宁夏银川市2021年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学(文)试卷

这是一份宁夏银川市2021年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学(文)试卷，共13页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，若，则等于等内容，欢迎下载使用。
 绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷( 第一次模拟考试 ) 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，等于A．  B．  C．  D．2．已知是纯虚数，若，则实数的值为A．1    B．3   C．－1   D．－33．已知曲线C：x2+y2=2(x·y≥0)，曲线C与坐标轴围成封闭图形M以及函数y＝x3的部分图象如图所示，若向M内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为A．            B．        C．    D．4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则下列叙述不正确的是A．当时，经过9步雹程变成1B．若需经过5步雹程首次变成1，则所有可能的取值集合为C．当越大时，首次变成1需要的雹程数越大D．当时，经过步雹程变成15．若，则等于A．    B．   C．    D．6．执行如右图所示的程序框图，输出的值为A．       B．     C．      D．7．下图是一个正方体的展开图,则在该正方体中A．直线与直线平行 B．直线与直线相交C．直线与直线异面垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°8．设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值A． B． C．3 D．29．定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则的最小值为A． B． C． D．10．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月收入一月支出）A．上半年的平均月收入为45万元 B．月收入的方差大于月支出的方差C．月收入的中位数为70 D．月结余的众数为30 11．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为A．                B．C．                D．12．设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是A． B．1 C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量若则________.14．若实数满足约束条件，则的最小值为　　　　　.15．已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)=3x+m(m为常数)，则f(-log35)的值为　　　　　. 16．（本小题第一空2分，第二空3分）底面为等边三角形的直三棱柱所有顶点都在半径为2的球上，则该三棱柱的侧面积最大值为___________，此时该三棱柱的高是　　　　　.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分)17．(12分)已知数列满足．（1）证明：是等比数列；（2）求．  18．(12分)如图，三棱锥中，底面△是边长为2的正三角形，，底面，点分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得三棱锥体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.19．(12分)2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表： 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；①可能用到的数据：参考数据：②参考公式：线性回归方程中，，. 20.（12分） 已知椭圆的左焦点为，且经过点，A,B分别是G的右顶点和上顶点，过原点的直线与G交于两点（点在第一象限），且与线段交于点. （1）求椭圆G的标准方程；（2）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.   21．已知函数，. （1）求函数的极值；（2）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.   （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）记（1）中的最大值为，正实数，满足，证明：．  2021届高三第一次模拟数学(文科)参考答案一、选择题123456789101112DBACABDCBCDC5．【解析】已知，解得，，将正切值代入得到．故答案为：A．6． 【答案】B【解析】根据程序框图可知： 输出初始值  第次循环是 第次循环是 第次循环否 7．【解析】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线与直线为异面直线,故A,B错误；连接,,因为,所以或其补角为异面直线与所成角.又因为为等边三角形,所以.所以直线与直线异面且所成的角为60°,故C错误,D正确.故选D9. B函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，所得图像关于原点对称。故则正数的最小值为11．【解析】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得、，故双曲线方程为：，故选D.12．【解析】由题得,设切点,,则,；则切线方程为：,即,又因为,所以,,则,令,则,则有,；,,即在上递增,在上递减,所以时,取最大值,即的最大值为.故选C.二、填空题13. 6  14．-4  15. f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.   16. ， 15. 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4. 16. 【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为.底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为.故答案为：， 三、解答题：17． 【解析】（1）由得：，···········1分因为，所以，···········3分从而由得，···········5分所以是以为首项，为公比的等比数列．···········6分（2）由（1）得，···········8分所以．···········12分18.证明：（1）因为底面，底面，所以，因为△是等边三角形且E为AC的中点，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）过G作,平面ABC，平面PAB，平面PAB平面ABC，又平面PAB平面ABC=AB，平面ABC,，，，，平面ABC，平面ABC，,，为PB中点.19．【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数5.133千元，平均数5.16千元（2），该家庭2020年能达到小康标准. 【分析】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18，即可补全频率分布直方图，在根据频率分布直方图，即可求出中位数和平均数；（2）根据线性回归方程公式即可求出回归方程，再取，根据题意以及等差数列的相关性质，即可求出2020年该家庭人均年纯收入估计值，与8000判断即可．【详解】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：中位数为：（千元）（或：设中位数为，则，解得：）平均数（千元）（2）解：由题意得：， 所以：所以回归直线方程为：设为2020年该家庭人均月纯收入，则时，，即2020年前三月总收入为：元；当时，，即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984，构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为所以2020年该家庭总收入为：，所以该家庭2020年能达到小康标准.20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）法一：依题意可得解得所以椭圆的标准方程为.      ……………………………………………6法二：设椭圆的右焦点为，则，，，   ，所以椭圆的标准方程为.       ……………………………………………6（2）设，，则，易知，.由，，所以直线的方程为.     ………………8 若使的面积是的面积的4倍，只需使得，   法一：即 ① .                     设直线的方程为，由 得，  ……10由 得，，                        …13分代入①可得，即：解得，所以. …………………………………………12法二：所以，即.   …………………………8设直线的方程为，由 得，  所以………………………………………………………10因为点在椭圆上，所以，  代入可得，即：解得，所以.     ………………………………………12法三：所以，即.       …………………………8点在线段上，所以，整理得，-----①  因为点在椭圆上，所以，------② 把①式代入②式可得，解得.   ………………10于是，所以，.所以，所求直线的方程为.      ……………………………………1219． 解：（Ⅰ）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即，……………………………………2分又点在椭圆上，所以，解得，即椭圆的方程为、……………………………………………4分（Ⅱ）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；……………………………………………………………………………5分当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即、……………………………………6分将直线与椭圆的方程联立，得：，判别式，即，………7分设，所以，解得，11分所以直线的倾斜角为或、………………………………12分21．【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.【解析】(Ⅰ)设，∴，令，则；，则；∴在上单调递增，上单调递减，∴，无极小值.(Ⅱ)由，即在上恒成立，∴在上恒成立，设，则，显然，设，则，故在上单调递减由，，由零点定理得，使得，即且时，，则，时，. 则∴在上单调递增，在上单调递减∴，又由，，则∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.22．【解析】（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，···········3分曲线的极坐标方程为．···········5分（2）射线与曲线的交点的极径为，···········7分射线与曲线的交点的极径满足，解得，···········9分所以．···········10分    23．【解析】由，·········2分得，要使恒成立，只要，即，实数的最大值为2；·········5分（2）由（1）知，又，故；，∵，∴，∴．·········10分