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湖北省武汉六中上智中学2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷（12月份） 解析版
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这是一份湖北省武汉六中上智中学2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷（12月份） 解析版，共21页。试卷主要包含了下列各式中，计算正确的是，下列计算正确的是，若a2﹣，下列因式分解正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．m2•m4＝m6B．m2•m4＝m8C．m2+m4＝m6D．m4•m4＝2m8
3．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3B．（b﹣a）（a+b）＝b2﹣a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
4．下列各式可以写成完全平方式的多项式有（ ）
A．x2+xy+y2B．x2﹣xy+
C．x2+2xy+4y2D．
5．若a2﹣（m﹣1）a+9是一个完全平方式，则实数m的值应是（ ）
A．7B．﹣5
C．4D．以上答案都不对
6．若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+4）2
B．16x2﹣4＝（4x+2）（4x﹣2）
C．9﹣6（m﹣n）+（m﹣n）2＝（3﹣m﹣n）2
D．﹣a2﹣b2+2ab＝﹣（a﹣b）2
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣b2﹣c2+2bc的值一定（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
9．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
10．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若∠BIC＝90°+θ，则∠BOC＝（ ）
A．90°﹣θB．2θ
C．180°﹣θD．以上答案都不对
二．填空题（共6小题）
11．计算：＝ ；（﹣2x2）3＝ ；（x2）3÷x5＝ ．
12．若am＝3，an＝2，则am+n＝ ．
13．已知a+b＝1，则a2﹣b2+2b＝ ．
14．若a+＝3，则a﹣＝ ．
15．若实数满足（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，则3x2+2y2的值为 ．
16．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 m2．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）x•x3+x2•x2
（2）（x+3y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）
18．分解因式：
（1）ab3﹣abc
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36
（3）（p﹣4）（p+1）+3p
（4）4xy2﹣4x2y﹣y3
19．先化简，再求值：（﹣a+2）2﹣（a+3）（a﹣2），其中a＝1．
20．已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．
（1）直接写出xy的值；
（2）求x2+y2+4xy的值；
（3）直接写出求x﹣y的值．
21．在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为 ；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为 ；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为 ；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为 ．
22．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC．过点B作BF⊥AD，垂足为点F，
（1）求证：∠DAB＝∠FBC；
（2）点E为线段CD上的一点，连接AE交BF于G，若∠BAE+2∠EAD＝90°，AG＝1，AB＝5，求线段CD的长．
23．已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若，直接写出＝ ．
24．如图1，将任意一个等腰直角三角板△ABC放至平面直角坐标系xOy中，直角顶点A（a，0）在x轴的负半轴，点B（0，b）在y轴的正半轴，点C落在第二象限，
（1）若＝﹣b2+4b﹣4，求C点坐标；
（2）如图2，再将任意的一个等腰直角三角板△DEF放至平面直角坐标系xOy中，点E在x轴的正半轴上，F在y轴的负半轴上，直角顶点D落在第四象限，设点G为BC的中点，证明：点D，O，G三点刚好在同一条直线上；
（3）已知a＝﹣4，b＜4．如图3，点O关于直线AB的对称点为点H，AH交线段BC于点P，PR⊥x轴于点R，求△APR的周长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：观察书写的8个汉字，没有轴对称图形．
故选：A．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．m2•m4＝m6B．m2•m4＝m8C．m2+m4＝m6D．m4•m4＝2m8
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．m2•m4＝m6，正确，故本选项符合题意；
B．m2•m4＝m6，故本选项不合题意；
C．m2与m4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．m4•m4＝m8，故本选项不合题意．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3B．（b﹣a）（a+b）＝b2﹣a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及乘法公式、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项错误；
B、（b﹣a）（a+b）＝b2﹣a2，正确；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a5，故此选项错误；
故选：B．
4．下列各式可以写成完全平方式的多项式有（ ）
A．x2+xy+y2B．x2﹣xy+
C．x2+2xy+4y2D．
【分析】根据完全平方式的结构对各式分析判断后即可求解．
【解答】解：A、应为x2+2xy+y2，原式不能写成完全平方式，故错误；
B、，正确；
C、应为x2+4xy+4y2，原式不能写成完全平方式，故错误；
D、应为，原式不能写成完全平方式，故错误；
故选：B．
5．若a2﹣（m﹣1）a+9是一个完全平方式，则实数m的值应是（ ）
A．7B．﹣5
C．4D．以上答案都不对
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵a2﹣（m﹣1）a+9是一个完全平方式，
∴﹣（m﹣1）＝±6．
∴m＝7或m＝﹣5
故选：D．
6．若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3﹣m＝0，再解得出答案．
【解答】解：（x﹣m）（x+3）＝x2+3x﹣mx﹣3m＝x2+（3﹣m）x﹣3m，
∵乘积中不含x的一次项，
∴3﹣m＝0，
解得：m＝3，
故选：A．
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+4）2
B．16x2﹣4＝（4x+2）（4x﹣2）
C．9﹣6（m﹣n）+（m﹣n）2＝（3﹣m﹣n）2
D．﹣a2﹣b2+2ab＝﹣（a﹣b）2
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+2）2，不符合题意；
B、原式＝4（4x2﹣1）＝4（2x+1）（2x﹣1），不符合题意；
C、原式＝（3﹣m+n）2，不符合题意；
D、原式＝﹣（a﹣b）2，符合题意，
故选：D．
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣b2﹣c2+2bc的值一定（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
【分析】根据：a，b，c是△ABC的三边长，可得：a+b＞c，a+c＞b，所以a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，据此判断出a2﹣b2﹣c2+2bc的值的正负即可．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，
a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）
＝a2﹣（b﹣c）2
＝（a+b﹣c）（a+c﹣b）
∴a2﹣b2﹣c2+2bc的值一定大于零．
故选：A．
9．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
10．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若∠BIC＝90°+θ，则∠BOC＝（ ）
A．90°﹣θB．2θ
C．180°﹣θD．以上答案都不对
【分析】根据角平分线的性质可得∠A＝θ，再根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理即可推出∠BOC．
【解答】解：
如图，
∵∠B和∠C的平分线交于点I，
∴∠IBC＝ABC，∠ICB＝ACB，
∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝180°﹣90°+∠BAC
＝90°+∠BAC，
∵∠BIC＝90°+θ，
∴∠BAC＝θ．
∵AB和AC的垂直平分线交于点O，
∴OA＝OB＝OC
∴∠1＝∠OBA，∠2＝∠OCA，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC﹣∠1+∠ACB﹣∠2）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC﹣∠1﹣∠2）
＝∠BAC+∠1+∠2
＝2∠BAC
＝2θ．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．计算：＝ ﹣x5 ；（﹣2x2）3＝ ﹣8x6 ；（x2）3÷x5＝ x ．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、积的乘方法则、单项式除单项式的运算法则计算．
【解答】解：3x3•（﹣x2）＝﹣x5，
（﹣2x2）3＝﹣8x6，
（x2）3÷x5＝x6÷x5＝x，
故答案为：﹣x5；﹣8x6；x．
12．若am＝3，an＝2，则am+n＝ 6 ．
【分析】先根据同底数幂的乘法法则把代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．
【解答】解：∵am•an＝am+n，
∴am+n＝am•an＝3×2＝6．
13．已知a+b＝1，则a2﹣b2+2b＝ 1 ．
【分析】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1，
故答案为：1
14．若a+＝3，则a﹣＝ ．
【分析】根据完全平方公式的计算（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，即可解题．
【解答】解：∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，
∴﹣4＝，
∴a﹣＝±．
15．若实数满足（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，则3x2+2y2的值为 1 ．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2﹣20192＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2＝1，
∴3x2+2y2＝1．
故答案为：1
16．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 242 m2．
【分析】由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得S关于x的二次函数，将S关于x的二次函数写成顶点式，则可得答案．
【解答】解：由题意得：
S＝x[40﹣x﹣（x﹣2）+2]＝﹣2x2+44x＝﹣2 （x﹣11）2+242
∴当x＝11时，S有最大值，最大值为242平方米．
故答案为：242．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）x•x3+x2•x2
（2）（x+3y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则化简计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式化简计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x4+x4
＝2x4；
（2）原式＝x2+6xy+9y2﹣x2+4y2
＝6xy+13y2．
18．分解因式：
（1）ab3﹣abc
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36
（3）（p﹣4）（p+1）+3p
（4）4xy2﹣4x2y﹣y3
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可；
（3）原式整理后，利用平方差公式分解即可；
（4）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝ab（b2﹣c）；
（2）原式＝（a+b﹣6）2；
（3）原式＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）；
（4）原式＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2．
19．先化简，再求值：（﹣a+2）2﹣（a+3）（a﹣2），其中a＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣4a+4﹣a2﹣a+6＝﹣5a+10，
当a＝1时，原式＝﹣5+10＝5．
20．已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．
（1）直接写出xy的值；
（2）求x2+y2+4xy的值；
（3）直接写出求x﹣y的值．
【分析】（1）（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，将已知代入即可；
（2）将式子化为x2+y2+4xy＝（x+y）2+2xy＝13；
（3）因为（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy，所以（x﹣y）2＝1，即可求解．
【解答】解：（1）（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，
∵x+y＝3，
∴xy＝2；
（2）x2+y2+4xy＝（x+y）2+2xy＝13；
（3）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y＝±1．
21．在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为 （﹣2，5） ；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为 （﹣3，3） ；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为 （1，﹣4） ；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为 （﹣1，﹣1） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）分别作出A，B，C对应点A3，B3，C3即可，作出对应点连线段的垂直平分线的交点Q即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，那么C的对应点C1的坐标为（﹣2，5）P，点P的坐标为（﹣3，3）．
故答案为（﹣2，5），（﹣3，3）．
（2）△A2B2C2如图所示，那么点B的对应点B2的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
（3）△A3B3C3即为所求，Q（﹣1，﹣1），
故答案为（﹣1，1）．
22．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC．过点B作BF⊥AD，垂足为点F，
（1）求证：∠DAB＝∠FBC；
（2）点E为线段CD上的一点，连接AE交BF于G，若∠BAE+2∠EAD＝90°，AG＝1，AB＝5，求线段CD的长．
【分析】（1）由余角的性质可得结论；
（2）如图，过点A作AH⊥CD，延长BF交AH于M，可证四边形ABCH是正方形，可得AB＝CH＝5，由“ASA”可证△ABM≌△AHD，△AGF≌△AMF，可得HD＝AM，AM＝AG＝1，即可求解．
【解答】证明：（1）∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠DAB＝∠FBC；
（2）如图，过点A作AH⊥CD，延长BF交AH于M，
∵AH⊥CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，且AB＝BC，
∴四边形ABCH是正方形，
∴AB＝CH＝5，
∵∠BAE+2∠EAD＝90°，∠BAE+∠EAD+∠DAH＝90°，∠BAE+∠DAE+∠ABM＝90°
∴∠DAH＝∠EAD＝∠ABM，且AB＝AH，∠BAM＝∠H＝90°，
∴△ABM≌△AHD（ASA）
∴HD＝AM，
∵∠DAE＝∠DAH，AF＝AF，∠AFG＝∠AFM＝90°，
∴△AGF≌△AMF（ASA）
∴AM＝AG＝1，
∴HD＝1，
∴CD＝CH﹣DH＝4．
23．已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若，直接写出＝ 8 ．
【分析】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝45°﹣，∠ADC＝90°﹣，即可求解；
（2）①如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC，由中心对称的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证△AOB≌△COD，可得AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，由“AAS”可证△PHC≌△PGC，可得PH＝PG，由“HL”可证Rt△PEG≌Rt△PDH，可得∠EPG＝∠HPD，即可得结论；
②设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝CD＝4a，CH＝HP＝CG＝GP＝a，可求AE，EC的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝45°﹣，∠ADC＝90°﹣，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°；
（2）如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC
∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．
∴EP＝DP，
∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称，
∴AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，且∠ACD＝90°，
∴∠PCG＝∠PCH＝45°，且PC＝PC，∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴△PHC≌△PGC（AAS）
∴PH＝PG，且EP＝DP，
∴Rt△PEG≌Rt△PDH（HL），
∴∠EPG＝∠HPD，
∵∠HCG＝∠HCP+∠GCP＝90°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠HPG＝90°，
∴∠EPG+∠EPH＝90°，
∴∠DPH+∠EPH＝90°，即∠DPE＝90°
∴△PDE为直角三角形；
②如图2，
∵，
∴设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8a，
∴AB＝AC＝4a，
∴CD＝4a，
∵∠PCH＝∠PCG＝45°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠PCH＝∠PCG＝∠HPC＝∠GCP＝45°，
∴CH＝HP，CG＝GP，且CP＝3a，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴CH＝HP＝CG＝GP＝a，
∴DH＝CD﹣CH＝a，
∵Rt△PEG≌Rt△PDH，
∴EG＝DH＝a，
∴EC＝EG﹣CG＝a，
∴AE＝a，
∴＝＝8，
故答案为8．
24．如图1，将任意一个等腰直角三角板△ABC放至平面直角坐标系xOy中，直角顶点A（a，0）在x轴的负半轴，点B（0，b）在y轴的正半轴，点C落在第二象限，
（1）若＝﹣b2+4b﹣4，求C点坐标；
（2）如图2，再将任意的一个等腰直角三角板△DEF放至平面直角坐标系xOy中，点E在x轴的正半轴上，F在y轴的负半轴上，直角顶点D落在第四象限，设点G为BC的中点，证明：点D，O，G三点刚好在同一条直线上；
（3）已知a＝﹣4，b＜4．如图3，点O关于直线AB的对称点为点H，AH交线段BC于点P，PR⊥x轴于点R，求△APR的周长．
【分析】（1）如图1中，作CH⊥OA于H．利用非负数的性质求出a，b，再利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）利用四点共圆证明∠AOG＝45°，∠DOE＝45°，推出∠AOG＝∠DOE即可．
（3）如图3中，连接BH，ZUOBK⊥PR于K，在AO上截取AM，使得AM＝AP．利用全等三角形的性质证明PK＝PH，RK＝RO，可以推出△APR的周长＝AH+AO＝8．
【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．
∵＝﹣b2+4b﹣4，
∴+（b﹣2）2＝0，
∵≥0，（b﹣2）2≥0，
∴2b+a＝0，b＝2，
∴a＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∵∠CHA＝∠AOB＝∠CAB＝90°，
∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAH＝∠ABO，
∵AC＝AB，
∴△CHA≌△AOB（AAS），
∴CH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴OH＝6，
∴C（﹣6，4）．
（2）如图2中，连接AG．
∵AC＝AB，CG＝GB，
∴AG⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠AGB＝∠AOB＝90°，
∴A，G，B，O四点共圆，
∴∠AOG＝∠ABC＝45°，
∵∠EOF＝∠EDF＝90°，
∴O，E，D，F四点共圆，
∴∠DOE＝∠DFE，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠DFE＝45°，
∠DOF＝45°＝∠AOG，
∴D，O，G共线．
（3）如图3中，连接BH，ZUOBK⊥PR于K，在AO上截取AM，使得AM＝AP．
∵AB＝AB，∠BAP＝∠BAM，AP＝AM，
∴△BAP≌△BAM（SAS），
∴BP＝BM，∠ABP＝∠ABM＝45°，
∴∠PBM＝90°，
∵∠H＝∠BOM＝90°，BP＝BM，BH＝BO，
∴Rt△BHP≌△BOM（HL），
∴∠BPH＝∠BMO，
∵∠PBM＝∠PRM＝90°，
∴∠BMO+∠AMB＝180°，∠AMB+∠RPB＝180°，
∴∠BPR＝∠BMO＝∠BPH，
∵BH⊥PH，BK⊥PR，
∴BH＝BK，∠H＝∠BKP＝90°，
∵PB＝PB，
∴Rt△BPH≌Rt△BPK（HL），
∴PK＝PH，
∵BO＝BH，
∴BK＝BO，
∵∠BKR＝∠KRO＝∠ROB＝90°，
∴四边形OBKR是矩形，
∵BO＝BK，
四边形BORK是正方形，
∴RK＝OR，
∴AO＝AH＝4，
∴△APR的周长＝AP+PK+KR+AR＝AH+AO＝8．
1．如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．m2•m4＝m6B．m2•m4＝m8C．m2+m4＝m6D．m4•m4＝2m8
3．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3B．（b﹣a）（a+b）＝b2﹣a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
4．下列各式可以写成完全平方式的多项式有（ ）
A．x2+xy+y2B．x2﹣xy+
C．x2+2xy+4y2D．
5．若a2﹣（m﹣1）a+9是一个完全平方式，则实数m的值应是（ ）
A．7B．﹣5
C．4D．以上答案都不对
6．若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+4）2
B．16x2﹣4＝（4x+2）（4x﹣2）
C．9﹣6（m﹣n）+（m﹣n）2＝（3﹣m﹣n）2
D．﹣a2﹣b2+2ab＝﹣（a﹣b）2
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣b2﹣c2+2bc的值一定（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
9．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
10．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若∠BIC＝90°+θ，则∠BOC＝（ ）
A．90°﹣θB．2θ
C．180°﹣θD．以上答案都不对
二．填空题（共6小题）
11．计算：＝ ；（﹣2x2）3＝ ；（x2）3÷x5＝ ．
12．若am＝3，an＝2，则am+n＝ ．
13．已知a+b＝1，则a2﹣b2+2b＝ ．
14．若a+＝3，则a﹣＝ ．
15．若实数满足（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，则3x2+2y2的值为 ．
16．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 m2．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）x•x3+x2•x2
（2）（x+3y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）
18．分解因式：
（1）ab3﹣abc
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36
（3）（p﹣4）（p+1）+3p
（4）4xy2﹣4x2y﹣y3
19．先化简，再求值：（﹣a+2）2﹣（a+3）（a﹣2），其中a＝1．
20．已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．
（1）直接写出xy的值；
（2）求x2+y2+4xy的值；
（3）直接写出求x﹣y的值．
21．在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为 ；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为 ；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为 ；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为 ．
22．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC．过点B作BF⊥AD，垂足为点F，
（1）求证：∠DAB＝∠FBC；
（2）点E为线段CD上的一点，连接AE交BF于G，若∠BAE+2∠EAD＝90°，AG＝1，AB＝5，求线段CD的长．
23．已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若，直接写出＝ ．
24．如图1，将任意一个等腰直角三角板△ABC放至平面直角坐标系xOy中，直角顶点A（a，0）在x轴的负半轴，点B（0，b）在y轴的正半轴，点C落在第二象限，
（1）若＝﹣b2+4b﹣4，求C点坐标；
（2）如图2，再将任意的一个等腰直角三角板△DEF放至平面直角坐标系xOy中，点E在x轴的正半轴上，F在y轴的负半轴上，直角顶点D落在第四象限，设点G为BC的中点，证明：点D，O，G三点刚好在同一条直线上；
（3）已知a＝﹣4，b＜4．如图3，点O关于直线AB的对称点为点H，AH交线段BC于点P，PR⊥x轴于点R，求△APR的周长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：观察书写的8个汉字，没有轴对称图形．
故选：A．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．m2•m4＝m6B．m2•m4＝m8C．m2+m4＝m6D．m4•m4＝2m8
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．m2•m4＝m6，正确，故本选项符合题意；
B．m2•m4＝m6，故本选项不合题意；
C．m2与m4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．m4•m4＝m8，故本选项不合题意．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3B．（b﹣a）（a+b）＝b2﹣a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及乘法公式、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项错误；
B、（b﹣a）（a+b）＝b2﹣a2，正确；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a5，故此选项错误；
故选：B．
4．下列各式可以写成完全平方式的多项式有（ ）
A．x2+xy+y2B．x2﹣xy+
C．x2+2xy+4y2D．
【分析】根据完全平方式的结构对各式分析判断后即可求解．
【解答】解：A、应为x2+2xy+y2，原式不能写成完全平方式，故错误；
B、，正确；
C、应为x2+4xy+4y2，原式不能写成完全平方式，故错误；
D、应为，原式不能写成完全平方式，故错误；
故选：B．
5．若a2﹣（m﹣1）a+9是一个完全平方式，则实数m的值应是（ ）
A．7B．﹣5
C．4D．以上答案都不对
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵a2﹣（m﹣1）a+9是一个完全平方式，
∴﹣（m﹣1）＝±6．
∴m＝7或m＝﹣5
故选：D．
6．若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3﹣m＝0，再解得出答案．
【解答】解：（x﹣m）（x+3）＝x2+3x﹣mx﹣3m＝x2+（3﹣m）x﹣3m，
∵乘积中不含x的一次项，
∴3﹣m＝0，
解得：m＝3，
故选：A．
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+4）2
B．16x2﹣4＝（4x+2）（4x﹣2）
C．9﹣6（m﹣n）+（m﹣n）2＝（3﹣m﹣n）2
D．﹣a2﹣b2+2ab＝﹣（a﹣b）2
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+2）2，不符合题意；
B、原式＝4（4x2﹣1）＝4（2x+1）（2x﹣1），不符合题意；
C、原式＝（3﹣m+n）2，不符合题意；
D、原式＝﹣（a﹣b）2，符合题意，
故选：D．
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣b2﹣c2+2bc的值一定（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
【分析】根据：a，b，c是△ABC的三边长，可得：a+b＞c，a+c＞b，所以a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，据此判断出a2﹣b2﹣c2+2bc的值的正负即可．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，
a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）
＝a2﹣（b﹣c）2
＝（a+b﹣c）（a+c﹣b）
∴a2﹣b2﹣c2+2bc的值一定大于零．
故选：A．
9．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
10．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若∠BIC＝90°+θ，则∠BOC＝（ ）
A．90°﹣θB．2θ
C．180°﹣θD．以上答案都不对
【分析】根据角平分线的性质可得∠A＝θ，再根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理即可推出∠BOC．
【解答】解：
如图，
∵∠B和∠C的平分线交于点I，
∴∠IBC＝ABC，∠ICB＝ACB，
∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝180°﹣90°+∠BAC
＝90°+∠BAC，
∵∠BIC＝90°+θ，
∴∠BAC＝θ．
∵AB和AC的垂直平分线交于点O，
∴OA＝OB＝OC
∴∠1＝∠OBA，∠2＝∠OCA，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC﹣∠1+∠ACB﹣∠2）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC﹣∠1﹣∠2）
＝∠BAC+∠1+∠2
＝2∠BAC
＝2θ．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．计算：＝ ﹣x5 ；（﹣2x2）3＝ ﹣8x6 ；（x2）3÷x5＝ x ．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、积的乘方法则、单项式除单项式的运算法则计算．
【解答】解：3x3•（﹣x2）＝﹣x5，
（﹣2x2）3＝﹣8x6，
（x2）3÷x5＝x6÷x5＝x，
故答案为：﹣x5；﹣8x6；x．
12．若am＝3，an＝2，则am+n＝ 6 ．
【分析】先根据同底数幂的乘法法则把代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．
【解答】解：∵am•an＝am+n，
∴am+n＝am•an＝3×2＝6．
13．已知a+b＝1，则a2﹣b2+2b＝ 1 ．
【分析】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1，
故答案为：1
14．若a+＝3，则a﹣＝ ．
【分析】根据完全平方公式的计算（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，即可解题．
【解答】解：∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，
∴﹣4＝，
∴a﹣＝±．
15．若实数满足（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，则3x2+2y2的值为 1 ．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2﹣20192＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2＝1，
∴3x2+2y2＝1．
故答案为：1
16．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 242 m2．
【分析】由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得S关于x的二次函数，将S关于x的二次函数写成顶点式，则可得答案．
【解答】解：由题意得：
S＝x[40﹣x﹣（x﹣2）+2]＝﹣2x2+44x＝﹣2 （x﹣11）2+242
∴当x＝11时，S有最大值，最大值为242平方米．
故答案为：242．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）x•x3+x2•x2
（2）（x+3y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则化简计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式化简计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x4+x4
＝2x4；
（2）原式＝x2+6xy+9y2﹣x2+4y2
＝6xy+13y2．
18．分解因式：
（1）ab3﹣abc
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36
（3）（p﹣4）（p+1）+3p
（4）4xy2﹣4x2y﹣y3
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可；
（3）原式整理后，利用平方差公式分解即可；
（4）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝ab（b2﹣c）；
（2）原式＝（a+b﹣6）2；
（3）原式＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）；
（4）原式＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2．
19．先化简，再求值：（﹣a+2）2﹣（a+3）（a﹣2），其中a＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣4a+4﹣a2﹣a+6＝﹣5a+10，
当a＝1时，原式＝﹣5+10＝5．
20．已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．
（1）直接写出xy的值；
（2）求x2+y2+4xy的值；
（3）直接写出求x﹣y的值．
【分析】（1）（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，将已知代入即可；
（2）将式子化为x2+y2+4xy＝（x+y）2+2xy＝13；
（3）因为（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy，所以（x﹣y）2＝1，即可求解．
【解答】解：（1）（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，
∵x+y＝3，
∴xy＝2；
（2）x2+y2+4xy＝（x+y）2+2xy＝13；
（3）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y＝±1．
21．在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为 （﹣2，5） ；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为 （﹣3，3） ；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为 （1，﹣4） ；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为 （﹣1，﹣1） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）分别作出A，B，C对应点A3，B3，C3即可，作出对应点连线段的垂直平分线的交点Q即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，那么C的对应点C1的坐标为（﹣2，5）P，点P的坐标为（﹣3，3）．
故答案为（﹣2，5），（﹣3，3）．
（2）△A2B2C2如图所示，那么点B的对应点B2的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
（3）△A3B3C3即为所求，Q（﹣1，﹣1），
故答案为（﹣1，1）．
22．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC．过点B作BF⊥AD，垂足为点F，
（1）求证：∠DAB＝∠FBC；
（2）点E为线段CD上的一点，连接AE交BF于G，若∠BAE+2∠EAD＝90°，AG＝1，AB＝5，求线段CD的长．
【分析】（1）由余角的性质可得结论；
（2）如图，过点A作AH⊥CD，延长BF交AH于M，可证四边形ABCH是正方形，可得AB＝CH＝5，由“ASA”可证△ABM≌△AHD，△AGF≌△AMF，可得HD＝AM，AM＝AG＝1，即可求解．
【解答】证明：（1）∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠DAB＝∠FBC；
（2）如图，过点A作AH⊥CD，延长BF交AH于M，
∵AH⊥CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，且AB＝BC，
∴四边形ABCH是正方形，
∴AB＝CH＝5，
∵∠BAE+2∠EAD＝90°，∠BAE+∠EAD+∠DAH＝90°，∠BAE+∠DAE+∠ABM＝90°
∴∠DAH＝∠EAD＝∠ABM，且AB＝AH，∠BAM＝∠H＝90°，
∴△ABM≌△AHD（ASA）
∴HD＝AM，
∵∠DAE＝∠DAH，AF＝AF，∠AFG＝∠AFM＝90°，
∴△AGF≌△AMF（ASA）
∴AM＝AG＝1，
∴HD＝1，
∴CD＝CH﹣DH＝4．
23．已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若，直接写出＝ 8 ．
【分析】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝45°﹣，∠ADC＝90°﹣，即可求解；
（2）①如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC，由中心对称的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证△AOB≌△COD，可得AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，由“AAS”可证△PHC≌△PGC，可得PH＝PG，由“HL”可证Rt△PEG≌Rt△PDH，可得∠EPG＝∠HPD，即可得结论；
②设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝CD＝4a，CH＝HP＝CG＝GP＝a，可求AE，EC的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝45°﹣，∠ADC＝90°﹣，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°；
（2）如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC
∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．
∴EP＝DP，
∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称，
∴AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，且∠ACD＝90°，
∴∠PCG＝∠PCH＝45°，且PC＝PC，∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴△PHC≌△PGC（AAS）
∴PH＝PG，且EP＝DP，
∴Rt△PEG≌Rt△PDH（HL），
∴∠EPG＝∠HPD，
∵∠HCG＝∠HCP+∠GCP＝90°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠HPG＝90°，
∴∠EPG+∠EPH＝90°，
∴∠DPH+∠EPH＝90°，即∠DPE＝90°
∴△PDE为直角三角形；
②如图2，
∵，
∴设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8a，
∴AB＝AC＝4a，
∴CD＝4a，
∵∠PCH＝∠PCG＝45°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠PCH＝∠PCG＝∠HPC＝∠GCP＝45°，
∴CH＝HP，CG＝GP，且CP＝3a，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴CH＝HP＝CG＝GP＝a，
∴DH＝CD﹣CH＝a，
∵Rt△PEG≌Rt△PDH，
∴EG＝DH＝a，
∴EC＝EG﹣CG＝a，
∴AE＝a，
∴＝＝8，
故答案为8．
24．如图1，将任意一个等腰直角三角板△ABC放至平面直角坐标系xOy中，直角顶点A（a，0）在x轴的负半轴，点B（0，b）在y轴的正半轴，点C落在第二象限，
（1）若＝﹣b2+4b﹣4，求C点坐标；
（2）如图2，再将任意的一个等腰直角三角板△DEF放至平面直角坐标系xOy中，点E在x轴的正半轴上，F在y轴的负半轴上，直角顶点D落在第四象限，设点G为BC的中点，证明：点D，O，G三点刚好在同一条直线上；
（3）已知a＝﹣4，b＜4．如图3，点O关于直线AB的对称点为点H，AH交线段BC于点P，PR⊥x轴于点R，求△APR的周长．
【分析】（1）如图1中，作CH⊥OA于H．利用非负数的性质求出a，b，再利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）利用四点共圆证明∠AOG＝45°，∠DOE＝45°，推出∠AOG＝∠DOE即可．
（3）如图3中，连接BH，ZUOBK⊥PR于K，在AO上截取AM，使得AM＝AP．利用全等三角形的性质证明PK＝PH，RK＝RO，可以推出△APR的周长＝AH+AO＝8．
【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．
∵＝﹣b2+4b﹣4，
∴+（b﹣2）2＝0，
∵≥0，（b﹣2）2≥0，
∴2b+a＝0，b＝2，
∴a＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∵∠CHA＝∠AOB＝∠CAB＝90°，
∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAH＝∠ABO，
∵AC＝AB，
∴△CHA≌△AOB（AAS），
∴CH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴OH＝6，
∴C（﹣6，4）．
（2）如图2中，连接AG．
∵AC＝AB，CG＝GB，
∴AG⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠AGB＝∠AOB＝90°，
∴A，G，B，O四点共圆，
∴∠AOG＝∠ABC＝45°，
∵∠EOF＝∠EDF＝90°，
∴O，E，D，F四点共圆，
∴∠DOE＝∠DFE，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠DFE＝45°，
∠DOF＝45°＝∠AOG，
∴D，O，G共线．
（3）如图3中，连接BH，ZUOBK⊥PR于K，在AO上截取AM，使得AM＝AP．
∵AB＝AB，∠BAP＝∠BAM，AP＝AM，
∴△BAP≌△BAM（SAS），
∴BP＝BM，∠ABP＝∠ABM＝45°，
∴∠PBM＝90°，
∵∠H＝∠BOM＝90°，BP＝BM，BH＝BO，
∴Rt△BHP≌△BOM（HL），
∴∠BPH＝∠BMO，
∵∠PBM＝∠PRM＝90°，
∴∠BMO+∠AMB＝180°，∠AMB+∠RPB＝180°，
∴∠BPR＝∠BMO＝∠BPH，
∵BH⊥PH，BK⊥PR，
∴BH＝BK，∠H＝∠BKP＝90°，
∵PB＝PB，
∴Rt△BPH≌Rt△BPK（HL），
∴PK＝PH，
∵BO＝BH，
∴BK＝BO，
∵∠BKR＝∠KRO＝∠ROB＝90°，
∴四边形OBKR是矩形，
∵BO＝BK，
四边形BORK是正方形，
∴RK＝OR，
∴AO＝AH＝4，
∴△APR的周长＝AP+PK+KR+AR＝AH+AO＝8．
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