重庆市第八中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com重庆八中2019-2020学年度（下）半期考试高二年级

数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.若复数（为虚数单位），则的模为(    )

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由复数除法运算可得，从而可求出其模.

【详解】解：因为，所以.

故选:C.

【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时，误将当作1进行计算.

2.已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用求导公式，求出，进而求出.

【详解】，

，则.

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的求导公式，导数的运算法则，属于基础题.

3.若满足约束条件，则的最大值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，联立方程组求得最优解对应的点的坐标，代入即可求解.

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

当直线过点时，此时直线在轴上的截距最大，

此时目标函数取得最大值，

又由，解得，所以目标函数的最大值为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力.

4.某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为，方差为，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

合格品个数为，利润为，从而可得，由可推出的值，进而可求出纯利润的标准差.

【详解】合格品个数，利润为，由 得，

.

故选:B

【点睛】本题考查了标准差的求解.本题的关键是由个数的方差，结合个数和利润的关系，求出利润的方差.

5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是(    )

A. 若与所成的角等于与所成的角，则

B. 若与所成的角等于与所成的角，则

C. 若，，则与所成的角等于与所成的角

D. 若，则与所成的角不可能等于与所成的角

【答案】C

【解析】

【分析】

在正方体中，举出反例，可判断四个选项的正确性.

【详解】解：A:如图，在正方体中，设下底面为，点为边上中点，此时与所成的角等于与所成的角，其正切值均为，但与相交，不平行，则A错误；

B:如图，在正方体中，设其下底面为，左侧面为，此时与所成的角等于与所成的角均为，但此时，则B错误；

D：如图，在正方体中，设下底面为，此时，但与所成的角与与所成的角相等，为，则D错误.

故选:C.

【点睛】本题考查了直线与平面所成角，考查了直线与平面的位置关系.对于此类问题，常结合具体的几何体举出反例说明选项错误，利用排除法选出正确答案.

6.在点处的切线方程为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点，解方程组即可求出．

【详解】，在点处的切线斜率，

由点处的切线方程为，可得，①

又，所以，②

由①②解得，，所以．

故选：D

【点睛】本题主要考查求切线的斜率，导数的几何意义，属于基础题.

7.某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（    ）

A. 7.2 B. 7.16 C. 8.2 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】

由中位数两侧的面积相等，可解出中位数．

【详解】因为在频率分布直方图中，中位数两侧的面积相等，所以0.04×2+0.12×2+（x﹣6）×0.15＝0.5，

可解出x＝7.2，

故选A．

【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数，熟记中位数的计算方法是关键，属于基础题．

8.某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“”），即可获奖.已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为(    )

A. 9 B. 10 C. 12 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意将中奖情况列举出为型、型、4个一样，每种情况结合组合的思想即可求出每种情况的数量，将最后结果相加即可.

【详解】解：由题意知，型有种；型有种；4个一样有种，

则种，

故选:C.

【点睛】本题考查了计数原理中分类的思想，考查了组合数的计算，考查了排列组合的思想.

9.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（    ）

A. 40 B. 30 C. 20 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数.

【详解】∵的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n＝5.

再令x＝1，可得各项系数和为（m+1）5＝243＝35，∴m＝2，

则展开式中的通项公式为Tr+1•m5﹣r•，令53，可得r＝4，

故展开式中x3的系数为•2＝10，

故选：D.

【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.

10.重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．现有名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为（　  　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

基本事件总数，每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，由此能求出每个景点都有人去游玩的概率．

【详解】解：洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．

现有名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，

则基本事件总数，

每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，

则每个景点都有人去游玩的概率为．

故选：．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11.用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将半径为2cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体体积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由等边三角形的性质，求出内切圆半径，其面积，从而可求四面体的高，进而可求出体积的最大值.

【详解】解：设球的圆心为，半径为，内切圆圆心为，由题意知三边长为，

则内切圆半径，则，

所以四面体的高.因为，

所以四面体体积的最大值.

故选:D.

【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.

12.已知双曲线 的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线右支上，且，若直线的倾斜角为且，则双曲线的离心率为（　　  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

证明，用和表示出到两焦点的距离，根据三角变换公式即可求出的值．

【详解】解：设的中点为，则，

，

，

又是△的中位线，

，

．

又，，

，，

由双曲线的定义可知，即，

，

，

，

故．

故选：．

【点睛】本题考查了双曲线的定义与性质，向量数量积与向量垂直的关系，考查三角恒等变换，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.若复数是纯虚数，其中是实数，则_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据纯虚数定义，列出方程组可求出，再根据共轭复数的定义，即可求出．

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得，

所以，所以．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了纯虚数的定义及共轭复数的定义，属于基础题．

14.在的二项展开式中，二项式系数最大的项为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由二项式系数的性质可得，展开式中中间项的系数最大,即最大项为：

【详解】根据二项式展开式的二项式系数的性质得：二项式系数最大的项为展开式的中间项，即

二项式系数最大的项为：.

故答案为：.

【点睛】主要考查二项式展开式中知识，属于基础题目.

15.，，，，，六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.，，三人去询问比赛结果，裁判对说：“你和都不是第一名”；对说：“你不是最差的”；对说：“你比，的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.

【答案】

【解析】

【分析】

根据裁判所说，对的名次分两类：第一类是获最后一名，再考虑，且在前面，最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名，此时可同时考虑，，获得前5名，根据加法原理即可得到答案.

【详解】根据裁判所说，对的名次分两类：

第一类是获最后一名，再考虑，，从前5名中选2两个名次给，且在前面有种，

最后排，，有种，根据分步计数原理，共有种；

第二类是没有获得最后一名，此时可同时考虑，，获得前5名中的3个名次

且名次在，之前有种，最后排，，有种，根据分步计数原理，

共有种；

根据分类计数原理，六人的名次共有种不同情况.

故答案为：

【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学进行分类讨论，属于中档题．

16.设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝_____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用抛物线的定义以及结合平面几何知识，求得和的长，由此求得.

【详解】如图，作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线与x轴交点为S，AB交准线于K.

设BH＝m，则AF＝3m，

∵，∴BK＝2m

则sin∠HKB，∴∠HKB＝30°.

∵，∴，∴，

∴|FK|＝2.

∴.

|QM|＝|MK|•tan30°＝4m×tan30°.

则|FP|•|MQ|.

故答案为：.

【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知函数

(1)当时，求的单调区间；

(2)若是的极大值点，求的取值范围.

【答案】(1) 单调增区间为和，单调减区间为；(2) ．

【解析】

【分析】

(1)将代入，求出函数的解析式，再确定函数的定义域，利用导数法，即可求出函数的单调区间；

(2)求，求出的根，然后对分类讨论，结合是的极大值点，即可求出的取值范围．

【详解】(1)当时，，函数的定义域为，，

令，解得或；令，解得，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

(2)由已知得，令得或，

当时，，

此时是的极大值点，故当，符合题意．

当时，，此时在上单调递增，函数无极值点，故不符合题意；

当时，，

此时，是的极小值点，不符合题意．

综上，的取值范围为

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，已知极值点求参数范围，属于中档题．需要注意的是：的解要是极大值点，导函数在该点处值需由正变负．

18.如图1，在六边形中，．如图2，将分别沿着折起，使点，点恰好重合于点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析 (2)

【解析】

【分析】

（1）推导出，，由，得，从而平面，由此能证明平面平面．

（2）取中点，连结，则，从而平面，且，取中点，连结，由，则，且，设到平面的距离为，由，得，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

【详解】解：（1）证明：由已知，得，

，同理，，

又

，平面，平面，

平面，

平面面平面；

（2）解：取中点，连结，

，则

又平面平面于，则平面，且，

又取中点，连结，由，

则，且，

设B到平面的距离为，

由，得，

解得，

设直线与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值．

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.图1是甲套设备的样本的频率分布直方图，表1是乙套设备的样本的频数分布表.

图1：甲套设备的样本的频率分布直方图

表1：乙套设备的样本的频数分布表

（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

附：

其中

【答案】(1)见解析；(2)没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

【解析】

【分析】

(1)根据图1和表1中的数据，分别求出甲、乙的合格率，再比较合格率的大小及各区间产品的分布情况即可；

(2)根据图1和表1中的数据，可求得甲、乙的合格和不合格的产品数量，即可完成列联表，将表中的数据代入的公式，求出，查对临界值作出判断，即可得到结论.

【详解】(1)根据图1和表1可知：甲套设备生产的合格品概率约为，

乙套设备生产的合格品的概率约为；

乙设备生产的产品的质量指标主要集中在之间，

甲套设备生产的产品的质量指标与乙设备相比较为分散；

因此，可以认为乙套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标更稳定，从而乙套设备优于甲套设备．

(2)根据表1和图1可得列联表：

提出假设：该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择无关.

根据联表中的数据可以求得

，

当成立时，的概率大于，

故没有95%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

【点睛】本题主要考查了统计和独立性检验的相关知识，考查数据处理能力，属于中档题．

20.已知函数．

（1）求的解析式；

（2）设，若对任意，求的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）求导，求出，代入即可；

（2），显然成立，，分离参数，构造，求出的最小值，即可求出的范围．

【详解】解：（1）．

，由，得，

所以，

（2）若对任意，，即，

当时，；

当时，参变分离，恒成立，

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

故．

综上，．

【点睛】考查求导法求解析式，和分离参数求函数的最值，属于中档题．

21.2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“”高考模式.所谓“”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科.

（1）若某考生按照“”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率.

（2）新冠疫情期间，为积极应对“”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分.

①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由；

②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由.

附：；

；

.

【答案】（1）；（2）①能，理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选1个科目的方法为，计算出从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数，即可得其概率.

（2）①由题意可知， ，而 ，结合原则可求得的值，结合获奖概率，并求得，比较后可求得获奖的最低成绩，即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.

②假设乙所说为真，求得，进而求得的值，从而确定的值，即可确定的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可判断乙所说为假.

【详解】解：（1）设事件A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”，

则

（2）设此次网络测试的成绩记为X，则

①由题知，因为，且

所以，而，

且

所以前400名的成绩的最低分高于分

而，所以甲同学能获得荣誉证书

②假设乙所说的为真，则

，

而，所以，从而，

而

答案示例1：可以认为乙同学信息为假，理由如下：

事件“”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假；

答案示例2：无法辨别乙同学信息真假，理由如下：

事件“”即“丙同学的成绩为430分”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假.

【点睛】本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合原则求概率值， 并由原则判断事件真伪，综合性强，属于难题.

22.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点.△ABF2的周长为，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）设点P为椭圆C下顶点，直线PA，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程.

【答案】（1）（2）x﹣y+1＝0

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的周长求得，结合椭圆离心率和求得的值，由此求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线的方程求得，通过直线的方程求得，由此求得的表达式并进行化简，对进行分类讨论，由此求得的最小值以及此时直线的方程.

【详解】（1）由题意可得：4a＝，，

∴a，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝1，

∴椭圆C的方程为：；

（2）点P（0，﹣1），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），

显然直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，则可知m≠﹣1，

联立方程，消去y得：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，

∴，，

直线PA的方程为：（y1+1）x﹣x1y﹣x1＝0，可得，

同理，

|MN|＝||＝3||＝3，

当m＝0时，|MN|＝6，

当m≠0时，|MN|＝，

由于m∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则，此时|MN|的最小值为6＜，在m＝1处取得，

综上所述，当|MN|最小时，直线AB的方程为：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0.

【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.