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2021年山东省日照市中考数学真题 含解析
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这是一份2021年山东省日照市中考数学真题 含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。
1．在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0
2．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣1，4） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2）
3．实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣6米 B．1.2×10﹣7米 C．1.2×10﹣8米 D．120×10﹣9米
4．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
5．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）2＝xy4
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2
6．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
7．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
8．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。
13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ．
14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，△ABP与△PCQ全等．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 ．
三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
18．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
21．（14分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 ．
22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．
2021年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。
1．在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0
【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【解答】解：∵正数大于负数，负数小于0，正数大于负数，
∴＞＞0＞﹣2，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣1，4） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2）
【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【解答】解：根据题意，从点P到点P′，点P′的纵坐标不变，横坐标是﹣3+2＝﹣1，
故点P′的坐标是（﹣1，2）．
故选：D．
3．实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣6米 B．1.2×10﹣7米 C．1.2×10﹣8米 D．120×10﹣9米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：120纳米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米．
故选：B．
4．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝186.9，S乙2＝325.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）2＝xy4
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【解答】解：A．由合并同类项的法则，得x2+x2＝2x2，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）2＝x2y4，故B不符合题意．
C．由同底数幂的除法，得y6÷y2＝y4，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy，故D符合题意．
故选：D．
6．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有5个，右侧有3个．根据三视图的思路可解答该题．
【解答】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有5个，右侧有3个；而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，
故选：B．
7．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+6＜4x﹣3，得：x＞3，
∵x＞m且不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故选：C．
8．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；
②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天下雨可能性很大，但确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，正确，是真命题，符合题意；
真命题有2个，
故选：C．
9．如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点Q的位置，分点Q在AD上和点Q在弧BD上两种情况讨论，分别写出y和x的函数解析式，即可确定函数图象．
【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0≤x≤1，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
∴y＝，
该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；
当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，
设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，
∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，
当θ°＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，
y＝+﹣（﹣）＝≈1.15，
当θ°＝30°时，AP＝x＝1.86，S弓形QBF＝﹣＝﹣，
y＝+﹣（﹣）＝≈1.45，
在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．
故选：D．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝xm，CF＝xm，根据勾股定理得到CD＝＝2x＝20（m），求得BH＝DF＝10m，CF＝10m，AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），于是得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．
11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
【解答】解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确．
②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，
当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，
∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，
故②正确．
③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2|，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
12．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出m的所有可能的取值．
【解答】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第4项一定是2，
则变换中的第3项一定是4，
则变换中的第2项可能是1，也可能是8，
则变换中的第1项可能是2，也可能是16．
则m的所有可能取值为2或16，一共2个，
故选：D．
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。
13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1≥0且x≠0，再得出答案即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ﹣2 ．
【分析】根据方程的解的概念，将x＝a代入原方程，然后利用等式的性质求解．
【解答】解：由题意可得x＝a（a≠0），
把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，
等式左右两边同时除以a，可得：a+b+2＝0，
即a+b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 2或 时，△ABP与△PCQ全等．
【分析】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 48． ．
【分析】过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，设A′（m，n），OF＝m，A′F＝n，通过证得△A′OF∽△DA′E，得到＝＝3，解方程组求得m、n的值，即可得到A′的坐标，代入y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D＝90°，
∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，
∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，
∴∠DA′E＝∠A′OF，
∵∠A′FO＝∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴＝＝，
设A′（m，n），
∴OF＝m，A′F＝n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴DE＝m﹣，A′E＝10﹣n，
∴＝＝3，
解得m＝6，n＝8，
∴A′（6，8），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，
∴k＝6×8＝48，
故答案为48．
三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m和n的值；
（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：（1）由题意可得，
②﹣①×3，可得：﹣5n＝5，
解得：n＝﹣1，
把n＝﹣1代入①，可得：m﹣（﹣1）＝3，
解得：m＝2，
∴m的值为2，n的值为﹣1；
（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）
＝•（x+1）（x﹣1）
＝x2+1，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+1＝2﹣2+1+1＝4﹣2．
18．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 4 ，c＝ 94.5 ，d＝ 95 ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式得到a、b的值，根据中位数的定义确定c的值，根据众数的定义确定d的值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝94.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，94.5，95；
（2）200×＝80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝10x+100；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
【分析】（1）利用弧相等，圆周角定理推出△ADE∽△AGD，可求AD的长度进而求AC的长度；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得．
【解答】解：∵DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
∵＝
∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，
又∵∠DAE＝∠GAD＝90°
∴△ADE∽△AGD
∴
∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
（2）DE＝＝6，
∵▱OABC是平行四边形
∴OB＝2OD＝DE＝6，
∴▱OABC为矩形．
21．（14分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 30° ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 或 ．
【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得＝，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得＝，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝＝＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：＝，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
故答案为：或．
22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，则△PEH∽△OEC，进而可得k＝PH，再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），从而得出k＝（t﹣）2+，再利用二次函数性质即可得出答案；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，利用配方法求得抛物线对称轴为直线x＝1，得出Q（1，0），运用勾股定理即可求得△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；再证明△BQT是等腰直角三角形，利用三角函数求得QT，DT，即可求得答案；
②设M（0，﹣m），则OM＝m，根据QT2+MT2＝MQ2，求得QT、MT，再利用cos∠QBT＝cos∠MBO，求得BT，根据BT+MT＝BM，可得+＝，化简得m2﹣2tm+3＝0，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②设M（0，﹣m），则OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t•QT，
∵QT2+MT2＝MQ2，
∴QT2+（t•QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）2＝4t2m2，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，
当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
2021年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。
1．在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0
2．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣1，4） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2）
3．实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣6米 B．1.2×10﹣7米 C．1.2×10﹣8米 D．120×10﹣9米
4．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
5．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）2＝xy4
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2
6．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
7．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
8．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。
13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ．
14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，△ABP与△PCQ全等．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 ．
三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
18．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
21．（14分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 ．
22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．
2021年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。
1．在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0
【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【解答】解：∵正数大于负数，负数小于0，正数大于负数，
∴＞＞0＞﹣2，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣1，4） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2）
【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【解答】解：根据题意，从点P到点P′，点P′的纵坐标不变，横坐标是﹣3+2＝﹣1，
故点P′的坐标是（﹣1，2）．
故选：D．
3．实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣6米 B．1.2×10﹣7米 C．1.2×10﹣8米 D．120×10﹣9米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：120纳米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米．
故选：B．
4．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝186.9，S乙2＝325.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）2＝xy4
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【解答】解：A．由合并同类项的法则，得x2+x2＝2x2，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）2＝x2y4，故B不符合题意．
C．由同底数幂的除法，得y6÷y2＝y4，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy，故D符合题意．
故选：D．
6．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有5个，右侧有3个．根据三视图的思路可解答该题．
【解答】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有5个，右侧有3个；而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，
故选：B．
7．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+6＜4x﹣3，得：x＞3，
∵x＞m且不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故选：C．
8．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；
②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天下雨可能性很大，但确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，正确，是真命题，符合题意；
真命题有2个，
故选：C．
9．如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点Q的位置，分点Q在AD上和点Q在弧BD上两种情况讨论，分别写出y和x的函数解析式，即可确定函数图象．
【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0≤x≤1，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
∴y＝，
该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；
当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，
设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，
∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，
当θ°＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，
y＝+﹣（﹣）＝≈1.15，
当θ°＝30°时，AP＝x＝1.86，S弓形QBF＝﹣＝﹣，
y＝+﹣（﹣）＝≈1.45，
在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．
故选：D．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝xm，CF＝xm，根据勾股定理得到CD＝＝2x＝20（m），求得BH＝DF＝10m，CF＝10m，AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），于是得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．
11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
【解答】解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确．
②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，
当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，
∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，
故②正确．
③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2|，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
12．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出m的所有可能的取值．
【解答】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第4项一定是2，
则变换中的第3项一定是4，
则变换中的第2项可能是1，也可能是8，
则变换中的第1项可能是2，也可能是16．
则m的所有可能取值为2或16，一共2个，
故选：D．
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。
13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1≥0且x≠0，再得出答案即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ﹣2 ．
【分析】根据方程的解的概念，将x＝a代入原方程，然后利用等式的性质求解．
【解答】解：由题意可得x＝a（a≠0），
把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，
等式左右两边同时除以a，可得：a+b+2＝0，
即a+b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 2或 时，△ABP与△PCQ全等．
【分析】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 48． ．
【分析】过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，设A′（m，n），OF＝m，A′F＝n，通过证得△A′OF∽△DA′E，得到＝＝3，解方程组求得m、n的值，即可得到A′的坐标，代入y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D＝90°，
∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，
∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，
∴∠DA′E＝∠A′OF，
∵∠A′FO＝∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴＝＝，
设A′（m，n），
∴OF＝m，A′F＝n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴DE＝m﹣，A′E＝10﹣n，
∴＝＝3，
解得m＝6，n＝8，
∴A′（6，8），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，
∴k＝6×8＝48，
故答案为48．
三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m和n的值；
（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：（1）由题意可得，
②﹣①×3，可得：﹣5n＝5，
解得：n＝﹣1，
把n＝﹣1代入①，可得：m﹣（﹣1）＝3，
解得：m＝2，
∴m的值为2，n的值为﹣1；
（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）
＝•（x+1）（x﹣1）
＝x2+1，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+1＝2﹣2+1+1＝4﹣2．
18．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 4 ，c＝ 94.5 ，d＝ 95 ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式得到a、b的值，根据中位数的定义确定c的值，根据众数的定义确定d的值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝94.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，94.5，95；
（2）200×＝80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝10x+100；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
【分析】（1）利用弧相等，圆周角定理推出△ADE∽△AGD，可求AD的长度进而求AC的长度；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得．
【解答】解：∵DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
∵＝
∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，
又∵∠DAE＝∠GAD＝90°
∴△ADE∽△AGD
∴
∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
（2）DE＝＝6，
∵▱OABC是平行四边形
∴OB＝2OD＝DE＝6，
∴▱OABC为矩形．
21．（14分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 30° ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 或 ．
【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得＝，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得＝，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝＝＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：＝，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
故答案为：或．
22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，则△PEH∽△OEC，进而可得k＝PH，再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），从而得出k＝（t﹣）2+，再利用二次函数性质即可得出答案；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，利用配方法求得抛物线对称轴为直线x＝1，得出Q（1，0），运用勾股定理即可求得△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；再证明△BQT是等腰直角三角形，利用三角函数求得QT，DT，即可求得答案；
②设M（0，﹣m），则OM＝m，根据QT2+MT2＝MQ2，求得QT、MT，再利用cos∠QBT＝cos∠MBO，求得BT，根据BT+MT＝BM，可得+＝，化简得m2﹣2tm+3＝0，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②设M（0，﹣m），则OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t•QT，
∵QT2+MT2＝MQ2，
∴QT2+（t•QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）2＝4t2m2，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，
当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
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