江苏省南京市六校联合体2018_2019学年高一数学上学期期中联考试题含解析

江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一上学期期中联考试题

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合，，则______．

【答案】【解析】

∵，

∴

点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

2.函数的定义域是_______。(用区间表示）

【答案】

【解析】

x应满足：，解得：

∴函数的定义域是

3.已知幂函数为常数)的图象过点(2, ),那么实数a=________。

【答案】

【解析】

【分析】

直接把点(2, )代入幂函数的解析式即得a的值.

【详解】由题得故答案为：

【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

4.已知，则的值为_______。

【答案】2

【解析】

【分析】

直接把已知方程两边同时平方即得的值.

【详解】把已知方程两边同时平方得故答案为：2

【点睛】本题主要考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

5.函数 且)的图象过定点P，则P点的坐标是_______。

【答案】

【解析】

【分析】

令x+1=1得x=0,再把x=0代入函数的解析式即得y的值，即得点P的坐标.

【详解】令x+1=1得x=0, 再把x=0代入函数的解析式得y=2,所以点P的坐标为(0,2).

故答案为：（0,2）

【点睛】本题主要考查对数函数的图像的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

6.关于x的方程的解为_______。

【答案】   

【解析】

【分析】

，所以化简即得方程的解.

【详解】，所以.故答案为：

【点睛】本题主要考查对指互化，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.

7.已知 a=ln0.32，b=lg2, c=(0.45)-0.3，则 a，b, c 大小关系为_______。

【答案】

【解析】

【分析】

先判断出a<0,b＞0，c＞0，再比较b和c的大小，即得a，b, c 大小关系.

【详解】由题得a=ln0.32＜ln1=0, b＞0，c＞0，

，所以c＞1.

所以a，b, c 大小关系为 .

故答案为：

【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性，考查对数和指数大小的比较，意在考查学生读这些知识是掌握水平和分析推理能力.

8.关于x的不等式＞1的解集为________。

【答案】(－，－1)∪(3，＋) 

【解析】

【分析】

由不等式可得 0＜x2﹣2x 且x2﹣2x＞3，即，由此求得不等式的解集．

【详解】由不等式可得 0＜x2﹣2x 且x2﹣2x＞3，即，

所以（x-3）(x+1)＞0，所以x＞3或x＜-1.

故答案为：(－，－1)∪(3，＋)

【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.

9.建造一个容积为8m3、深为2m的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价 别为100元/m2和60元/m2，总造价y (单位：元）关于底面一边长x (单位：m)的函数解析式为_______。

【答案】y＝400＋240(x＋)

【解析】

【分析】

由题得池子的底面积为4，所以底面另外一边的长度为，再根据已知写出y的表达式即得解.

【详解】由题得池子的底面积为4，所以底面另外一边的长度为，

所以总造价为.

故答案为：y＝400＋240(x＋)

【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

10.己知函数在定义域内为奇函数，则实数a=_______。

【答案】3

【解析】

【分析】

由题得f(-x)+f(x)=0,由此化简求出a的值.

【详解】由题得f(-x)+f(x)=0,所以

，

.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查奇偶性的性质和指数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

11.己知函数，则函数的值域是_______。

【答案】[－1，＋)

【解析】

【分析】

先对函数换元，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.

【详解】设|x|=a,(a≥0)，则g(a)=，

二次函数在[0，+∞）上单调递增，所以a=0时，g(a)取最小值-1，

故答案为：[－1，＋)

【点睛】本题主要考查换元法和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

12.己知定义在R上的函数，满足对任意都有 成立，则实数m的取值范围是 _______。

【答案】(0，4]

【解析】

【分析】

由已知中对任意x1≠x2都有成立可得：函数f（x）在R为上增函数，则

，解得实数m的取值范围．

【详解】由已知中对任意x1≠x2都有成立，

可得：函数f（x）在R为上增函数，

则，

解得：0＜m≤4，

故答案为：(0，4]．

【点睛】本题主要考查函数单调性的运用，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

13.设函数,若,则实数a的取值范围是 _______。

【答案】

【解析】

【分析】

先分析得到函数f(x)的单调性，再利用函数的单调性化简即得实数a的取值范围.

【详解】由题得函数f(x)是R上的增函数，所以1-2a＜a,所以a＞.

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数的单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.

14.设是定义在R上的函数且，在区间[-1，1]上，，其中，若，则的值为_______。

【答案】5

【解析】

【分析】

先计算出得到，再根据得到，解方程组即得a,b的值，即得解.

【详解】由题得

，

所以 （1）

令x=-1,所以（2）

解（1）（2）得a=6,b=-7,所以2a+b=5.

故答案为：5

【点睛】本题主要考查分段函数的性质和求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

二、简答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.设 U==R，A= {},B={x|2<x<4}, C={},a为实数.

(l)分别求,    (2),求 a 的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：本题中（1）先求出集合B的补集，在求出，得到答案；（2）中由得到，在比较区间的断点，求出a的取值范围．得到本题的结论．

试题解析：（1）A∩B={x|2<x≤3}，

UB={x|x≤2或x≥4}

A∪（UB）= {x|x≤3或x≥4}

（2）∵B∩C=C ∴CB

∴2<a<a+1<4    ∴2<a<3

考点：集合中交集、并集、补集的混合运算．

16.计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）81；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据指数幂的运算，同底的幂相乘等于次数相加，等运算规律得结果。（2）根据对数的运算规律及公式。对数相加等于真数相乘，换底公式等得到计算结果。

（1）原式；

（2）

17.已知二次函数过点(，1)、(0, 1),且最小值为.（1）求函数的解析式；

（2）求函数的最小值，并求出此时的值.

【答案】(1) f(x)＝2x2＋x＋1；（2）.

【解析】

【分析】

(1) 设f(x)＝a(x＋)2＋ (a>0)，代点(0，1)即得 a＝2，所以f(x)＝2(x＋)2＋,

即f(x)＝2x2＋x＋1）.(2)先求出 ， 再换元求函数的最小值和此时x的值.

【详解】（1）由题意得：对称轴x＝－，设f(x)＝a(x＋)2＋ (a>0)，

又过点(0，1)，代入得，解的a＝2，所以f(x)＝2(x＋)2＋

即f(x)＝2x2＋x＋1）.

（2）= ，

令，因为，所以,

则原函数可化为：，

因为对称轴为，所以当时，；

此时.

【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法，考查二次函数的最值的计算和换元法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.

18.己知函数

（1）试判断函数在R上的单调性，并证明之；

（2）已知函数，试判断函数在R上的奇偶性，并证明之.

【答案】(1)将解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用定义法证明函数f(x)是R上的单调增函数.(2) 通过举例说明f(x)在R上为非奇非偶函数．

【详解】（1）f(x)在R上为单调增函数，

证明如下：，任取x1，x2R，且x1<x2．

f(x1)－f(x2)＝，因为x1<x2，所以3<3，

所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)在R上为单调增函数．

（2）f(x)在R上为非奇非偶函数．

证明如下： ，因为：g(1)≠±g(－1)，

所以f(x)在R上为非奇非偶函数．

【点睛】本题主要考查函数的单调性的证明和奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

19.已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).

（1）当x<0时，求的解析式：

(2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式；

(3)对于（2)中的，试求满足的所有实数成的取值集合.

【答案】(1) f(x)＝x2－2ax＋1；（2） ;(3){m| 或 }．

【解析】

【分析】

（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得的表达式.(3)由题得 或，解不等式组即得解.

【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1.

又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1.

（2）当x[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a，

①当－a≥ ，即a≤－时，g(a)＝f(0)＝1；

②当－a＜，即a＞－时，g(a)＝f(5)＝10a＋26．

综合以上 .

（3）由（2）知，

当a≤－时，g(a)为常函数，当a＞－时，g(a)为一次函数且为增函数．

因为g(8m)＝g( )，所以有 或，解得或，

即m的取值集合为{m|或}．

【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

20.己知二次函数.

(1)若函数在(2，+)上单调递减，求f(4)的最大值；

(2)若函数定义域为R，且，求实数a的取值范围：

(3)当b = 8时，对于给定的负数a有一个最大的正数使得在整个区间[0, ]上，不等式都成立，求的最大值.

【答案】(1) 1 ；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）由题意可知，所以，再求f(4)的范围.(2) 由题意可知恒成立，所以,因为，所以，所以.(3)对a分类讨论，由二次函数的图像和性质得到

，再求的最大值.

【详解】（1）由题意可知，所以，

所以即最大值为1.

（2）由题意可知恒成立，所以,

因为，所以，所以.

（3）因为函数对称轴为，顶点坐标

当时，即，此时令，即，

由可知，

当时，即，此时令，即，

由可知，

所以，有理化得

当时单调递增，

当时单调递减，

所以的最大值为，此时

【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论数形结合分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是求出.