知道方差越大波动就越大，性能越不稳定．

◆探究实践

    【问题1】（广西）数据2，3，m，5，9，n的平均数是3，则m，n的平均数是_____．

    解：由（2+3+m+5+9+n）÷6=3得m+n=-1，所以m，n的平均数是-0．5．

    评析：本题用到了平均数的公式和整体思想．

    【问题2】（宜昌）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶．从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：

    根据表中数据，可以认为三台包装机中，_______包装机包装的茶叶质量最稳定．

    解：方差小，波动就小，性能就稳定，所以选乙．

◆中考演练

一、填空题

1．（宁波）在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为______分．

2．菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼（假设这个塘里养的是同一种鱼），先捕上100条做标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼______条．

3．（天津）已知一组数据：-2，-2，3，-2，x，-1，若这组数据的平均数是0.5，则这组数据的中位数是________．

二、选择题

1．（天津）已知甲乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差是S甲2=0.055，乙组数据的方差是S乙2=0.105，则（  ）．

    A．甲组数据比乙组数据波动性大;        B．乙组数据比甲组数据波动性大;

    C．甲组数据与乙组数据波动性一样大;    D．甲乙两组数据的波动性无法比较

2．（甘肃）甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲2=2.4，S乙2=3.2，则射击稳定性是（  ）．

    A．甲高     B．乙高    C．两人一样多    D．不能确定

3．（辽宁）鞋店试销一种新款女鞋，一周内各种型号的鞋卖出的情况如下表所示：

    对这个鞋店的经理来说，她最关注的是数据的（  ）．

    A．平均数    B．众数    C．中位数    D．极差

三、解答题

1．（山东）为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下，（单位：分）：

    （1）请填写下表：

    （2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名学生的成绩进行分析．

2．（吉林）下图中给出的条形图是截至2002年44位费尔兹奖得主获奖时的年龄统计图，经计算费尔兹获得主获奖时的平均年龄是35岁，根据条形图回答问题：

    （1）费尔兹得主获奖时的年龄超过中位数的有多少人？

    （2）费尔兹得主获奖时年龄的极差是多少？

    （3）费尔兹奖得主获奖时年龄高于平均年龄的人数占获奖人数的百分比是多少？

◆实战模拟

一、填空题

1．（湘潭）某公司对应聘者进行面试，按专业知识、工作经验、仪表形象给应聘者打分，这三个方面的重要性之比为6：3：1，对应聘的王丽、张英两人的打分如下，如果两人中只录一人，若你是人事主管，你会录用______．

2．（桂林）在我市2004年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75m，表中每个成绩都至少有一名运动员，根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是______m（精确到0.01m）．

3．（河南）小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息估计小张和小李中新手是______．

二、选择题

1．（北京）李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：

    据调查，市场上今年樱桃的批发价是每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃的总收入分别是（  ）．

    A．200kg，3000元       B．1900kg，28 500元

    C．2000kg，30 000元    D．1850kg，27 750元

2．为了了解汽车司机遵守交通法则的意识，小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速（单位：km/h），情况如图所示．根据统计图分析，这组车速数据的众数和中位数分别是（  ）．

    A．60km/h，60km/h     B．58km/h，60km/h;

    C．60km/h，58km/h     D．58km/h，58km/h

3．（湘潭）下列调查方式，正确的是（  ）．

    A．了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查方式;

    B．了解湘潭市每天的流动人口数，采用抽查方式;

    C．要保证“神舟6号”载人飞船成功发射，对重要零件采取抽查方式;

    D．了解湘潭市居民日平均用水量，采用普查方式

三、解答题:

1．（南京）某水果店有200个菠萝，原计划以2．6元/kg的价格出售，现在为了满足市场需要，水果店决定将所有的菠萝去皮后出售，以下是随机抽取的5个菠萝去皮前后相应的质量统计表（单位：kg）：

    （1）计算所抽取的5个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平均质量，并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量；

    （2）根据（1）的结果，要使去皮后这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元？

2．今年“五．一”黄金周期间，小三峡风景区共接待游客约22.5万人，为了了解该风景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查．请他们对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：

     根据表中提供的信息，回答下列问题．

    （1）所有评分数据的中位数应在第几档内？

    （2）若评分不低于70分为“满意”，试估计今年“五．一”黄金周期间对小三峡风景区服务“满意”的旅客人数．

参考答案

中考演练

一、1．71  2．1000  3．-1.5

二、1．B  2．A  3．B

三、1．（1）

  （2）甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从成绩的众数看，乙的成绩好；甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定；甲乙的平均数、中位数都是84，但从85分以上的频率看乙的成绩好．

2．（1）因为中位数是35.5岁，所以年龄超过中位数的有22人

    （2）40-28=12（岁）

    （3）高于平均年龄的人数为22人，22÷44=50%

实战模拟

一、1．张英  2．1．69  3．小李

二、1．C  2．C  3．B

三、1．（1）抽取的5个菠萝去皮前的平均质量为（1.0+1.1+1.4+1.2+1.3）=1.2kg，

抽取的5个菠萝去皮后的平均质量为（0.6+0.7+0.9+0.8+0.9）=0.79kg，

估计这200个菠萝去皮前的总质量为1.2×200=240kg，

估计这200个菠萝去皮后的总质量为0.78×200=156kg． 

（2）设去皮后菠萝的售价应是x元/kg，根据题意得：240×2.6=156x，解得x=4，

答：设去皮后菠萝的售价应是4元/kg

2．（1）三档  （2）17.1万人.