广东省茂名市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份广东省茂名市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝11C．（x+4）2＝21D．（x﹣4）2＝21
3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是（ ）
A．2B．4C．D．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（ ）
A．4.5B．8C．10.5D．14
5．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线垂直且相等的四边形
6．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）
A．4B．2C．2D．1
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．2020年11月份，河南省消费品零售总额约2200亿元，同比10月份增长3.2%．若2021年1月份河南社会消费品零售总额拟达到2662亿元，设2020年11月到2021年1月的平均增长率为x，则列方程为（ ）
A．2200（1+2x）＝2662
B．2200×2（1+x）＝2662
C．2200（1+x）2＝2662
D．2200+2200（1+x）+2200（1+x）2＝2662
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤1D．k＜1且k≠0
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM＝CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE＝3：2．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分.）
11．菱形ABCD的边长为5cm，其中一条对角线长为6cm，则另一条对角线的长为 cm，菱形的面积为 cm2．
12．已知方程3x2﹣x+m＝0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值为 ．
13．现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 ．
14．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为 m．
15．如果，且a+c+e＝2（b+d+f），那么k＝ ．
16．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝17，则x＝ ．
17．如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
19．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：．
20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
22．已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．
23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
25．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF＝EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF EG（用“＝”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB＝4，BC＝3，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的占一种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率＝．
故选：D．
2．解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝11C．（x+4）2＝21D．（x﹣4）2＝21
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．
解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
故选：D．
3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OCD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOD＝60°，
∴∠OCD＝∠AOD＝×60°＝30°，
又∵∠ADC＝90°，
∴AC＝2AD＝2×2＝4．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（ ）
A．4.5B．8C．10.5D．14
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
即＝，
解得EC＝8．
故选：B．
5．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线垂直且相等的四边形
【分析】此题要根据正方形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，故原四边形的对角线必互相垂直且相等，由此得解．
【解答】已知：如右图，四边形EFGH是正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
6．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）
A．4B．2C．2D．1
【分析】由题意画出图形，证得△ABC为等边三角形，得AC＝AB＝2即可．
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
即该菱形较短的对角线长为2，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据直角三角形的性质得CD＝，再由三角形的性质得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案．
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝，
∴∠DCA＝∠A＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣∠DCA＝70°，
故选：D．
8．2020年11月份，河南省消费品零售总额约2200亿元，同比10月份增长3.2%．若2021年1月份河南社会消费品零售总额拟达到2662亿元，设2020年11月到2021年1月的平均增长率为x，则列方程为（ ）
A．2200（1+2x）＝2662
B．2200×2（1+x）＝2662
C．2200（1+x）2＝2662
D．2200+2200（1+x）+2200（1+x）2＝2662
【分析】设2020年11月到2021年1月的平均增长率为x，根据2021年1月份河南社会消费品零售总额拟达到2662亿元，列方程即可得到答案．
解：设2020年11月到2021年1月的平均增长率为x，
根据题意得，2200（1+x）2＝2662，
故选：C．
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤1D．k＜1且k≠0
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0，
故选：B．
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM＝CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE＝3：2．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM；
②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
③先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
④根据三角函数求得MB＝，OF＝，根据OE＝OF即可求得MB：OE＝3：2．
解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM；
∴①正确，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵OA＝OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，
∴MB＝，OF＝，
∵OE＝OF，
∴MB：OE＝3：2，
∴④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分.）
11．菱形ABCD的边长为5cm，其中一条对角线长为6cm，则另一条对角线的长为 8 cm，菱形的面积为 24 cm2．
【分析】根据菱形性质得出AC＝2AO＝2OC＝6cm，BD＝2BO，AC⊥BD，求出OA＝3cm，∠AOB＝90°，由勾股定理求出OB，得出BD＝2OB＝8cm，代入AC×BD求出即可．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝2OC＝6cm，BD＝2BO，AC⊥BD，
∴OA＝3cm，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：OB＝＝＝4（cm），
∴BD＝2OB＝8cm，
菱形ABCD的面积是AC×BD＝×6cm×8cm＝24cm2，
故答案为：8、24．
12．已知方程3x2﹣x+m＝0的一个根是1，则它的另一个根是 ﹣ ，m的值为 ﹣2 ．
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到1+t＝﹣，1•t＝，然后先求出t的值，再计算m的值．
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1+t＝﹣，1•t＝，
解得t＝﹣，m＝﹣2．
故答案为﹣，﹣2．
13．现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片标号恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片标号恰好相同的概率是：＝．
故答案为：．
14．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为 9 m．
【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，
即＝，
解得AB＝9．
故答案为：9．
15．如果，且a+c+e＝2（b+d+f），那么k＝ 2 ．
【分析】根据合比性质求解即可．
解：∵＝＝＝k，
∴＝k，
∴a+c+e＝k（b+d+f），
∵a+c+e＝2（b+d+f），
∴k＝2．
故答案为：2．
16．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝17，则x＝ 6 ．
【分析】根据新定义运算列出方程，然后利用完全平方公式和平方差公式对方程进行化简求解．
解：由题意可得：
（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）＝17，
x2+2x+1﹣（x2﹣4）＝17，
x2+2x+1﹣x2+4＝17，
2x＝12，
x＝6，
故答案为：6．
17．如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 10.5 ．
【分析】已知△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A2B2：A3B3＝1：2，由于△A2B2A3与△B2A3B3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A3B2B3的面积为4，可求出△A2B2A3的面积，同理可求出△A3B3A4和△A1B1A2的面积．即可求出阴影部分的面积．
解：△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，
又∵A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2，
∴∠OB2A2＝∠OB3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，
∴△B1B2A2∽△B2B3A3，
∴＝，
∴．
∵＝，△A3B2B3的面积是4，
∴△A2B2A3的面积为＝×S△A3B2B3＝×4＝2（等高的三角形的面积的比等于底边的比）．
同理可得：△A3B3A4的面积＝2×S△A3B2B3＝2×4＝8；
△A1B1A2的面积＝S△A2B1B2＝×1＝0.5．
∴三个阴影面积之和＝0.5+2+8＝10.5．
故答案为：10.5．
三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程变形后利用求根公式法求出解即可．
解：（1）分解因式得：（x+2）（x﹣6）＝0，
可得x+2＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6；
（2）方程变形得：2x2+4x﹣5＝0，
这里a＝2，b＝4，c＝﹣5，
∵△＝16+40＝56＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
19．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：．
【分析】证明△ABC∽△AED．对应边成比例即可得结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠C＝∠D，
∴△ABC∽△AED，
∴．
20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
【分析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）＝6080，
解得x1＝1，x2＝4，
又顾客得实惠，故取x＝4，即定价为56元，
答：应将销售单价定为56元．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 24 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 150° ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【分析】（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B班的作品数后补全条形统计图；
（2）用360°乘以C班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C班的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，
4÷＝24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24﹣4﹣10﹣4＝6（件），
条形统计图为：
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角＝360°×＝150°；
故答案为抽样调查；24；150°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．
22．已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．
【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质得出OC＝OD，证出四边形OCED是菱形即可．
（2）先证明四边形OCED是平行四边形，由正方形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，即可得出四边形OCED是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形．
23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE＝AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB•AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3，
∵AD＝4，
∴，
∴．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
【分析】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，t秒后，AQ＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm则△PBQ的面积等于×2t（5﹣t），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5﹣t）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
解：设t秒后，则：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm；BQ＝2 tcm．
（1）S△PBQ＝BP×，即4＝（5﹣t），
解得：t＝1或4．（t＝4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ＝5，则PQ2＝25＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，t＝0（舍）或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S△PQB＝7，即：BP×＝7，（5﹣t）×＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
25．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF＝EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF ＝ EG（用“＝”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB＝4，BC＝3，求的值．
【分析】（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（1）同理证出△EMG≌△ENF得出结论；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出经验，证得结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．
解：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG＝90°，∠AEF+∠CEF＝90°，
∴∠AEG＝∠CEF，
又∵∠GAE＝∠C＝90°，EA＝EC，
∴△EAG≌△ECF（ASA）
∴EG＝EF
（2）EF＝EG；
过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，
则∠MEN＝90°，EM＝EN，
∴∠GEM＝∠FEN，
又因为∠EMG＝∠ENF＝90°，
∴△EMG≌△ENF
∴EF＝EG．
故答案为：＝．
（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：
则∠MEN＝90°，EM∥BC，EN∥AB，
∴，
∴，
又∵∠GEM+∠MEF＝90°，∠FEN+∠MEF＝90°，
∴∠FEN＝∠GEM，
∴Rt△GME∽Rt△FNE，
∴