上海市普陀区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份上海市普陀区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2） B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+c D．y＝
2．（4分）已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（　　）
A．2（+）＝2+2
B．如果＝﹣2，那么||＝2||
C．是非零向量，是单位向量，那么||•＝||
D．m（n）＝（mn）
4．（4分）下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
5．（4分）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（　　）

A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：3
6．（4分）如图，在△ABC中，CD是边BC上的高，那么下列条件不一定能推出∠ACB＝90°的选项是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．AC•AD＝CD•CB
C．CD2＝AD•BD D．AC•BC＝AB•CD
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）已知a：b＝3：2，则（a﹣b）：a＝　 　．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝　 　．
9．（4分）如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 　 　．

10．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 　 　．
11．（4分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1的一个函数值是2，那么对应的自变量x的值是 　 　．
12．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
…
根据表格上的信息回答问题：当x＝2时，y＝　 　．
13．（4分）如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么＝　 　．（用表示）
14．（4分）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，＝，＝，那么＝　 　．（用、表示）

15．（4分）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边BC上的高的长是 　 　cm．

16．（4分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B＝∠ACD，AB＝6cm，AC＝4cm，若S△ABC＝36cm2，则△ACD的面积是　 　cm2．

17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的长为 　 　．

18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 　 　．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知向量、，求作向量，满足（2﹣2+）＝﹣．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）

20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1　 　y2．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”，试求抛物线y＝x2﹣4x的“不动点”的坐标．
22．（10分）如图，已知MN∥BC，A是MN上一点，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）设MC与BN的交点为点G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．

23．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点B（3，1）、C（﹣2，6），与y轴交于点A，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABM的面积；
（3）点P是抛物线上一点，且∠PMB＝∠ABM，试直接写出点P的坐标．

25．（14分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G．
（1）如图，当点G在BC延长线上时，求的值；在点E的运动过程中，的值是否发生改变？
（2）设BE＝m，用含m的代数式表示线段CG的长；
（3）如果点G在BC延长线上，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．

2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2） B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+c D．y＝
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：A、y＝x2﹣（x+4）（x+2）＝x2﹣x2﹣6x﹣8＝﹣6x﹣8，是一次函数，故本选项不合题意；
B、y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x2﹣2x﹣3）＝2x2﹣4x﹣6，是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝ 的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（4分）已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：D．
3．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（　　）
A．2（+）＝2+2
B．如果＝﹣2，那么||＝2||
C．是非零向量，是单位向量，那么||•＝||
D．m（n）＝（mn）
【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可．
【解答】解：A、2（+）＝2+2，计算正确，不符合题意；
B、如果＝﹣2，那么||＝2||，计算正确，不符合题意；
C、是非零向量，是单位向量，那么||•＝，计算不正确，符合题意；
D、根据数乘向量的性质即可判断m（n）＝（mn）计算正确，不符合题意．
故选：C．
4．（4分）下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
【分析】根据相似三角形的判定方法可得出答案．
【解答】解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B＝∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，18，21，则三边之比为2：6：7，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB＝EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（4分）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（　　）

A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：3
【分析】由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD＝1，BC＝4，点G是BD的中点，设OD＝x，OB＝4x，则BD＝5x，可求得OG＝1.5x，由GE：BC＝OG：OB即可得到答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD＝1，BC＝4，
∴OD：OB＝AD：BC＝1：4，
∴设OD＝x，OB＝4x，则BD＝5x，
∵点G是BD的中点，
∴BG＝BD＝2.5x，
∴OG＝OB﹣BG＝4x﹣2.5x＝1.5x，
∵GE∥BC，
∴△OGE∽△OBC，
∴GE：BC＝OG：OB＝1.5x：4x＝3：8．
故选：A．

6．（4分）如图，在△ABC中，CD是边BC上的高，那么下列条件不一定能推出∠ACB＝90°的选项是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．AC•AD＝CD•CB
C．CD2＝AD•BD D．AC•BC＝AB•CD
【分析】根据相似三角形的判定方法延长进行判断即可．
【解答】解：A．∵AC2＝AD•AB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACB＝90°；所以A选项一定能推出∠ACB＝90°，不符合题意；
B．∵AC•AD＝CD•CB，
∴＝，而CB和AD不是对应边，
如果AC•DB＝CD•CB，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠B+∠DCB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠ACB＝90°；所以B选项不一定能推出∠ACB＝90°，符合题意；
C．∵CD2＝AD•DB，
∴＝，
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACB＝90°；所以C选项一定能推出∠ACB＝90°，不符合题意；
D..∵AC•BC＝AB•CD，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACB＝90°；所以D选项一定能推出∠ACB＝90°，不符合题意；
故选：B．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）已知a：b＝3：2，则（a﹣b）：a＝　1：3　．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a：b＝3：2，
∴b＝a，
∴（a﹣b）：a＝（a﹣a）：a＝1：3．
故答案为：1：3．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝　2　．
【分析】设AB＝m，根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，构建方程求出m即可．
【解答】解：设AB＝m．
由于P为线段AB的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝m，
∴m﹣m＝﹣1，
解得m＝+1，
∴AP＝×（+1）＝2，
故答案为：2．
9．（4分）如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 　7.5　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式＝，再代入求出DF，再求出BF即可．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
10．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 　y＝2（x﹣1）2　．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2﹣3向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3；
再向上平移3个单位为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3+3，即y＝2（x﹣1）2．
故答案是：y＝2（x﹣1）2．
11．（4分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1的一个函数值是2，那么对应的自变量x的值是 　﹣3或1　．
【分析】把函数值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：y＝2时，x2+2x﹣1＝2，
整理得，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
所以，对应的自变量x的值是﹣3或1．
故答案为：﹣3或1．
12．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
…
根据表格上的信息回答问题：当x＝2时，y＝　﹣11　．
【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x＝0，然后求出当x＝2时y的值．
【解答】解：由表格数据可知：
当x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝﹣2，
则二次函数的图象对称轴为x＝0，
又知x＝﹣2和x＝2关于x＝0对称，
当x＝﹣2时，y＝﹣11，即当x＝2时，y＝﹣11．
故答案为﹣11．
13．（4分）如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么＝　﹣　．（用表示）
【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．
【解答】解：∵向量为单位向量，向量与单位向量方向相反，且长度为，
∴＝﹣．
故答案是：﹣．
14．（4分）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，＝，＝，那么＝　　．（用、表示）

【分析】根据重心定理求出，再利用三角形法则求出即可．
【解答】解：根据三角形的重心定理，AG＝AD，
于是＝＝．
故＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．

15．（4分）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边BC上的高的长是 　4　cm．

【分析】过A作AH⊥BC于H，交GF于M，由矩形的性质得GF∥BC，DG＝EF＝2cm，GF＝DE＝3cm，再证△AGF∽△ABC，求出AM＝2（cm），则AH＝AM+MH＝4（cm），即可求解．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，交GF于M，如图所示：
则MH＝EF＝2cm，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥BC，DG＝EF＝2cm，GF＝DE＝3cm，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：AM＝2（cm），
∴AH＝AM+MH＝4（cm），
即边BC上的高的长是4cm，
故答案为：4．

16．（4分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B＝∠ACD，AB＝6cm，AC＝4cm，若S△ABC＝36cm2，则△ACD的面积是　16　cm2．

【分析】利用给定的条件可以判定△ACD∽△ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ACD的面积．
【解答】解：∵D是AB上一点
且∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝
∴＝＝＝
∵S△ABC＝36cm2
∴△ACD的面积是36×＝16，
∴△ACD的面积是16cm2．
故应填：16．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的长为 　　．

【分析】如图，证明AE⊥AD，求出DE的长度；证明△ADF∽△DEC，得到＝；运用AD＝4，DE＝2，CD＝AB＝，求出AF的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠ADC．
而AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠ADF＝∠DEC．
∴DE2＝AE2+AD2＝4+16＝20，
∴DE＝2．
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDC．
∴△ADF∽△DEC，
∴＝．
∵AD＝4，DE＝2，CD＝AB＝，
∴AF＝．
故答案为：．

18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 　2或4　．
【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解．
【解答】解：如图1，当点D1在线段AE1上，

∵∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝4，BC＝AC＝2，
∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，
∴D1B＝2＝DB，∠BD1E1＝90°，
∴AD1＝＝＝2，
∴AD1＝BC，且AC＝BD1，
∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD1是矩形，
∴CD1＝AB＝4，
如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，

∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，
∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，
∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，
∵AC＝BD1，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）
∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，
∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，
∴AC＝CD1＝2，
综上所述：CD1＝2或4，
故答案为：2或4．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知向量、，求作向量，满足（2﹣2+）＝﹣．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）

【分析】由题意，＝2﹣，利用三角形法则画出向量CD＝2﹣
【解答】解：∵（2﹣2+）＝﹣，
∴2﹣2+＝2﹣，
∴＝2﹣，
如图，即为所求．

20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1　＞　y2．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8），
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”，试求抛物线y＝x2﹣4x的“不动点”的坐标．
【分析】（1）a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（2，﹣4）；
（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣4t，即可求解；
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∵a＝1＞0，
∴故该抛物线开口向上，
顶点A的坐标为（2，﹣4），
当x＞2，y随x的增大而增大，当x＜2，y随x增大而减小；
（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣4t，
解得：t＝0或5，
故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．
22．（10分）如图，已知MN∥BC，A是MN上一点，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）设MC与BN的交点为点G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，根据相似三角形的性质得到，＝，等量代换得到＝，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到＝＝，求得AN＝，得到MN＝，推出△MGN∽△CGB，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵MN∥BC，
∴△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，
∴，＝，
∵AM＝AN，
∴＝，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝，
∵MN∥BC，
∴△BDE∽△BAN，
∴＝＝，
∴AN＝，
∴MN＝，
∵DE∥MN，DE∥BC，
∴MN∥BC，
∴△MGN∽△CGB，
∴＝＝＝．

23．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．

【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC＝∠B＝45°，从而结合∠DAE＝45°得到∠DAC＝∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP＝∠BAC＝∠B＝45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE＝AC：AB，转化为AD：AC＝AE：AB，结合∠DAE＝∠CAB＝45°得证结果；
（2）结合∠ACD＝45°和∠ACB＝90°，由CD＝CE得到∠CDE＝∠CED＝22.5°，从而得到∠DAC＝22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∵∠DAE＝45°，PC∥AB，
∴∠DAC＝∠EAB，∠ACD＝∠BAC＝∠B＝45°，
∴△ADC∽△AEB，
∴＝，即＝，
∵∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）∵∠ACD＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝22.5°，
∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣22.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠CAD＝∠CDE，
又∵∠OCD＝∠DCA，
∴△OCD∽△DCA，
∴＝，
∴CD2＝CO•CA．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点B（3，1）、C（﹣2，6），与y轴交于点A，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABM的面积；
（3）点P是抛物线上一点，且∠PMB＝∠ABM，试直接写出点P的坐标．

【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，依题意得出三元一次方程组，解方程得出a、b、c的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）连接AB，过点M作y轴的平行线交AB于点Q，连接AM、BM，求出直线AB的解析式，求出点Q的坐标，得出MQ的长，再利用S△ABM＝S△MQA+S△MQB，即可求出△ABM的面积；
（3）分PM在AB的左侧和右侧两种情况进行讨论，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过点B（3，1）、C（﹣2，6），对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：，
∴设抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣2；
（2）如图1，连接AB，过点M作y轴的平行线交AB于点Q，连接AM、BM，

当x＝0时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣2），M（1，﹣3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
把A（0，﹣2），B（3，1）代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣2，
当x＝1时，y＝﹣1，
∴Q（1，﹣1），
∴MQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴S△ABM＝S△MQA+S△MQB
＝•MQ•|xB﹣xA|
＝×2×|3﹣0|
＝3；
（3）如图2，分两种情况分类讨论：

①当PM在AB的左侧时，PM交AB于点D，设D（t，t﹣2），
∵B（3，1）、M（1，﹣3），
∴BD＝，MD＝，
∵∠PMB＝∠ABM，
∴BD＝MD，
∴＝，
解得：t＝，
∴D（，﹣），
设直线MD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线MD的解析式为y＝7x﹣10，
∴，
解得：，，
∴P（8，46），
②当PM在AB的右侧时，PM交抛物线于点P，
∵∠PMB＝∠ABM，
∴AB∥PM，
∴设直线MP的解析式为y＝x+d，
把M（1，﹣3）代入得：﹣3＝1+d，
∴d＝﹣4，
∴直线MP的解析式为y＝x﹣4，
∴，
解得：，，
∴P（2，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（8，46）或（2，﹣2）．
25．（14分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G．
（1）如图，当点G在BC延长线上时，求的值；在点E的运动过程中，的值是否发生改变？
（2）设BE＝m，用含m的代数式表示线段CG的长；
（3）如果点G在BC延长线上，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．
【分析】（1）分点G在BC延长线上、点G在BC上两种情况，证明△DCE∽△ADF，根据相似三角形的性质解答；
（2）分点G在BC延长线上、点G在BC上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到＝，把已知数据代入计算，得到答案；
（3）分△DEB∽△GFD、△DEB∽△DFG两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）如图1，设DE与AG交于点H，
当点G在BC延长线上时，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠CDE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
∵∠DCE＝∠ADF＝90°，
∴△DCE∽△ADF，
∴＝＝＝；
如图2，当点G在BC上时，
同理可证，△DCE∽△ADF，
∴＝，
综上所述，在点E的运动过程中，的值不发生改变；
（2）如图1，当点G在BC延长线上时，
∵BE＝m，BC＝4，
∴EC＝4﹣m，
由（1）可知：DF＝2EC＝8﹣2m，
∴FC＝DC﹣DF＝2﹣（8﹣2m）＝2m﹣6，
∵AD∥CG，
∴＝，即＝，
解得：CG＝（3＜m＜4），
如图2，当点G在BC上时，
∵BE＝m，BC＝4，
∴EC＝4﹣m，
由（1）可知：DF＝2EC＝8﹣2m，
∴FC＝DF﹣DC＝（8﹣2m）﹣2＝6﹣2m，
∵AD∥CG，
∴＝，即＝，
解得：CG＝（0＜m＜3）；
（3）如图3，当△DEB∽△GFD时，∠GDF＝∠DBE，
∵∠DCG＝∠BCD，
∴△DCG∽△BCD，
∴＝＝，
∴CG＝1，
∵＝，
∴＝，
解得：DF＝；
当△DEB∽△DFG时，设DF＝a，则FC＝2﹣a，EC＝a，
∴BE＝4﹣a，
∵AD∥CG，
∴＝，即＝，
解得：FG＝，
∵△DEB∽△DFG，
∴＝，即＝，
整理得：3a2+8a﹣16＝0，
解得：a1＝，a2＝﹣4（舍去），
综上所述：当△DBE与△DFG相似时，DF的长为或．



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日期：2021/11/19 5:19:10；用户：15750990167；邮箱：15750990167；学号：41696140