第三讲.线面垂直的判定与性质练习题

这是一份第三讲.线面垂直的判定与性质练习题，共23页。试卷主要包含了线线垂直，线面垂直，面面垂直等内容，欢迎下载使用。
第三讲. 线面垂直，面面垂直的判定与性质
例题讲解
一、线线垂直：
如果两条直线 于一点或经过 后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.
二、线面垂直：
1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并 且和这个
平面内的_________________，则称这条直线和这个平
面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面
α互相垂直，记作l⊥α.
2.判定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面.
推论②：如果两条直线 同一个平面，那么这两条直线平行.
3.点到平面的距离： 长度叫做点到平面的距离.
三、面面垂直：
1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作
α⊥β.
2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.
3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面.

题型一 线线垂直、线面垂直的判定及性质
例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.


【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．
（Ⅰ ） 求证：B1D1⊥AE；
（Ⅱ ） 求证：AC∥平面B1DE．



【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．
（Ⅰ ）证明：EA⊥ PB；
（Ⅱ ）证明：BG∥ 面AFC．



【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．
（1）证明：AA1⊥ BD
（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．

【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
侧棱AA1⊥ 底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，
点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥平面BCC1B1
（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；
（3）证明：B1E⊥AF．

【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥ 平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB
（1）求证：PC⊥ BC；
（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？
若存在，求AM的长；否则，说明理由．

【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．
（Ⅰ ）求证：A1B⊥AC1
（Ⅱ ）在直线CC1上是否存在一点E，
使得A1E⊥平面A1BD，若存在，
试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥ BC1；
（2）求证：AC1∥ 平面CDB1．









．【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．
（1）证明：CD⊥ B1C1；
（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，
求这两部分体积的比．


【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．
（1）求证：D1E⊥A1C1；
（2）在棱B1C1上确定一点F，
使A、E、F、D1四点共面，
并求此时B1F的长；
（3）求几何体ABED1D的体积．
题型二 面面垂直的判定
例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，
D、E分别是BC、CA的中点.
（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；
（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由.

【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，
G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
证明：平面AEC⊥平面BED.




【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，
AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC
，求证：平面BCD⊥平面EGH．

【变式3】如图所示，已知AB⊥ 平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
求证：平面BCD⊥平面ABC．





【变式4】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；

（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．



【变式5】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此多面体的体积．
【变式6】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．




【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，
使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，
并进行证明；若无，请分析说明理由．


题型三：面面垂直性质应用
例3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB.


【变式1】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，
求三棱锥M﹣EFG的体积．




【变式2】 已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB＝60°，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你的结论．



题型四 求点面的距离
例4.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ ）求证：AE⊥ PC；
（Ⅱ ）求点A到平面PBD的距离．



练习
1. 对于任意的直线l与平面，在平面必有直线m与l （ ）
A. 平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线
2.若平面⊥平面，，点，则下列命题中的真命题有 （ ）
①过P垂直于l的平面垂直于； ②过P垂直于l的直线在内；
③过P垂直于的直线平行于； ④过P垂直于的直线在内.
A.①②④ B.③④ C.①②③ D.②③④
3.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，那么有（）
A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面BDC
4.若 m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m ⊂β, α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m ,β∩γ=n ，m∥n, 则α∥β
C. 若m⊥β,m∥α,则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
6.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，
侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有 对.
7.三个平面两两互相垂直，它们的交线交于一点O，P到三个平面的距离
分别是3，4，5，则OP的长为____________________.
8. 已知空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点.
求证：(1) 平面ABE⊥平面BCD；
B
C
D
A
E
(2) 若F是AB的中点，BC=AD,且AB=8，AE=10，求EF的长.







9.直角三角形ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.
D
S
C
B
A
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC.


10. 在正方体中，M为棱的中点，AC交BD于O，
求证：平面BDM.



11. 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，分别为的中点 .
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.













参考答案
例1.

变式1.【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．
∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，
∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC
又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴ 平面ACF∥平面B1DE． 又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．
变式2.【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，
又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．
而AB∩PA=A
所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．
（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．
连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，
所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．
而BM∩MG=M
所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．
变式3.　【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴ BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，
∴ BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．
（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴ 四边形A1B1CD是平行四边形，
∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴ 平面A1BD∥平面CD1B1．

（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，
在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，
∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=
∴ 三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．
变式4.【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，
∴ AE⊥ BC．
在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，
∴ BB1⊥ 平面ABC，
∵ AE⊂平面ABC，
∴ BB1⊥ AE，…．（2分）
又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）
BB1，BC⊂平面BB1C1C，
∴ AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）
（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…
在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）
∴=•AE==…（7分）
（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）
又∵ AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）
∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）
变式5.【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴ PC⊥BC．（2）∵ BC⊥平面PCD，
∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵ E是PC的中点，
∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．VC﹣DEG=VG﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．
（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，
∴PA∥平面MEG．
在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．
∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
变式6【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1
∵ BB1⊥平面A1B1C1
∴ B1C1⊥BB1
∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1
∴ B1C1⊥平面A1B1BA
∴ A1B⊥B1C1 .
又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1
∴A1B⊥平面AB1C1 ∴A1B⊥AC1
（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴ ，∴ ，，DE=，∴ ，∴A1E⊥A1D…
∵ BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴ BD⊥平面ACC1A1 ， 又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD
变式7.【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以C1C⊥ 平面ABC，所以C1C⊥AC．
又因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC．
又C1C∩BC=C，所以AC⊥ 平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．
（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1
变式8.【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，
由D为AA1的中点，则DC=DC1，
又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，
则CD⊥ DC1，
而CD⊥ B1D，B1D∩DC1=D，
则CD⊥ 平面B1C1D，
由于B1C1⊂平面B1C1D，
故CD⊥ B1C1；
（2）解：由（1）知，CD⊥B1C1，
且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，
V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=VB1﹣CDA1C1=SCDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13，
V=VABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，
故这两部分体积的比为1：1．
变式9.【解答】（Ⅰ）证明：连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正方形，
所以A1C1⊥B1D1．
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
又A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．
因为DD1∩B1D1=D1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．
又D1E⊂平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）
（Ⅱ）解：连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．
因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．
所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以．…（8分）
（Ⅲ）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．
因为==，点A到平面BED1D的距离h=，
所以几何体ABED1D的体积为：=．…（13分）
. 例2.

变式1.【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；
变式2.【解答】在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．
变式3.【解答】因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥CD．
又CD⊥BC，AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC．
又CD⊂平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ABC．
变式4.【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD…（3分）
又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD
∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）
（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，
∴CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，
∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形
∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）
因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=×S△EFG×=．…（12分）
变式5.【解答】证明：（1）取CE中点P，连接FP、BP，∵PF∥DE，且FP=1又AB∥DE，且AB=1，
∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（4分）
（2）证明：∵AD=AC，F是CD的中点，．所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.
又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE
又∵BP平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE.
（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）
变式6.【解答】（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．
连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．
∵====，∴V三棱柱=2．
变式7.【解答】（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．
连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．
∵====，∴V三棱柱=2．
变式7.【解答】（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；
∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；
又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PDE；
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE；
（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；
∵DC=2AB；∴；∴；
∴在PC上取F，使；连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；
∴PA∥平面BDF．
例3.

变式1.【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD。又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD. ∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD。
（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，
取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH
于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形，∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，
因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=×S△EFG×=．
变式2.[解析]　(1)证明：连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥AD.
又△PAD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.
∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.
(2)当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.
∴平面DEF∥平面PGB.∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.
又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.
例4.【解答】（Ⅰ）证明：∵ AP=AB，E是PB的中点，∴ AE⊥ PB，∵PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥ BC，∵AB⊥ BC且PA∩AB=A∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥ BC，∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∴ AE⊥ PC．…（6分）
（Ⅱ）解：设点A到平面PBD的距离为d，利用体积法，，∴点A到平面PBD的距离为．