专题25 面积与数量积型取值范围模型(解析版)

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[例1] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
[规范解答] (1)∵双曲线的离心率为eq \f(2\r(3),3)，∴椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2，0)，即a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－1,1＋4k2)，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(k2x1x2＋kmx1＋x2＋m2,x1x2)＝k2，
则－eq \f(8k2m2,1＋4k2)＋m2＝0，由m≠0得k2＝eq \f(1,4)，解得k＝±eq \f(1,2)．
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，
显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．
设原点O到直线的距离为d，则
S△OMN＝eq \f(1,2)|MN|d＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋k2)·|x1－x2|·eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)|m|eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(－m2－12＋1)．
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)．
[例2] (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
[规范解答] (1)设P(x0，y0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)y\\al(2,1)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)y\\al(2,2)，y2))．
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y＋y0,2)))2＝4·eq \f(\f(1,4)y2＋x0,2)，
即y2－2y0y＋8x0－yeq \\al(2,0)＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．
(2)由(1)可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y\\al(2,0)，))所以|PM|＝eq \f(1,8)(yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2))－x0＝eq \f(3,4)yeq \\al(2,0)－3x0，|y1－y2|＝2eq \r(2y\\al(2,0)－4x0)．
所以△PAB的面积S△PAB＝eq \f(1,2)|PM|·|y1－y2|＝eq \f(3\r(2),4)(yeq \\al(2,0)－4x0)eq \f(3,2)，．
因为xeq \\al(2,0)＋eq \f(y\\al(2,0),4)＝1(－1≤x0<0)，所以yeq \\al(2,0)－4x0＝－4xeq \\al(2,0)－4x0＋4∈[4，5]，
所以△PAB面积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\r(2)，\f(15\r(10),4)))．
[例3] 已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点．
(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的取值范围．
[规范解答] (1)由题意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋a，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋a，\r(p2＋2pa)))，
又a＝p，所以kCD＝eq \f(\r(3)p－p,\f(3p,2)－\f(p,2))＝eq \r(3)－1．
(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px，))得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb又y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝eq \f(2pb,k)，由y1＋y2＝eq \f(2p,k)>0，y1y2＝eq \f(2pb,k)>0，
可知k>0，b>0，因为|CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝aeq \r(1＋k2)，
点O到直线CD的距离d＝eq \f(|b|,\r(1＋k2))，
所以S1＝eq \f(1,2)·aeq \r(1＋k2)·eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)ab．又S2＝eq \f(1,2)(y1＋y2)·|x1－x2|＝eq \f(1,2)·eq \f(2p,k)·a＝eq \f(ap,k)，
所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(kb,2p)，因为0[例4] 如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为eq \f(1,2)的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P且斜率大于eq \f(1,2)的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|＞|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．
[规范解答] (1)因为BF1⊥x轴，所以点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(b2,a)))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,\f(b2,aa＋c)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，,c＝1，))
所以椭圆C的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)因为eq \f(S△PAM,S△PBN)＝eq \f(\f(1,2)|PA|·|PM|·sin∠APM,\f(1,2)|PB|·|PN|·sin∠BPN)＝eq \f(2·|PM|,1·|PN|)＝λ⇒eq \f(|PM|,|PN|)＝eq \f(λ,2)(λ＞2)，所以eq \(PM,\s\up7(→))＝－eq \f(λ,2)eq \(PN,\s\up7(→))．
由(1)可知P(0，－1)，设直线MN的方程为y＝kx－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＞\f(1,2)))，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))化简得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0．得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(8k,4k2＋3)，,x1·x2＝\f(－8,4k2＋3).))(*)
又eq \(PM,\s\up7(→))＝(x1，y1＋1)，eq \(PN,\s\up7(→))＝(x2，y2＋1)，有x1＝－eq \f(λ,2)x2，将x1＝－eq \f(λ,2)x2代入(*)可得，eq \f((2－λ)2,λ)＝eq \f(16k2,4k2＋3)．
因为k＞eq \f(1,2)，所以eq \f(16k2,4k2＋3)＝eq \f(16,\f(3,k2)＋4)∈(1，4)，则1＜eq \f((2－λ)2,λ)＜4且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2eq \r(3)．
综上所述，实数λ的取值范围为(4，4＋2eq \r(3))．
[例5] (2016·全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
[规范解答] (1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC．
所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|．
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4．
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq \f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq \f(4k2－12,4k2＋3)，
所以|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(12(k2＋1),4k2＋3)．
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－eq \f(1,k)(x－1)，A到m的距离为eq \f(2,\r(k2＋1))，
所以|PQ|＝2eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(k2＋1))))\s\up12(2))＝4eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))．
故四边形MPNQ的面积S＝eq \f(1,2)|MN||PQ|＝12eq \r(1＋\f(1,4k2＋3))．
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8eq \r(3))．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8eq \r(3))．
[例6] 已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))的取值范围．
[规范解答] (1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝16，所以圆心为H(－1，0)，半径为4．
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|，
所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4．
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以a2＝4，c2＝1，b2＝3，所求曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)由直线EF与直线PQ垂直，可得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AQ,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，
于是eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))＝(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))·(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AQ,\s\up6(→)))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))．
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，
此时可不妨取Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，E(2，0)，F(－2，0)，
所以eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))＝－3－eq \f(9,4)＝－eq \f(21,4)．
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))＝－eq \f(21,4)．
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为
y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(xP－1，yP)，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(xQ－1，yQ)，
则直线EF的方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)．
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
所以xP＋xQ＝eq \f(8k2,3＋4k2)，xP·xQ＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)．
于是eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))＝(xP－1)(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xPxQ－(xP＋xQ)＋1]
＝(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k2－12,3＋4k2)－\f(8k2,3＋4k2)＋1))＝－eq \f(91＋k2,3＋4k2)．
将上面的k换成－eq \f(1,k)，可得eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \f(91＋k2,4＋3k2)，
所以eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))＝－9(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3＋4k2)＋\f(1,4＋3k2)))．
令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得，
eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))＝－9teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4t－1)＋\f(1,3t＋1)))＝－eq \f(63t2,12t2＋t－1)＝－eq \f(63,\f(49,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(1,2)))2)．
由t>1，得0综合①②③可知，eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(QF,\s\up6(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，－\f(36,7)))．
[例7] 已知椭圆C1：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是(eq \r(2)，－2)．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))的取值范围．
[规范解答] (1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以－eq \f(p,2)＝－2，即p＝4，
所以抛物线C2的方程为x2＝8y．
椭圆C1：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)，所以c＝2．
2a＝eq \r(2＋0)＋eq \r(2＋2＋22)＝4eq \r(2)，
解得a＝2eq \r(2)，则b＝2，所以椭圆C1的方程为eq \f(y2,8)＋eq \f(x2,4)＝1．
(2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，
抛物线方程可化为y＝eq \f(1,8)x2，求导得y′＝eq \f(1,4)x，所以AP的方程为y－y1＝eq \f(1,4)x1(x－x1)，
将P(t，－2)代入，得－2－y1＝eq \f(1,4)x1t－2y1，即y1＝eq \f(1,4)tx1＋2．
同理，BP的方程为y2＝eq \f(1,4)tx2＋2，所以直线AB的方程为y＝eq \f(1,4)tx＋2．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,4)tx＋2，,\f(y2,8)＋\f(x2,4)＝1))消去y，整理得(t2＋32)x2＋16tx－64＝0，
则Δ＝256t2＋256(t2＋32)＞0，且x3＋x4＝eq \f(－16t,t2＋32)，x3x4＝eq \f(－64,t2＋32)．
所以eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝x3x4＋y3y4＝(1＋eq \f(t2,16))x3x4＋eq \f(t,2)(x3＋x4)＋4＝eq \f(－8t2＋64,t2＋32)＝eq \f(320,t2＋32)－8．
因为0＜eq \f(320,t2＋32)≤10，所以eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))的取值范围是(－8，2]．
[例8] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－eq \f(3,4)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＋eq \(MP,\s\up7(→))·eq \(MQ,\s\up7(→))的取值范围．
[规范解答] (1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝eq \f(y,x＋4)，k2＝eq \f(y,x－4)，
由k1k2＝－eq \f(3,4)，得eq \f(y,x＋4)·eq \f(y,x－4)＝－eq \f(3,4)，整理得eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,y＝kx＋2))消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0．
所以x1＋x2＝－eq \f(16k,4k2＋3)，x1x2＝－eq \f(32,4k2＋3)．
从而，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＋eq \(MP,\s\up7(→))·eq \(MQ,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝eq \f(－80k2－52,4k2＋3)＝－20＋eq \f(8,4k2＋3)，所以－20＜eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＋eq \(MP,\s\up7(→))·eq \(MQ,\s\up7(→)) ≤－eq \f(52,3)．
当直线PQ的斜率不存在时，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＋eq \(MP,\s\up7(→))·eq \(MQ,\s\up7(→))的值为－20．
综上，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＋eq \(MP,\s\up7(→))·eq \(MQ,\s\up7(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－20，－\f(52,3)))．
【对点训练】
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m>0)在抛物线C上，且|FA|＝2，
过点F作斜率为keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤k≤2))的直线l与抛物线C交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△APQ面积的取值范围．
1．解析 (1)由抛物线的定义可得|FA|＝xA＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(p,2)＝2，所以p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0恒成立，
由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，因为AF⊥x轴，
则S△APQ＝eq \f(1,2)×|AF|×|x1－x2|＝|x1－x2|＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝4eq \r(\f(k2＋1,k4))＝4eq \r(\f(1,k2)＋\f(1,k4))，
因为eq \f(1,2)≤k≤2，令t＝eq \f(1,k2)，所以S△APQ＝4eq \r(t2＋t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)≤t≤4))，所以eq \r(5)≤S△APQ≤8eq \r(5)，
所以△APQ的面积的取值范围为[eq \r(5)，8eq \r(5)]．
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为
eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
2．解析 (1)设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由条件知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝4，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2，))
解得a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，故椭圆C的方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋1))得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－eq \f(2k,k2＋4)，x1x2＝－eq \f(3,k2＋4)，设△OAB的面积为S，
由x1x2＝－eq \f(3,k2＋4)<0，知S＝eq \f(1,2)×1×|x1－x2|＝eq \f(1,2)eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝2eq \r(\f(k2＋3,(k2＋4)2))，
令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2eq \r(\f(1,t＋\f(1,t)＋2))．
对函数y＝t＋eq \f(1,t)(t≥3)，知y′＝1－eq \f(1,t2)＝eq \f(t2－1,t2)>0，
∴y＝t＋eq \f(1,t)在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋eq \f(1,t)≥eq \f(10,3)，∴0故△OAB面积的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))．
3．已知M(－1，0)，F(1，0)，|eq \(MR,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，eq \(FR,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))，eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(MR,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq \(PQ,\s\up7(→))·eq \(FR,\s\up7(→))＝0．
(1)当R在该坐标平面上运动时，求点P运动的轨迹C的方程；
(2)经过点H(2，0)作不过F点且斜率存在的直线l，若直线l与轨迹C相交于A，B两点．
①探究：直线FA，FB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求△FAB面积的取值范围．
3．解析 (1)由|eq \(MR,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)知，点R在以M(－1，0)为圆心，以2eq \r(2)为半径的圆周上运动．
由eq \(FR,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))知，Q为FR的中点，又eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(MR,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq \(PQ,\s\up7(→))·eq \(FR,\s\up7(→))＝0，
得点P为线段FR的中垂线与MR的交点，所以|PF|＝|PR|，所以|PM|＋|PF|＝2eq \r(2)(定值)，
因此点P的轨迹C是以M，F为焦点的椭圆，由a＝eq \r(2)，c＝1，得b＝1，
所以轨迹C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)①由已知，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
直线l与椭圆C的交点A，B分别设为A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx－2，))
化简得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，则x1＋x2＝eq \f(8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(8k2－2,1＋2k2)，
又直线FA，FB的斜率之和为eq \f(y1,x1－1)＋eq \f(y2,x2－1)＝eq \f(kx1－2,x1－1)＋eq \f(kx2－2,x2－1)＝eq \f(2kx1x2－3kx1＋x2＋4k,x1x2－x1＋x2＋1)，
又2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝2k·eq \f(8k2－2,1＋2k2)－eq \f(24k3,1＋2k2)＋4k＝eq \f(16k3－4k－24k3＋4k＋8k3,1＋2k2)＝0(定值)，
所以eq \f(y1,x1－1)＋eq \f(y2,x2－1)＝0，即直线FA，FB的斜率之和为定值0．
②由①得Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＝8－16k2，由Δ＞0，得k2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
因为|AB|＝|x1－x2|eq \r(1＋k2)＝eq \r([x1＋x22－4x1x2]1＋k2)＝eq \f(\r(8－16k2),1＋2k2)·eq \r(1＋k2)，
又点F到直线l的距离d＝eq \f(|k|,\r(k2＋1))，
所以S△FAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(\r(2－4k2)·|k|,1＋2k2)＝eq \r(\f(6k2＋1,2k2＋12)－1)，
令t＝2k2＋1∈(1，2)，φ(t)＝eq \f(3t－2,t2)＝eq \f(9,8)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(3,4)))2，
因为eq \f(1,t)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所以φ(t)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(9,8)))，所以S△FAB＝eq \r(φt－1)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),4)))，
当且仅当t＝eq \f(4,3)，即k＝±eq \f(\r(6),6)时，S△FAB取到最大值eq \f(\r(2),4)．
所以△FAB面积的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),4)))．
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝kx－4(1而上)，记△PAF，△PBF的面积分别为S1，S2．
(1)求AB中点M到y轴的距离d的取值范围；
(2)求eq \f(S1,S2)的取值范围．
4．解析 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,y2＝4x，))消去y，得k2x2－(8k＋4)x＋16＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(8k＋4,k2)，x1x2＝eq \f(16,k2)，所以d＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(4,k)＋eq \f(2,k2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)＋1))2－2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，6))．
(2)由于eq \f(S1,S2)＝eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(x1,x2)．由(1)可知eq \f(S1,S2)＋eq \f(S2,S1)＝eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,x1x2)
＝eq \f(k2,16)·eq \f(8k＋42,k4)－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)＋2))2－2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,4)，7))．
由eq \f(S1,S2)＋eq \f(S2,S1)>eq \f(17,4)，得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S1,S2)))2－17·eq \f(S1,S2)＋4>0，解得eq \f(S1,S2)>4或eq \f(S1,S2)因为0因此eq \f(7－3\r(5),2)5．在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为M．已知点N(1，0)，且T为圆M上的动点，
线段TN的垂直平分线交TM于点P．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线C1，抛物线C2：y2＝2px的焦点为N．l1，l2是过点N互相垂直的两条直线，直线l1与曲线C1交于A，C两点，直线l2与曲线C2交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．
5．解析 (1)∵P为线段TN垂直平分线上一点，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PT|＝|TM|＝4，
∵M(－1，0)，N(1，0)，∵4>|MN|＝2，
∴P的轨迹是以M(－1，0)，N(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)∵y2＝2px的焦点为(1，0)，C2的方程为y2＝4x，
当直线l1斜率不存在时，l2与C2只有一个交点，不合题意．
当直线l1斜率为0时，可求得|AC|＝4，|BD|＝4，∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)·|AC|·|BD|＝8．
当直线l1斜率存在且不为0时，
方程可设为y＝k(x－1)(k≠0)，代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝144(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，
|AC|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(121＋k2,3＋4k2)．
直线l2的方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)与y2＝4x联立可得x2－(2＋4k2)x＋1＝0，
设B(x3，y3)，D(x4，y4)，则|BD|＝x3＋x4＋2＝4＋4k2，
∴四边形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)|AC||BD|＝eq \f(1,2)(4＋4k2)·eq \f(121＋k2,3＋4k2)＝eq \f(241＋k22,3＋4k2)．
令3＋4k2＝t，则k2＝eq \f(t－3,4)(t>3)，S(t)＝eq \f(24\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(t－3,4)))2,t)＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)＋2))，
∴S(t)在(3，＋∞)是增函数，S(t)>S(3)＝8，
综上，四边形ABCD面积的取值范围是[8，＋∞)．
6．已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为
2eq \r(2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))的取值范围．
6．解析 (1)由条件知eq \f(4,3a2)＋eq \f(1,3b2)＝1，2a＝2eq \r(2)，所以a＝eq \r(2)，b＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在线段OM上．
因为kOM＝eq \f(1,2)，所以x1＋x2＝2(y1＋y2)．
eq \f(x\\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,2),2)＋yeq \\al(2,2)＝1，两式相减得eq \f((x1－x2)(x1＋x2),2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
易知x1－x2≠0，y1＋y2≠0，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,2(y1＋y2))＝－1，即kAB＝－1．
设直线AB的方程为y＝－x＋m，代入eq \f(x2,2)＋y2＝1并整理得3x2－4mx＋2m2－2＝0．
由Δ＝8(3－m2)＞0得m2＜3．由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(4m,3)，x1x2＝eq \f(2m2－1,3)，
又eq \f(x1＋x2,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，所以eq \f(2m,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，所以0＜m＜eq \r(3)．
eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)＝2x1x2－m(x1＋x2)＋m2
＝eq \f(4(m2－1),3)－eq \f(4m2,3)＋m2＝m2－eq \f(4,3)，
而0＜m＜eq \r(3)，所以eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,3)))．
7．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，短轴长为2．直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两
点，又l与直线y＝eq \f(1,2)x，y＝－eq \f(1,2)x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的取值范围．
7．解析 (1)由于b＝1且离心率e＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(\r(2),2)，则a2＝2，因此椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)联立直线l与直线y＝eq \f(1,2)x，可得点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m,1－2k)，\f(m,1－2k)))，
联立直线l与直线y＝－eq \f(1,2)x，可得点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,1＋2k)，\f(m,1＋2k)))，
又点A在第一象限，点B在第二象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2m,1－2k)>0，,－\f(2m,1＋2k)<0))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m（1－2k）>0，,m（1＋2k）>0，))
化为m2(1－4k2)>0，而m2≥0，∴1－4k2>0．
又|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m,1－2k)＋\f(2m,1＋2k)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,1－2k)－\f(m,1＋2k)))\s\up12(2))＝eq \f(4|m|,1－4k2)eq \r(1＋k2)，
原点O到直线l的距离为eq \f(|m|,\r(1＋k2))，即△OAB底边AB上的高为eq \f(|m|,\r(1＋k2))，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)eq \f(4|m|\r(1＋k2),1－4k2)·eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(2m2,1－4k2)＝2，∴m2＝1－4k2．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l代入椭圆方程，整理可得：
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1·x2＝eq \f(2m2－2,1＋2k2)，
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝48k2>0，则k2>0，∴y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝eq \f(m2－2k2,1＋2k2)，
∴eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(2m2－2,1＋2k2)＋eq \f(m2－2k2,1＋2k2)＝eq \f(8,1＋2k2)－7．
∵0故eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，1))．
8．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin
θ＋ycs θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求eq \(F1M,\s\up7(→))·eq \(F1N,\s\up7(→))的取值范
围．
8．解析 (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(1,\r(sin2θ＋cs2θ))＝c，,a2＝b2＋c2))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,a2＝2，,b2＝1，))故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)由(1)得F1(－1，0)，F2(1，0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(2),2)))，
∴eq \(F1M,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，eq \(F1N,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(\r(2),2)))，故eq \(F1M,\s\up7(→))·eq \(F1N,\s\up7(→))＝eq \f(7,2)．
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,\f(x2,2)＋y2＝1))消去y得，
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－2,1＋2k2)．①
eq \(F1M,\s\up7(→))＝(x1＋1，y1)，eq \(F1N,\s\up7(→))＝(x2＋1，y2)，
则eq \(F1M,\s\up7(→))·eq \(F1N,\s\up7(→))＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2，
结合①可得eq \(F1M,\s\up7(→))·eq \(F1N,\s\up7(→))＝eq \f(2(k4－1),2k2＋1)＋eq \f(4k2－4k4,2k2＋1)＋1＋k2＝eq \f(7k2－1,2k2＋1)＝eq \f(7,2)－eq \f(\f(9,2),2k2＋1)，
由k2≥0可得eq \(F1M,\s\up7(→))·eq \(F1N,\s\up7(→))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(7,2)))．综上可知，eq \(F1M,\s\up7(→))·eq \(F1N,\s\up7(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(7,2)))．