福建省福州市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份福建省福州市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了下列图形中，中心对称图形是等内容，欢迎下载使用。

2021年初三期中考试试卷
一．选择题（共10小题）
1．下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1
2．下列图形中，中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1
4．从4张分别写有数字﹣6，﹣4，0，3的卡片中，任意抽取一张，卡片上的数字是正数的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0用配方法化成以下的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝14
6．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　）

A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
7．若一个扇形的半径是18cm，且它的圆心角等于120°，则用这个扇形围成的圆锥的底面半径是（　　）
A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm
8．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
二．填空题（共5小题）
11．已知3是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是　 　．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称点的坐标是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，将△ABC绕着点C逆时针旋转到△DEC位置时，点B恰好落在DE边上，则在旋转过程中，点B运动到点E的路径长为　 　．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝5cm，以B为圆心，3cm长为半径作⊙B，D是⊙B上一动点，⊙B的切线DE交AC于点E，则DE长的最小值为　 　cm．

15．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是　 　．

16．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根；其中正确的是　 　 ．

三．解答题（共9小题）
17．用配方法解方程：3x2﹣6x﹣8＝0．



18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个不相等实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若方程其中一个根为﹣2，求方程的另一个根．






19．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，
（1）画出旋转后的图形△A′B′O；
（2）求弧的长度．




20．某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品．
（1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是　 　事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．





21．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．



22．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．


23．定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

24．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为　 　和位置关系为　 　；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）在△DEC绕着点C按如图3方式旋转的过程中，当直线FH经过点C时，若AC＝2，CD＝，请直接写出FG的长．

25．点A（﹣m1，1），B（m1，1），C（m2，4）在抛物线y＝a（x﹣h）2上，其中m1＞0，m2＞0．点D在第四象限，直线AD⊥AC交x轴于点M，且AD＝AC．
（1）若m2＝1，
①求该抛物线的解析式；
②P（m，n）（≤m≤1）是该抛物线上的动点，连接AP交y轴于点N，点Q的坐标为（0，4），求△PNQ面积的取值范围；
（2）连接CD，点K在线段CD上，AM＝，S△ACK＝S△ACD．将抛物线y＝a（x﹣h）2平移，若平移后抛物线的顶点仍在原抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点K，并说明理由．

参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0中，a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、分母中含有字母，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项错误．
故选：D．
2．下列图形中，中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以这些图形不是中心对称图形．
选项C绕正方形的对角线的交点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以选项C是中心对称图形．
故选：C．
3．将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：D．
4．从4张分别写有数字﹣6，﹣4，0，3的卡片中，任意抽取一张，卡片上的数字是正数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，从4张卡片中任意抽一张有4种可能，但抽到正数的可能有1种，
根据概率公式可得：卡片上的数字是正数的概率P＝．
故选：D．
5．将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0用配方法化成以下的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝14
【解答】解：x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝14，
（x﹣3）2＝14．
故选：D．
6．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　）

A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【解答】解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故选：D．

7．若一个扇形的半径是18cm，且它的圆心角等于120°，则用这个扇形围成的圆锥的底面半径是（　　）
A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm
【解答】解：扇形的弧长＝＝12π，
则圆锥的底面半径为12π÷2π＝6．
故选：B．
8．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【解答】解：如图，连接OD，BD．

由题意：OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠AOD＝60°，
∵∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠ADO+∠ADC＝180°，
∴O，D，C共线，
∵∠AOD＝∠DOB＝60°，OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC＝30°，
∴∠OBC＝90°，
∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB＝×1×﹣＝﹣，
故选：B．
9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵Δ＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
11．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根；其中正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误．
∵y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A，B两点，
当ax2+bx+c＜mx+n时，﹣3＜x＜﹣1；
即不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；故②正确，
抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），故③错误，
∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
12．已知3是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是　﹣3　．
【解答】解：把x＝3代入x2＝p，得p＝32＝9．
则原方程为x2＝9，即x2﹣9＝0．
设方程的另一根为x，则3x＝﹣9．
所以x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
13．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称点的坐标是　（1，2）　．
【解答】解：点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，将△ABC绕着点C逆时针旋转到△DEC位置时，点B恰好落在DE边上，则在旋转过程中，点B运动到点E的路径长为　　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB＝1，∠ABC＝60°，
∵CB＝CE，∠E＝∠ABC＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∴点B运动到点E的路径长为＝，
故答案为．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝5cm，以B为圆心，3cm长为半径作⊙B，D是⊙B上一动点，⊙B的切线DE交AC于点E，则DE长的最小值为　4　cm．

【解答】解：连接BE、BD，
∵DE是⊙B的切线，
∴BD⊥DE，
∴DE＝，
∵BD＝3cm，
∴当BE最小时，DE的值最小，
据垂线段最短，即当BE⊥AC时，DE最小，
此时，在Rt△ABE中，AB＝5cm，∠BAC＝45°，
∴BE＝AB＝5，
∴DE＝＝4，
即DE长的最小值为4cm，
故答案为4．

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是　1　．

【解答】解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．
当CF与圆相切时，AF最大．
此时FA＝FG，BC＝CG．
设AF＝x，则DF＝4﹣x，FC＝4+x，
在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：
42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得x＝1．
故答案为1．

三．解答题（共9小题）
17．用配方法解方程：3x2﹣6x﹣8＝0．
【解答】解：3x2﹣6x﹣8＝0，
移项，得3x2﹣6x＝8，
方程两边同时除以3，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
则（x﹣1）2＝，
所以，x﹣1＝±，
所以，x1＝1+，x2＝1﹣．
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个不相等实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若方程其中一个根为﹣2，求方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝﹣8k+4＞0，
∴k＜．
（2）将x＝﹣2代入原方程，得：4+4（k﹣1）+k2＝0，
解得：k1＝0，k2＝﹣4．
当k＝0时，方程的另一个根为0÷（﹣2）＝0；
当k＝﹣4时，方程的另一个根为（﹣4）2÷（﹣2）＝﹣8．
19．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，
（1）画出旋转后的图形△A′B′O；
（2）求弧的长度．

【解答】解：（1）旋转后的图形△A′B′O如图所示；
（2）弧 的长＝＝π．


20．某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品．
（1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是　不可能　事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．
【解答】解：（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；
故答案为不可能；
（2）画树状图：（菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品分别用A、B、C、D表示）

共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，
所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率＝＝．
21．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【解答】解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，
根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t1＝5，t2＝45，
当t＝5时，100﹣2t＝90＞20，不合题意舍去；
当t＝45时，100﹣2t＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm，矩形菜园ABCD面积为S，
S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m2．
22．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．

【解答】解：（1）如图①，连接OD，
∵线段DC所在的直线与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
又∵点B是线段OC的中点，⊙O直径为4，
∴CO＝AB＝4，OD＝2，
∴Rt△COD中，CD＝＝2；


（2）①OD⊥AE
证明：如图②，连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，
∴BE是△COD的中位线，
∴BE∥OD，BE＝OD＝1，
∴∠AFO＝∠AEB＝90°，
∴OD⊥AE；

②∵OD⊥AE，
∴F是AF的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OF＝BE＝×OD＝，
∴DF＝2﹣＝，
∵Rt△ABE中，AE＝＝，
∴EF＝，
∴Rt△DEF中，DE＝＝，
∴CD＝2DE＝2．
23．定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

【解答】解：（1）如图1所示：
（2）△AEF是“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝2a，
∵CD：FC＝4：1，
∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，
在Rt△ABE中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，
在Rt△ECF中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2，
在Rt△ADF中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP＝1，
∴PQ最小时，△POQ的面积最小，
即OQ最小，
由垂线段最短可得斜边最小为3，
由勾股定理可得PQ＝＝2，
根据面积得，OQ×PM＝OP×PQ，
∴PM＝1×2÷3＝，
由勾股定理可求得OM＝＝，
故点P的坐标（﹣，）或（，）．


24．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为　FH＝FG　和位置关系为　FH⊥FG　；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）在△DEC绕着点C按如图3方式旋转的过程中，当直线FH经过点C时，若AC＝2，CD＝，请直接写出FG的长．

【解答】（1）解：如图1中，

∵CE＝CD，AC＝BC，∠ECA＝∠DCB＝90°，
∴BE＝AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE，
∴FH＝FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案为：FG＝FH，FG⊥FH．

（2）结论：成立，
理由：如图2中，

∵CE＝CD，∠ECD＝∠ACD＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
由（1）知：FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE，
∴FH＝FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．

（3）如图3中，

由题意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，
∵CD＝，
∴CF＝DF＝1，∵BC＝AC＝2，
∴BF＝＝，
∴BD＝BF﹣DF＝﹣1，
∵DG＝GB，
∴DG＝（﹣1），
∴FG＝DF+DG＝．
如图4中，同法可得FG＝BF﹣BG＝BF﹣（DF+BF）＝（BF﹣DF）＝．

25．点A（﹣m1，1），B（m1，1），C（m2，4）在抛物线y＝a（x﹣h）2上，其中m1＞0，m2＞0．点D在第四象限，直线AD⊥AC交x轴于点M，且AD＝AC．
（1）若m2＝1，
①求该抛物线的解析式；
②P（m，n）（≤m≤1）是该抛物线上的动点，连接AP交y轴于点N，点Q的坐标为（0，4），求△PNQ面积的取值范围；
（2）连接CD，点K在线段CD上，AM＝，S△ACK＝S△ACD．将抛物线y＝a（x﹣h）2平移，若平移后抛物线的顶点仍在原抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点K，并说明理由．
【解答】解：（1）①∵点A（﹣m1，1），B（m1，1）在抛物线y＝a（x﹣h）2上，
∴h＝0，
∴该抛物线的解析式为y＝ax2．
∵当m2＝1时，点C的坐标为（1，4），代入y＝ax2，
得a＝4．
∴抛物线的解析式为y＝4x2．
②∵A（﹣m1，1），P（m，n） 在抛物线y＝4x2上，
∴1＝4m12，n＝4m2．
∵m1＞0，
∴m1＝．
∴A（﹣，1）．
设直线AP的解析式为y＝kx+b，则N（0，b），
分别代入A（﹣，1），P（m，4m2）得．
可得b＝2m．
∴N（0，2m），
∵≤m≤1，
∴2m≤2＜4．
∴NQ＝4﹣2m．
过点P作PH⊥y轴于点H，则PH＝m．

∴△PNQ的面积S＝•NQ•PH＝m•（4﹣2m）＝﹣m2+2m （≤m≤1）．
∵﹣1＜0，对称轴m＝1，
∴当≤m≤1时，△PNQ的面积S随m的增大而增大．
∴≤S≤1．
（2）平移后的抛物线不经过点K，理由如下：
过点A作直线AE⊥x轴于点E，过点C作CG⊥AE于点G，过点D作DF⊥AE于点F．

∵A（﹣m1，1），AE⊥x轴，
∴AE＝1．
∵AM＝，
在Rt△AEM中，cos∠EAM＝＝．
∴∠EAM＝45°．
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°．
∴∠ADF＝45°．
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°．
∴∠GAC＝90°﹣∠EAM＝45°．
∵CG⊥AE，
∴∠AGC＝90°．
∴∠ACG＝45°．
∴AG＝CG＝3．
∴m2+m1＝3．
∵点A（﹣m1，1），B（m1，1）在抛物线y＝a（x﹣h）2上，
∴h＝0．
∴y＝ax2，
分别代入A（﹣m1，1），C（m2，4）得．
∴m22＝4m12．∵m1＞0，m2＞0，
∴m2＝2m1．又∵m2+m1＝3，∴m2＝2，m1＝1．
∴C（2，4），A（﹣1，1）．把C（2，4）代入y＝ax2得a＝1．∴y＝x2．
∵平移后抛物线的顶点仍在y＝x2上，
∴可设平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣t）2+t2．
∵∠EAM＝∠GAC，AD＝AC，∠ADF＝∠ACG，
∴△FAD≌△GAC（ASA）．∴FA＝FD＝AG＝CG＝3．
∵A（﹣1，1），∴D（2，﹣2）．∵C（2，4），∴CD⊥x轴，且CD＝6．
∵S△ACK＝S△ACD，
∴CK＝CD＝．
∴K（2，）．
代入平移后抛物线的解析式y＝（x﹣t）2+t2得（2﹣t）2+t2＝．
化简得4t2﹣8t+5＝0．
该方程无实数根，故平移后的抛物线不经过点K