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2021年湖南省岳阳市中考数学真题试卷 (含解析)
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这是一份2021年湖南省岳阳市中考数学真题试卷 (含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．在实数，﹣1，0，2中，为负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．2
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2
4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：x2+2x+1＝ ．
10．（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 ．
11．（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
13．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
14．（4分）已知x+＝，则代数式x+﹣＝ ．
15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．
18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
19．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
20．（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分组
频数
频率
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝ ，b＝ ；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 °；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
21．（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
22．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 ，＝ ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：＝；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．在实数，﹣1，0，2中，为负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数．
【解答】解：在，﹣1，0，2这四个数中，负数是﹣1，
故选：B．
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2
【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．
【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，
根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，
根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，
（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，
故选：C．
4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
解不等式2x≥﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
故选：D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠ABC＝180°，进而可求出∠1．
【解答】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
【分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．
【解答】解：＝＝9.0,
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝0，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2,
故答案为：（x+1）2．
10．（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 5.5×107 ．
【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．
【解答】解：55000000＝5.5×107，
故答案为：5.5×107．
11．（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，
∴摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 9 ．
【分析】利用判别式的意义得到△＝62﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意，△＝62﹣4k＝0，
解得k＝9,
故答案为9．
13．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠1 ．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
14．（4分）已知x+＝，则代数式x+﹣＝ 0 ．
【分析】把x+的值代入计算即可．
【解答】解：∵x+＝，
∴x+﹣＝﹣＝0，
故答案为：0．
15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 （x﹣6.8）2+x2＝102 ．
【分析】设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，
依题意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 ②④⑤ .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；
③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则的长为＝，故③错误；
④易得△EDF∽△BEF，则＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
【解答】解：①∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BE＞BC，
∴AE＞BC，
故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＝∠CBD，
故②正确；
③连接OD，
若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，
∴的长为＝，故③错误；
④∵EF是⊙O的切线，
∴∠BEF＝90°，
又DE⊥AB，
∴∠EDF＝∠BEF＝90°，
∴△EDF∽△BEF，
∴＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，
∴BF＝10，
由①AE＝BE＝8，
∴∠A＝∠ABE，
又∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴BE：AC＝EF：BC＝6：8，
设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，
解得m＝1.28，
∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．
【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．
18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论．
【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
19．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为（a，0），根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A(1,2)代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数得解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
20．（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分组
频数
频率
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝ 0.2 ，b＝ 7 ；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 72 °；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值；
（2）根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；
（3）根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数．
（4）根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．
【解答】解：（1）本次调查的同学共有：8÷0.16＝50（人），
a＝10÷50＝0.2，
b＝50﹣﹣8﹣10﹣21＝7，
故答案为：0.2，7；
（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）600×＝144（人），
答：该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；
（4）按时入睡，保证睡眠时间．
21．（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
【分析】设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，根据时间＝路程÷速度，结合小明比妈妈多用1h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，
依题意得：﹣＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝48．
答：妈妈开车的平均速度为48km/h．
22．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【分析】（1）在RtABC中，根据AB的坡度求出AC，在RtBCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝BC，由线段的和差即可求得AE；
（2）在RtBCF中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出．
【解答】解：（1）在RtABC中，BC＝80，
∵AB的坡度i＝1：0.7，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝56，
在RtBCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80，
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）在RtBCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴≈0.6，
∴CF≈133.33，
∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），
答：河宽EF的长度约53.3m．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 ED＝BD ，＝ ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：＝；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC＝CD＝BD，根据旋转的性质可以得到CD＝DE，则DE＝BD；又在Rt△CGD中，含30°的直角三角形边之间的关系可得结论；
（2）①由∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，得CF＝CD＝ED，又CF∥DE，则四边形CDEF是菱形，又∠CDE＝90°，可得结论：菱形CDEF是正方形．
②由题意可得，∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，则△BEG∽△FHC，又DG＝BG，CD＝CF，所以＝＝＝．
（3）过点D作DN⊥BC于点N，由tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，得NG＝m，所以DG＝＝，又△BEG∽△FHC，DG＝BG，CD＝CF，所以＝＝＝．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝30°，△ABD是等边三角形，
∴∠DCB＝30°，
∵∠CDE＝α＝90°，
∴tan∠CGD＝tan60°＝＝，
∴＝．
∵线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，
∴ED＝CD＝BD，
故答案为：ED＝BD；．
（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD是等边三角形，AC＝2，
∴CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，
∴NG＝m，
∴DG＝＝，
∵∠ADC＝60°，∠ADG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝∠EBG＝30°+，
∴∠EBG＝，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM＝，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，即可求解；
（3）过点D作DK⊥QM于点K，则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，同理可得，QK＝1，则tan∠DQM＝，在△BOC中，tan∠CBO＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
即﹣4a＝2，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：0＝﹣k+3，解得k＝3，
故直线l的表达式为y＝3x+3，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），
由题意得，点Q、M关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝，
故点M的横坐标为3﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣2x，
设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，
∵1＜0，故C有最小值，
当x＝时，矩形周长最小值为；
（3）当x＝时，y＝﹣x2+x+2＝，即点Q的坐标为（，），
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，），
过点D作DK⊥QM于点K，
则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，
同理可得，QK＝1，
则tan∠DQM＝，
∵∠CBF＝∠DQM，
故tan∠CBF＝tan∠DQM＝，
在△BOC中，tan∠CBO＝＝，
故BF和BO重合，
故点F和点A重合，
即点F的坐标为（﹣1，0）．
2021年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．在实数，﹣1，0，2中，为负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．2
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2
4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：x2+2x+1＝ ．
10．（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 ．
11．（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
13．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
14．（4分）已知x+＝，则代数式x+﹣＝ ．
15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．
18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
19．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
20．（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分组
频数
频率
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝ ，b＝ ；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 °；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
21．（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
22．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 ，＝ ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：＝；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．在实数，﹣1，0，2中，为负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数．
【解答】解：在，﹣1，0，2这四个数中，负数是﹣1，
故选：B．
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2
【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．
【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，
根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，
根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，
（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，
故选：C．
4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
解不等式2x≥﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
故选：D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠ABC＝180°，进而可求出∠1．
【解答】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
【分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．
【解答】解：＝＝9.0,
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝0，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2,
故答案为：（x+1）2．
10．（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 5.5×107 ．
【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．
【解答】解：55000000＝5.5×107，
故答案为：5.5×107．
11．（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，
∴摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 9 ．
【分析】利用判别式的意义得到△＝62﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意，△＝62﹣4k＝0，
解得k＝9,
故答案为9．
13．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠1 ．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
14．（4分）已知x+＝，则代数式x+﹣＝ 0 ．
【分析】把x+的值代入计算即可．
【解答】解：∵x+＝，
∴x+﹣＝﹣＝0，
故答案为：0．
15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 （x﹣6.8）2+x2＝102 ．
【分析】设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，
依题意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 ②④⑤ .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；
③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则的长为＝，故③错误；
④易得△EDF∽△BEF，则＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
【解答】解：①∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BE＞BC，
∴AE＞BC，
故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＝∠CBD，
故②正确；
③连接OD，
若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，
∴的长为＝，故③错误；
④∵EF是⊙O的切线，
∴∠BEF＝90°，
又DE⊥AB，
∴∠EDF＝∠BEF＝90°，
∴△EDF∽△BEF，
∴＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，
∴BF＝10，
由①AE＝BE＝8，
∴∠A＝∠ABE，
又∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴BE：AC＝EF：BC＝6：8，
设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，
解得m＝1.28，
∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．
【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．
18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论．
【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
19．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为（a，0），根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A(1,2)代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数得解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
20．（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分组
频数
频率
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝ 0.2 ，b＝ 7 ；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 72 °；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值；
（2）根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；
（3）根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数．
（4）根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．
【解答】解：（1）本次调查的同学共有：8÷0.16＝50（人），
a＝10÷50＝0.2，
b＝50﹣﹣8﹣10﹣21＝7，
故答案为：0.2，7；
（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）600×＝144（人），
答：该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；
（4）按时入睡，保证睡眠时间．
21．（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
【分析】设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，根据时间＝路程÷速度，结合小明比妈妈多用1h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，
依题意得：﹣＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝48．
答：妈妈开车的平均速度为48km/h．
22．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【分析】（1）在RtABC中，根据AB的坡度求出AC，在RtBCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝BC，由线段的和差即可求得AE；
（2）在RtBCF中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出．
【解答】解：（1）在RtABC中，BC＝80，
∵AB的坡度i＝1：0.7，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝56，
在RtBCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80，
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）在RtBCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴≈0.6，
∴CF≈133.33，
∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），
答：河宽EF的长度约53.3m．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 ED＝BD ，＝ ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：＝；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC＝CD＝BD，根据旋转的性质可以得到CD＝DE，则DE＝BD；又在Rt△CGD中，含30°的直角三角形边之间的关系可得结论；
（2）①由∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，得CF＝CD＝ED，又CF∥DE，则四边形CDEF是菱形，又∠CDE＝90°，可得结论：菱形CDEF是正方形．
②由题意可得，∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，则△BEG∽△FHC，又DG＝BG，CD＝CF，所以＝＝＝．
（3）过点D作DN⊥BC于点N，由tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，得NG＝m，所以DG＝＝，又△BEG∽△FHC，DG＝BG，CD＝CF，所以＝＝＝．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝30°，△ABD是等边三角形，
∴∠DCB＝30°，
∵∠CDE＝α＝90°，
∴tan∠CGD＝tan60°＝＝，
∴＝．
∵线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，
∴ED＝CD＝BD，
故答案为：ED＝BD；．
（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD是等边三角形，AC＝2，
∴CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，
∴NG＝m，
∴DG＝＝，
∵∠ADC＝60°，∠ADG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝∠EBG＝30°+，
∴∠EBG＝，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM＝，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，即可求解；
（3）过点D作DK⊥QM于点K，则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，同理可得，QK＝1，则tan∠DQM＝，在△BOC中，tan∠CBO＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
即﹣4a＝2，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：0＝﹣k+3，解得k＝3，
故直线l的表达式为y＝3x+3，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），
由题意得，点Q、M关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝，
故点M的横坐标为3﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣2x，
设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，
∵1＜0，故C有最小值，
当x＝时，矩形周长最小值为；
（3）当x＝时，y＝﹣x2+x+2＝，即点Q的坐标为（，），
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，），
过点D作DK⊥QM于点K，
则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，
同理可得，QK＝1，
则tan∠DQM＝，
∵∠CBF＝∠DQM，
故tan∠CBF＝tan∠DQM＝，
在△BOC中，tan∠CBO＝＝，
故BF和BO重合，
故点F和点A重合，
即点F的坐标为（﹣1，0）．
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