吉林省四平市普通高中2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案

四平市普通高中2021－2022学年度第一学期期中教学质量检测

高二数学试题

本试卷共4页。考试时间120分钟，满分150分。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上。)

1.平面α的一个法向量是＝(，－1，)，平面β的一个法向量是＝(－3，6，－2)，则平面α与平面β的关系是

A.平行     B.重合     C.平行或重合     D.垂直

2.两平行直线3x－2y－1＝0和6x－4y＋3＝0间的距离是

A.     B.     C.     D.

3.下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法中正确的是

A.直线l的斜率为－m     B.直线l的斜率为－

C.直线l过定点(0，1)     D.直线l过定点(1，0)

4.已知向量＝(2，－1，3)，＝(－4，2，x)，＝(1，－x，2)，若(＋)⊥，则x＝

A.4     B.－4     C.     D.－6

5.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为

A.5     B.2     C.5     D.10

6.过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3，0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是

A.x＋y－3＝0     B.x－y－3＝0     C.x＋4y－3＝0     D.x－4y－3＝0

7.已知空间向量，，满足＋＋＝，||＝2，||＝3，||＝4，则与的夹角为

A.30°     B.45°     C.60°     D.以上都不对

8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是

A.     B.     C.     D.

9.如图四边形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝。现将△ABD沿BD折起，当平面ABD与平面BDC垂直时，直线AB与CD所成角的余弦值是

A.－     B.－     C.     D.

10.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，C(2，0)，则该三角形的欧拉线方程是

A.x＋y－2＝0     B.x－2y＋1＝0     C.x－y＋2＝0     D.2x－y＋2＝0

11.已知两条平行直线l1，l2(分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是

A.(0，＋∞)     B.[0，5]     C.(0，5]     D.[0，]

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为正方形ABCD内(包括边界)的一个动点，且满足MP＝MC。则点M在正方形ABCD内的轨迹为

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题(共4道小题，每小题5分，共20分。)

13.直线2x＋ay－2＝0与直线ax＋(a＋4)y－1＝0平行，则a的值为            。

14.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∠BAD＝60°，则||＝           。

15.已知＝(2，－1，3)，＝(－1，4，－2)，＝(3，2，λ)，若，，三向量共面，则实数λ等于           。

16.在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝(m>0)，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是           。

二、解答题(本大题共6小题，第17题10分，18－22每题12分，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤。)

17.(10分)

已知直线l经过直线l1：2x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－3＝0的交点P，且与直线l3：x－y＋1＝0垂直。

(1)求直线l的方程；

(2)若直线l与圆C：(x－a)2＋y2＝8相交于P，Q两点，且|PQ|＝2，求a的值。

18.(12分)

如图，空间四边形OABC的各边及对角线长都为2，E是AB的中点，F在OC上，且。

(1)用{，，}表示；

(2)求向量与向量所成角的余弦值。

19.(12分)

矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上。

(1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆E的方程。

20.(12分)

如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，AA1＝AB，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥平面D1AC，设AB＝2。

(1)求平面EAC的法向量；

(2)在线段D1E上取一点P，满足，求证：A1P//平面EAC。

21.(12分)

如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m。经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝。

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

22.(12分)

如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点。

(1)求线段PQ长度的最小值；

(2)当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的余弦值。