2020--2021学年人教版 九年级数学上册 24.2 ---24.4同步期末测试卷（含答案不全）

这是一份2020--2021学年人教版 九年级数学上册 24.2 ---24.4同步期末测试卷（含答案不全），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则☉O的半径为 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.4-

2. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于(　　)
A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
　　　

3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设(　　)
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°

4. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 ，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(　　)

A. B. C．2 D．3

5. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　)

A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD

6. 2020·武汉模拟 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(　　)

A．1 B．1或5 C．3 D．5

8. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为(　　)

A．5 B．4 C．4.75 D．4.8

9. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为(　　)

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm

10. 如图0，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为(　　)

图0
A. B．2 C. D.

二、填空题（本大题共8道小题）
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2.8，⊙O是以AB为直径的圆，则直线CD与⊙O的位置关系是________．


12. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．

13. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．


14. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．


15. 如图，∠APB＝30°，⊙O的半径为1 cm，圆心O在直线PB上，OP＝3 cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为__________．


16. 在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．

17. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.


18. 如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA＝4.若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现(　　)

A．3次 B．4次 C．5次 D．6次

三、解答题（本大题共4道小题）
19. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．





20. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)
(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．

图





21. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．






22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，当t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？






人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 课时训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A　[解析]设☉O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC=8，∠C=∠BAC=60°.
∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∴∠AOC=90°，∴OC=AC=4.
∵OE⊥AC，∴OE=OC=2，∴☉O的半径为2.故选A.

2. 【答案】B　【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝＝65°.

解图


3. 【答案】A　

4. 【答案】C　[解析] 在Rt△BCM中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，∴∠BMC＝30°，∴BC＝MC，即MC＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 ，
∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.

5. 【答案】A

6. 【答案】B

7. 【答案】B　[解析] 若⊙P位于y轴左侧且与y轴相切，则平移的距离为1；若⊙P位于y轴右侧且与y轴相切，则平移的距离为5.

8. 【答案】D　[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ为⊙F的直径．
∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，
∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD的长，即CD为⊙F的直径．
∵S△ABC＝BC·AC＝CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.

9. 【答案】B　[解析] 如图，连接OC，并过点O作OF⊥CE于点F.
∵△ABC为等边三角形，边长为4 cm，
∴△ABC的高为2 cm，∴OC＝ cm.
又∵⊙O与BC相切于点C，∠ACB＝60°，
∴∠OCF＝30°.
在Rt△OFC中，可得FC＝ cm，
∴CE＝2FC＝3 cm.

10. 【答案】B　[解析] ∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°.
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设圆心为O，连接OC交⊙O于点P，此时CP最小．
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝5，OP＝OB＝3，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2，∴PC的最小值为2.

二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】相交　[解析] 设AB的中点为O，则点O到CD的距离为2.8.因为⊙O的半径为3，3＞2.8，所以直线CD与⊙O的位置关系是相交．

12. 【答案】4　[解析] ∵R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，且直线l与⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有两个相等的实数根，
即Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.

13. 【答案】70°　[解析] 由切线长定理可知∠OBD＝∠ABC＝20°.∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.

14. 【答案】BD＝CD或AB＝AC(答案不唯一)
[解析] (1)连接OD.要使DE是⊙O的切线，结合DE⊥AC，只需OD∥AC，根据O是AB的中点，只需BD＝CD即可；
(2)根据(1)中探求的条件，要使BD＝CD，则连接AD，由于∠ADB＝90°，只需AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一即可．

15. 【答案】1 cm或5 cm　[解析] 当⊙O与直线PA相切时，点O到直线PA的距离为1 cm.
∵∠APB＝30°，∴PO＝2 cm，
∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm)．

16. 【答案】24　【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO中，CM＝＝12，∴CD＝2CM＝24.
解图

17. 【答案】　如图，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC的外接圆⊙O.连接OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝120°.过点O作OD⊥BC于点D，则∠BOD＝∠BOC＝60°.∴∠OBD＝30°，

∴OB＝2OD.由垂径定理，得BD＝BC＝ cm，在Rt△BOD中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋()2，解得OD＝ cm.∴OB＝ cm，∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.

18. 【答案】B　[解析] ∵正方形ABCD的对角线长为6，∴它的边长为3 .
如图，⊙O与正方形ABCD的边AB，AD只有一个公共点的情况各有1次，与边BC，CD只有一个公共点的情况各有1次，
∴在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次．

三、解答题（本大题共4道小题）
19. 【答案】
解：⊙A与直线BC相交．
理由：过点A作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝8.
∵AB＝AC＝10，
∴AD＝6.
∵6＜7，
∴⊙A与直线BC相交．

20. 【答案】
解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，
则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.
∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，
∴BM＝40千米．
答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．
(2)能．理由如下：如图，连接BC.
∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，
∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，
∴BC＝＝＝10 (千米)＜100千米，
∴到C城后还能接收到信号．

21. 【答案】
证明：如图，作直径DG，连接BG.

∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠G＝∠BAD，∠BDM＝∠DAC，
∴∠BDM＝∠G.
∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，
∴∠G＋∠BDG＝90°，
∴∠BDM＋∠BDG＝90°，即∠MDG＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线DM是⊙O的切线．

22. 【答案】
解：设运动t s时，直线PQ与⊙O相切于点G，过点P作PH⊥BC于点H，如图，
则PH＝AB＝8，BH＝AP＝t，
可得HQ＝|26－3t－t|＝|26－4t|，
由切线长定理，得AP＝PG，QG＝BQ，
则PQ＝PG＋QG＝AP＋BQ＝t＋26－3t＝26－2t.
由勾股定理，得PQ2＝PH2＋HQ2，即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2，
化简，得3t2－26t＋16＝0，
解得t1＝，t2＝8，
所以当t＝或t＝8时，直线PQ与⊙O相切．
因为当t＝0时，直线PQ与⊙O相交，
当t＝时，点Q运动到点B，点P尚未运动到点D，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，
所以可得以下结论：
当t＝或t＝8时，直线PQ与⊙O相切；
当＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离；
当0≤t＜或8＜t≤时，直线PQ与⊙O相交．


24.3 正多边形和圆
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）
 1. 如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（ ）
A. B. C. D.
 
2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ）
A. B. C. D.
 
3. 如图，已知四边形内接于，，则的度数是(        )

A. B. C. D.
 
4. 已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是（ ）
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
 
5. 四边形内接于．如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
 
6. 若一个正九边形的边长为，则这个正九边形的半径是（ ）
A. B. C. D.
 
7. 如图，四边形为的内接四边形，若，则为（ ）
A. B. C. D.
 
8. 如图，把正的外接圆对折，使点与劣弧的中点重合，若，则折痕在内的部分的长为（ ）
A. B. C. D.
 
9. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：）（ ）
A. B. C. D.
 
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
10. 圆内接正六边形的半径为，则其边长等于________．
 11. 如图，四边形内接于，，则________．
 12. 如图，四边形是的内接四边形，是它的外角，若，则的度数是________．
 
13. 如图，是的内接正六边形，若的面积为，则六边形的面积为________．
 
14 半径为的圆的内接正三角形的边长为________．
 
15 如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长是________．

 16. 已知四边形内接于圆，且弧、的度数分别为和，若弧•弧，则________．
 17. 已知，分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么度数为________ ．
 
18. 如图，四边形是的内接四边形，，则________度．
19. 小刚要在边长为的正方形内设计一个有共同中心的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图，若这个正多边形为正六边形，此时________；若这个正多边形为正三角形，如图，当正可以绕着点在正方形内自由旋转时，的取值范围为_________．

三、 解答题 （本题共计 6 小题，共计63分 ， ）  
20.   请你用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹）；

当，，求的外接圆半径．



 
21. 延长圆内接四边形的边和边，相交于点，求证：．
 



22. 如图，圆内接四边形，两组对边的延长线分别相交于点、，且，，求的度数．
 



23. 如图，在等腰中，，是边上的一点，以为直径的经过点，是上一动点，连接交于点，且．

（1）求证：是的切线．
（2）连结，若的直径是，则：
①当四边形是矩形时，求的长；
②当________时，四边形是菱形．
 


24 如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角.
求证：.






 
25.    问题提出
如图①，在中，点分别是上的点，若，则的最大值为________.

问题探究
如图②，在中，，求外接圆的半径及的长；


问题解决
如图③．某旅游区有一个形状为四边形的人工湖，已知，，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形内建一个湖心小岛，并分别修建观光长廊和，且和相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段、之和尽可能的大．试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）


24.4【弧长和扇形面积】
一．选择题
1．若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么该圆锥的高是（　　）
A．1 B． C．5 D．7
2．如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9
4．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．﹣ B．π﹣ C．﹣2 D．π﹣2
5．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．130πcm2 B．120πcm2 C．65πcm2 D．60πcm2
6．如图，⊙O的半径为9，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝100°，则的长为（　　）

A．4π B．5π C．7π D．8π
7．如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB＝12cm，高BC＝8cm，则这个零件的表面积是（　　）

A．192πcm2 B．196πcm2 C．228πcm2 D．232πcm2
8．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上点，AO＝4，BC＝4，则劣弧的长度为（　　）

A．π B．2π C．π D．π
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至△A′B′C′的位置，则边BA扫过的面积是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
二．填空题
11．某扇形的圆心角为150°，其弧长为20π，则此扇形的半径是　 　．
12．如图，点C在上．若AB＝1+，AC＝，∠BAC＝45°，则的长度为　 　．

13．圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的侧面积为　 　．
14．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为　 　．

15．如图，在⊙O中，直径AB的长为4，C是⊙O上一点，∠CAB＝30°，则的长为
　 　．

三．解答题
16．如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）求证：OA平分∠BAC．
（2）若＝3：2，试求∠BAC的度数．





17．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．





18．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求弧AC的长及扇形AOC的面积．





19．如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？





20．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．


参考答案
一．选择题
1．解：因为圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，
根据勾股定理，得
圆锥的高是＝．
故选：B．
2．解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴劣弧的长为＝π，
故选：D．

3． 解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE＝．
设⊙O的半径为r，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝＝＝，
∴∠EOD＝60°，
∴，，
∴，
故选：A．

4．解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝﹣
＝π﹣2．
故选：D．
5．解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2），
故选：C．
6．解：连接OA、OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝80°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝160°，
∴的长＝＝8π，
故选：D．

7．解：易得圆锥的底面半径为6cm，
∵高为8cm，
∴圆锥的母线长为10cm，圆锥的侧面积＝π×6×10＝60π，
圆柱的侧面积＝12π×8＝96π，
圆柱的底面积＝π×36＝36π，
∴零件的表面积＝60π+96π+36π＝192πcm2．
故选：A．
8．解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AO＝4，
∴AB＝8，
∵BC＝4，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧的长度＝＝，
故选：A．

9．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，
∵△ABC绕点B逆时针旋转120°至△A′B′C′的位置，
∴边BA扫过的面积是：＝，
故选：C．
10．解：∵＝，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴＝，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，
解得：x＝20°，
∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，
∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝AF＝2，
∴的长＝＝π，
故选：C．
二．填空题
11．解：设扇形的半径是r，则＝20π，
解得：r＝24．
故答案为：24．
12．解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，过点C作CT⊥AB于T．

∵∠CTA＝90°，∠CAT＝45°，AC＝，
∴AT＝TC＝1，
∵AB＝1+，
∴BT＝，
∴tan∠CBT＝＝，
∴∠CBT＝30°，
∴∠AOC＝2∠CBT＝60°，∠COB＝2∠CAB＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝，∠AOB＝150°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
13．解：根据题意得，圆锥的侧面积＝×2π×5×7＝35π．
故答案为35π．
14．解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∵BC＝AC•tan∠BAC＝1，
∴OC＝OB＝1，∠BOC＝60°，
∴的长＝＝，
故答案为．
15．解：如图，连接OC，
∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
又直径AB的长为4，
∴半径OB＝2，
∴的长是：＝π．
故答案是：π．

三．解答题
16．（1）证明：延长半径AO交⊙O于D，
∴
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴OA平分∠BAC；
（2）解：∵＝3：2，
∴
∴∠BAC＝45°；

17．解：（1）连接OB，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝BC＝4，
在Rt△BOE中，∠AOB＝60°，
∴OB＝＝，
∴劣弧BC的长＝＝π（cm）．

18．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED
（2）解：∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴＝，
S＝＝5π．
19．解：（1）圆锥的侧面积＝＝12π（cm2）；
（2）该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝2．
即圆锥的底面半径为2cm．
20．（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；

（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2；

②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O是AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP•PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．