高中物理专题：机械能守恒定律的应用

专题13  机械能守恒定律及其应用

1．机械能：

机械能是物体动能、重力势能、弹性势能的统称，也可以说成物体动能和势能之总和.

2.机械能守恒定律

（1）内容：在只有重力或弹力做功时，物体（系统）动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.

（2）表达式：E1=E2或Ek1+EP1=EK2+EP2   

3.机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律的常用数学表达式：

（1）守恒条件：

①一个物体：只有重力做功或弹力做功（看是否包含弹簧，包含弹簧，守恒；不包含则不守恒）

②物体系统：弹力和重力一起做功，只有重力势能和弹性势能的相互转化，没有其他形式的能量产生

③如果有外力作用，但是外力不做功或做功为零，没有其他形式的能量产生，物体或系统机械能守恒。

（2）常用数学表达式:

①守恒观点：Ek1+EP1=EK2+EP2                必须选择参考平面

②转化观点：ΔEk＝-ΔEp，（ΔEk增＝ΔEp减或ΔEk减＝ΔEp增） ．运用的关键在于弄清重力势能的增加(或减少)量，可不选取参考面而直接计算初、末状态的势能差

③转移观点：ΔEA＝-ΔEB（ΔEA增＝ΔEB减或ΔEA减＝ΔEB增），“转移观点”，

4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤

（1）.根据题意，选取研究对象（物体或相互作用的物体系）.

（2）.分析研究对象在运动过程中所受各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件．

（3）.若符合定律成立的条件，先要选取合适的零势能的参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态的机械能值．

（4）.根据机械能守恒定律列方程，并代人数值求解．

【问题一】物体或物体系统机械能守恒是否定律的条件的应用

1.一个物体：只有重力做功或只有弹力做功，只管整个过程始末状态，不管中间过程；有弹簧时要包含弹簧才守恒。

2.物体系统：系统只有动能和势能的转化，无其他形式能量的产生。

3.注意：无论是从做功来看还是从能量的转化来看都只有动能和势能的相互转化，无其他形式的能量产生。

4.如果其他除重力、弹力外的其他力做功，机械能不守恒

【例题1】如图5-4-1所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放，让其自由摆下，不及空气阻力，重物在摆向最低点的位置的过程中（  ）

A．重物重力势能减小                    

B．重物重力势能与动能之和增大          

C．重物的机械能不变                    

D. 重物的机械能减少

【变式1】关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是（  ）

A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒； 

B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒；

C．外力对物体所做的功等于零时，机械能一定守恒；

D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒.

【变式2】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中  (　 　)．

A．圆环机械能守恒

B．弹簧的弹性势能先增大后减小

C．弹簧的弹性势能变化了mgh

D．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大

【变式3】在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是（   B    ）

Ａ．用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动

Ｂ．细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动

Ｃ．物体沿光滑的曲面自由下滑

Ｄ．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动

【变式4】如图5-5-12所示，两质量相同的小球A、B，分别用线悬线在等高的O1、O2点，A球的悬线比B比球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（悬点为零势能）（ABD  ）

A．A球的速度大于B球的速度

B．A球的动能大于B球的动能

C．A球的机械能大于B球的机械能

D．A球的机械能等于B球的机械能

【问题二】链条（绳）类型：

（1）不能把绳或链条当作质点处理，在绳或链条上速度大小相等，此种情况下应用机械能守恒，一定要选择零势能面；链条的动能和势能之和不变

（2）常采用守恒观点：E2＝E1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1

【例题1】如图8—53所示，光滑的水平桌面离地面高度为2L，在桌的边缘，一根长L的匀质软绳，一半搁在水平桌面上，另一半自然悬挂在桌面上，放手后，绳子开始下落，试问，当绳子下端刚触地时，绳子的速度是多大?

【变式1】如图5-5-9所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？

【变式2】如图5所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。

【问题三】单个物体类型

单个物体机械能守恒时，守恒观点和转化观点都可以采用

（1）守恒观点：E2＝E1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1         

（2）转化观点：ΔEk＝-ΔEp（ΔEk增＝ΔEp减或ΔEk减＝ΔEp增）

【例1】如图5-4-2使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点B上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A？

【例2】如图5-5-1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？

【变式1】如图5-5-2长l=80cm的细绳上端固定，下端系一个质量m＝100g的小球.将小球拉起至细绳与竖立方向成60°角的位置，然后无初速释放.不计各处阻力，求小球通过最低点时，细绳对小球拉力多大？取g=10m/s2.

【变式2】南通市2008届高三基础调研测试）如图所示，某人将质量为m的石块从距地面h高处斜向上方抛出，石块抛出时的速度大小为v0，不计空气阻力，石块落地时的动能为 （ ）

A．          

B．

C．          

D．

【变式3】人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ BC  ）

A．人对小球做的功是     

B．人对小球做的功是

C．小球落地时的机械能是  

D．小球落地时的机械能是

【问题四】机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用

对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.

注意：多物体问题中场用转化的关系解决问题

（1）绳模型：

①同一根绳连接的两个物体，在绳上的速度相等，没有外力作用时，物体与绳组成的系统机械能守恒

②采用转移观点：ΔEA＝-ΔEB（ΔEA增＝ΔEB减或ΔEA减＝ΔEB增）

【例题1】如图5－3－6所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中  (　 　)．

A．M、m各自的机械能分别守恒

B．M减少的机械能等于m增加的机械能

C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能

D．M和m组成的系统机械能守恒

【例题2】有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用长为2l不可伸长的轻细绳相连，A、B质量均为m，且可看做质点，如图5－3－7所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，下落高度为l时，求：

(1)A、B的速度各为多大；

(2)轻绳对A滑块做的功．

【变式1】如图5-5-16所示，跨过同一高度的滑轮的细线连着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高h=0.2m，开始时让连A的细线与水平杆夹角θ=530，由静止释放，在以后的过程中A能获得的最大速度是多少？（Sin530 = 0.8 , Cos530 = 0.6 , g取10m/s2）

【变式2】如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(　　)

A．h          

B．1.5h

C．2h          

D．2.5h                                         

【变式3】如图 4－4－5 所示，质量为 m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边定滑轮与质量为 M 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降 h(h 小于桌面的高度)的距离，木块仍在桌面上，则砝码的速度大小为多少？

【变式4】如图5-5-15所示，一轻绳的两端各系一小球（可视为质点），质量分别为M和m（M>m），跨放在一个光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少？

（2）杆模型：

①同一根杆上，转动的角速度w 相等，杆连接的物体没有外力作用时，物体与绳组成的系统机械能守恒，即动能和势能之和不变。

②转移的观点：ΔEA＝-ΔEB（ΔEA增＝ΔEB减或ΔEA减＝ΔEB增）

【例题1】质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕点O在竖直面内无摩擦转动，两球到点O的距离L1>L2，如图所示.将杆拉至水平时由静止释放，则在a下降过程中 (   )

A.杆对a不做功                     

B.杆对b不做功

C.杆对a做负功                      

D.杆对b做负功

【变式1】如图5-5-7所示，在质量不计长为L的不能弯曲的轻直杆的一端和中点分别固定两个质量均为m的小球A、B，杆的另一端固定在水平轴O处，杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状态，从静止开始释放，当杆转到竖直位置时，两球速度vA、vB分别为多少？

【变式2】质量分别为m和M(其中M＝2m)的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图5－3－7所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是   (　 　)．

A．Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒

B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒

C．P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒

D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒

 （3）轻弹簧模型：此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒

方法：转化的观点，系统的动能、重力势能、弹性势能之和不变

【例题1】质量相等的两木块A、B用一轻弹簧栓接，静置于水平地面上，如图甲所示．现用一竖直向上的力F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图乙所示．在木块A开始运动到木块B将要离开地面的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下述判断正确的是(　　)

A．力F一直增大

B．弹簧的弹性势能一直减小

C．木块A的动能和重力势能之和先增大后减小

D．两木块A、B和轻弹簧组成的系统的机械能先增大后减小

【变式】(2011·广安模拟)如图5－3－9所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则    (　  　)

A．小球运动的最大速度等于2

B．小球运动中最大加速度为g

C．弹簧的劲度系数为mg/x0

D．弹簧的最大弹性势能为3mgx0

【问题五】机械能守恒定律和动能定理的综合应用

  机械能守恒定律和动能定理是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重要的地位，两者经常交叉使用，既有区别也有相同之处.

(1)相同点：都是从功和能量的角度来研究物体动力学问题.

(2)不同点：

①解题范围不同，动能定理的范围相对来说要大些，所以一般情况下首先选择动能定理。

②研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研究单个物体在研究过程中合外力做功与动能的变化，而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出系统初、末状态的机械能即可.

③侧重描述点不同：动能定理侧重做功与能量的转化过程；机械能守恒定律侧重能量的转化关系，常省略中间过程，只需找出转化的量即可。

【例题1】如图5-5-13所示，小球自高为H的A点由静止开始沿光滑曲面下滑，到曲面底B点飞离曲面，B点处曲面的切线沿水平方向．若其他条件不变，只改变h，则小球的水平射程s的变化情况是        (     )

A．h增大，s可能增大   

B．h增大，s可能减小

C．h减小，s可能增大   

D．h减小，s可能减小

【例题2】如图5－3－21所示在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道，其中圆弧部分光滑，水平段长为L，一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，现突然释放小物块，小物块被弹出，恰好能够到达圆弧轨道的最高点A，取g＝10 m/s2，且弹簧长度忽略不计，求：

(1)小物块的落点距O′的距离；

(2)小物块释放前弹簧具有的弹性势能．

【变式1】质量为m的小球，沿光滑环形轨道由静止滑下（如图5-5-11所示），滑下时的高度足够大.则小球在最低点时对环的压力跟小球在最高点时对环的压力之差是小球重力的多少倍？

【变式2】如图5-5-17所示，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：

（1）弹簧对物块的弹力做的功；

（2）物块从B至C克服阻力所做的功；

（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小.