专题03 数列求和问题（第二篇）-备战2022年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖

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备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品                    第二篇  数列与不等式【解析版】                     专题03  数列求和问题类型对应典例错位相减法求数列的和典例1分组求和法求数列的和典例2裂项相消法求数列的和典例3分组+错位相减法求数列的和典例4并项求和法求数列的和典例5分组+裂项相消法求数列的和典例6                倒序相加法求数列的和典例7【典例1】【福建省福州市2019-2020学年高三上学期期末质量检测】等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.解：(1)依题意得: ，所以 ，所以解得 设等比数列的公比为，所以 又(2)由（1）知，因为  ①当时,  ②由①②得，，即，又当时，不满足上式， .数列的前2020项的和 设   ③，则   ④，由③④得： ，所以，所以.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年高三上学期期末】已知数列的前n项和为，且满足，数列中，，对任意正整数，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列前n项和.【思路引导】（1）根据与的关系即可求出；（2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为，当时，；当时，． 故；（2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，，对任意正整数，.可得，且，由假设可得，即，则，可得，可得存在实数，使得数列是公比的等比数列；（3）由（2）可得，则，则前n项和当n为偶数时，当n为奇数时，则（）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查】已知等比数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【思路引导】（1）利用临差法得到，再根据求得，从而求得数列通项公式；（2）由题意得，再利用裂项相消法求和.解：（1）当时，. 当时，, 因为是等比数列，所以满足式，所以，即， 因此等比数列的首项为1,公比为2,所以等比数列的通项公式.（2）由（1）知，  则,即， 所以,所以.【典例4】【山东省日照市2019-2020学年上学期期末】已知数列的首项为2，为其前项和，且（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求.【思路引导】（1）先由递推式求得数列是首项为，公比为的等比数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离心率为求出公比，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解.解：解：（1）由已知，，则，两式相减得到，.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.由，，成等差数列，可得，所以故.所以.（2）由（1）可知，，所以双曲线的离心率.由，得（舍负）.所以，记①②①-②得所以.所以.【典例5】已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【思路引导】（1）根据与的关系，利用临差法得到，知公差为3；再由代入递推关系求；（2）观察数列的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前项和.解：（1）对任意，有，①当时，有，解得或.当时，有.②①-②并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，，此时成立；当时，，此时，不成立，舍去.，.（2）.【典例6】【2020届湖南省益阳市高三上学期期末】已知数列的前n项和为，.（1）求及数列的通项公式；（2）若，，求数列的前n项和.【思路引导】（1）利用临差法将递推关系转化成，同时验证，从而证明数列为等比数列，再利用通项公式求得；（2）利用对数运算法则得，再用等比数列求和及裂项相消法求和，可求得。解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，整理得， 又因为，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（2），， .【典例7】【湖南省五市十校2019-2020学年上学期期中】已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，求.【思路引导】由求，根据得，再有得即可求出的通项公式；由，根据倒序相加法可求.解：（1）即当时，，当时，，，即是等比数列，首项为，公比为，.，.….….①+②，得，（2）， ….       ①…   ②①－②得… 即.                            【针对训练】1. 【山东省聊城市2019-2020学年上学期期末】已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，.（1）求数列和的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和.【思路引导】(1)由列出方程求出q，即可求得的通项公式，由，利用等差数列的性质可求出，从而求得d，最后得到等差数列的通项公式；(2)由可得，将和的通项公式代入上式求出的通项公式，用错位相减法即可求出.解：（1）设数列的公差为，的公比为，∵，∴，得，（舍），因为，所以 .∵，∴，解得，又，∴，∴.（2）由（1）得，.∵，∴，∴.，①①式等号两边同乘以，得，②①-②得.∴.2. 【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题】已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.【思路引导】（1）首先设等差数列的首项，公差为，根据条件建立关于的方程组，再求数列，的通项公式；（2）由（1）可知，数列是等比数列，按等比数列求和，数列按照裂项相消法求和.解:(1)设数列的公差为，由题意知:    ①又因为成等比数列，所以，，，又因为，所以.  ②由①②得，所以，， ，， .(2)因为，所以所以数列的前项和.3. 【2020届山东省济宁市高三上学期期末数学试题】已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【思路引导】（1）利用等差数列公式计算得到答案.（2）裂项得到，代入数据计算得到答案.解：(1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.,解得.. (2)前项和.4. 【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】已知数列满足，，，2，.求数列的通项；设，求．【思路引导】利用数列的递推关系式推出，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式；化简，然后求解数列的和即可．解：，，2，，，，3，得，，当n为奇数，，当n为偶数，所以；，．5. 【2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测】记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项之和.【思路引导】（1）由题可得，，即可求出和，结合为递增数列，可求得通项公式；（2）结合（1）可得到，利用裂项相消法可求出前项之和.解：（1）设等比数列的公比为，则，解得或，因为为递增数列，所以只有符合题意，故；（2）由题意，，∴.6. 【云南省楚雄州2019-2020学年上学期期末】已知数列为等差数列，为的前项和，，.数列为等比数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和.【思路引导】（1）设数列的公差为，将已知条件转化为的方程组，求解，可得到；由已知可得，，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）得，，数列的前项和分成两部分，其中用裂项相消求和，用等比数列的前项和公式求和，二者相加，即可求出结论.解：(1)设公差为，则由，，得解得所以.设的公比，又因为，，所以，，故.(2)由(1)可知，则.数列的前项和为，数列的前项和为，故.7. 【2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考】在等比数列中，公比为，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.解：（Ⅰ）因为公比为的等比数列中，，所以，当且仅当，，时成立.此时公比，，所以.（Ⅱ）因为，所以，∴，∴.故数列的前项和.8. 已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.解：      时满足上式，故  ∵=1∴    ∵      ①∴   ②∴①+②，得    9. 【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一)】设数列满足，且点在直线上，数列满足：，．（1）数列、的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的性质求数列的通项公式，利用等比数列的性质求的通项公式. （Ⅱ）由题得，再利用分组求和、错位相减法求数列的前项和.解:（Ⅰ） 是以为首项，2为公差的等差数列，，，  是以为首项，3为公比的等比数列，．（Ⅱ）由(1)知 ，设的前项和为① ②①—②得  ，，所以 ．设的前项和为,当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，，．