浙江省宁波市蓝青学校2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】

这是一份浙江省宁波市蓝青学校2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省宁波市蓝青学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．若2a＝3b，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　）
A．朝上一面的点数大于2
B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数
D．朝上一面的点数是3的倍数
3．如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
6．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3
7．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　）

A．106° B．116° C．126° D．136°
8．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）

A．193 B．194 C．195 D．196
9．如图，AB是⊙O的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A、B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（　　）

A．与r，a，m的值均有关 B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关 D．只与a，m的值有关
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是（　　）

A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是　 　．
12．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．

13．抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线y＝6相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，当y＜0时，自变量x的取值范围是　 　．
14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连接点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为　 　．

16．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是 　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17题4分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题12分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共70分）
17．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．
18．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
19．如图，小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．
（1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号）；
（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．

20．在平面直角坐标系中，函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点（1，4）．
（1）求a的值；
（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．

22．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，
（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；
（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．

23．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　 　；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．

24．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．


参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．若2a＝3b，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据等式的性质，两边都除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
解：两边都除以2b，得
＝，
故选：B．
2．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　）
A．朝上一面的点数大于2
B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数
D．朝上一面的点数是3的倍数
【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．
解：A、朝上一面的点数大于2的可能性的大小是＝，
B、朝上一面的点数是3的可能性的大小是，
C、朝上一面的点数是2的倍数的可能性为＝，
D、朝上一面的点数是3的倍数的可能性为＝．
可能性最大的是A，
故选：A．
3．如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据题意列出一元二次方程．
解：设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为，
故选：A．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．
解：
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
【分析】直接利用相似图形的性质得出答案．
解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．
故选：B．
6．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝（x+1）2﹣8；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣5）2﹣8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣3．
故选：D．
7．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　）

A．106° B．116° C．126° D．136°
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠D＝∠AEC＝116°，
故选：B．
8．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）

A．193 B．194 C．195 D．196
【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米．
则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．
由题意可知，，
解得6≤m≤13．
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2．
故选：C．
9．如图，AB是⊙O的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A、B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（　　）

A．与r，a，m的值均有关 B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关 D．只与a，m的值有关
【分析】连接AD、BE，如图，根据垂径定理得到CE＝CD，利用得到AC＝，BC＝，再证明△ADC∽△EBC，利用相似比得CD2＝AC•BC，所以DE2＝•，从而可判断弦DE的长只与a、m有关．
解：连接AD、BE，如图，
∵OC⊥DE，
∴CE＝CD，
∵，
∴AC＝，BC＝，
∵∠D＝∠B，∠A＝∠E，
∴△ADC∽△EBC，
∵CD：BC＝AC：EC，
∴CD2＝AC•BC，
∴DE2＝•，
∴DE2＝，
∴弦DE的长只与a、m有关．
故选：D．

10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是（　　）

A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【分析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：根据已知条件得到AF＝3，OF＝3，OB＝6，求得∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝∠ABO＝60°，根据折叠的性质得到∠CED＝∠OAB＝60°，求得∠OCE＝∠DEB，根据相似三角形的性质得到BE＝OB﹣OE＝6﹣＝，设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，于是得到结论．
解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3），B（6，0），
∴AF＝3，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝OF＝，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴＝＝，
∵OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣＝，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则＝，＝，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴＝，
即AC：AD＝2：3．
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长，△DEB周长，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3．
故选：B．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是　（0，﹣1）　．
【分析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
12．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　5　．

【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，

以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
13．抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线y＝6相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，当y＜0时，自变量x的取值范围是　﹣4＜x＜4　．
【分析】∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，则点B（8，6），即可求解．
解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，

C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；
CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，
令y＝0，则x＝±4，
故y＜0时，﹣4＜x＜4，
故答案为：﹣4＜x＜4．
14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　4﹣4　．

【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．
解：连接OC，作EF⊥OC于F，
∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，
∴CE＝CA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝75°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠ECF＝45°，
设EF＝x，则FC＝x，
在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，
∴OF＝＝x，
由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，
解得，x＝2﹣2，
∵∠EOF＝30°，
∴OE＝2EF＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连接点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为　或　．

【分析】分两种情形：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，分别利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
解：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，设DM＝AN＝x．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵∠MAN＝∠DAC，∠ANM＝∠ADC＝90°，
∴△ANM∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴DM＝

如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，设BC与圆的交点为H，连接MH，NH．设DM＝AN＝y．

∵BM是直径，
∴∠MHB＝90°，
∴∠MHC＝∠D＝∠DCH＝90°，
∴四边形CDMH是矩形，
∴CH＝DM＝y，
∵∠NCH＝∠BCA，∠CHN＝∠CAB，
∴△CNH∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
解得y＝，
∴DM＝，
故答案为或．
16．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是 　π+　．

【分析】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．
解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，
∵∠BCD＝90°，DC＝AB＝1，BC＝，
∴tan∠DBC＝＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，

作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝BC＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝×＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故答案为：π+．
三、解答题（本题有8小题，第17题4分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题12分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共70分）
17．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．
18．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．
19．如图，小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．
（1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号）；
（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．

【分析】（1）根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长；
（2）将梯子向内移动后，移动的距离为BD，根据DE＝AB＝4m，利用锐角三角函数即可求出结果．
解：（1）竖直的墙与梯子形成直角三角形，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴（m）；
（2）如图所示，将梯子向内移动后，移动的距离为BD，

∵DE＝AB＝4m，
在Rt△ABC中，（m），
在Rt△EDC中，DC＝DE⋅cos70°≈4×0.34＝1.36（m），
∴BD＝BC﹣DC≈2﹣1.36≈0.6（m），
故向内移动0.6m．
20．在平面直角坐标系中，函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点（1，4）．
（1）求a的值；
（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）把解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
解：（1）∵函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点（1，4），
∴4＝﹣4a，
∴a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1；
（3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．

【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．
【解答】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；

（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；

（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，

根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
22．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，
（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；
（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．

【分析】（1）根据S△ABC＝12求出AD＝4，再由△AMN∽△ABC，确定比例关系求出x的值即可；
（2）当正方形MPQN与ABC公共部分的面积为 时，可分两种情况，一是当PQ在△ABC的内部，二是当PQ在△ABC的外部，当当PQ在△ABC的外部时，根据相似三角形的性质得出比例线段，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x的值即可．
解：（1）∵BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，
∴，
∴AD＝4，
设AD交MN于点H，


∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，解得x＝，
∴当PQ恰好落在边BC上时，x＝．


（2）①当PQ在△ABC的内部时，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积，


∴，
解得，

②当PQ在△ABC的外部时，如图3，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，


设HD＝a，则AH＝4﹣a，
由得，解得a＝，

∴矩形MEFN的面积为MN＝﹣（2.4＜x≤6）．
即，
解得x1＝4，x2＝2（舍去），
综上：正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，x为或4．
23．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　相等　；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．

【分析】（1）①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN＝∠ABM＝45°，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，解得n＝1，n＝0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；
②因为抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，所以抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）根据抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，所以抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y＝ax2中，得到．
（3））根据y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，得到，化简得mn﹣4m﹣1＝0，抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为，代入抛物线y＝mx2，得，mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），所以，所以．
解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，

∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN＝∠ABM＝45°，
∴∠MBN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BMN＝∠MBN，
∴MN＝BN，
设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，
得n＝n2，
∴n＝1，n＝0（舍去），
∴B（1，1）
∴MN＝BN＝1，
∴MB＝＝，
∴MA＝MB＝，
在Rt△AMB中，AB＝＝2，
∴抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝2．
②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（2）∵抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，
∴抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，
∵抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，
∴抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），
把点B代入y＝ax2中，
∴．
故a＝或﹣；

（3）∵y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，
∴，
∴mn﹣4m﹣1＝0，
∵抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为，
∴代入抛物线y＝mx2，得，
∴mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），
∴，
∴．
故m＝﹣，n＝．
24．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．
【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）连接OA、OB．只要证明△OCB≌△OCA即可解决问题；
（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q，则四边形OPHQ是矩形，可知BN是直径，则HQ＝OP＝DN＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝2x+9，CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9
在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，解得 x＝3，BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12求出sinBCH，即为sin∠ADB的值．
【解答】（1）证明：如图1，

∵AC⊥BD，DE⊥BC，
∴∠AHD＝∠BED＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ADH＝∠BDE，
∴BD平分∠ADF．
（2）证明：连接OA、OB．

∵OB＝OC＝OA，AC＝BC
∴△OCB≌△OCA（SSS），
∴OBC＝∠OCA，
∴OC平分∠ACB；
（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．

则四边形OPHQ是矩形，
∵DN∥AC，
∴∠BDN＝∠BHC＝90°，
∴BN是直径，
则OP＝DN＝，
∴HQ＝OP＝，
设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，
∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9
在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，
即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，
整理得2x2+9x﹣45＝0，
（x﹣3）（2x+15）＝0
解得 x＝3（负值舍去），
BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12，
则BH＝．
∵∠ADB＝∠BCH，
∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．
即sin∠ADB的值为．