四川省雅安中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析

2018-2019学年四川省雅安中学

高一上学期期中考试数学试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．已知集合，则下列选项正确的是

A．0⊆A    B．{0}⊆A    C．∅∈A    D．{0}∈A

2．函数的定义域是

A．    B．    C．    D．

3．设集合，则等于

A．    B．    C．    D．

4．已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数    B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数    D．是偶函数，且在R上是减函数

5．已知，则

A．    B．    C．    D．3

6．在同一直角坐标系中，函数， 的图象可能是

A．    B．   

C．    D．

7．已知，，则

A．    B．    C．    D．

8．用二分法求方程x2–2=0在（1，2）内近似解，设f（x）=x2–2，得f（1）<0，f（1.5）>0， f（1.25）<0，则方程的根在区间

A．（1.25，1.5）    B．（1，1.25）    C．（1, 1.5）    D．不能确定

9．下列命题正确的是

A．小于的角一定是锐角

B．终边相同的角一定相等

C．终边落在直线上的角可以表示为，

D．若,则角的正切值等于角的正切值

10．已知函数，且，则

A．    B．    C．    D．

11．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为，则年平均利润的最大值是多少万元？

A．5万元    B．6万元    C．8万元    D．9万元

12．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0）    B．[0，+∞）    C．[–1，+∞）    D．[1，+∞）

二、填空题

13．函数y=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点__________．

14．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为3cm.求扇形的面积为____________.

15．函数f(x)=的增区间是 _______________________

16．用表示不超过的最大整数，如．

下面关于函数说法正确的序号是____________.（写上序号）

①当时，；                

②函数的值域是；

③函数与函数的图像有4个交点；

④方程根的个数为7个．

三、解答题

17．（1）计算；

18．（1）已知点在角的终边上，且，求 和的值；

（2）求证：.

19．已知函数（且），

（1）若，解不等式；

（2）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围．

20．已知函数的定义域为，且满足下列条件：

①；②对于任意的，，总有；则：

（Ⅰ）求及的值．

（Ⅱ）求证：函数为奇函数．

21．已知定义域为的函数是奇函数

（1）求实数b的值

（2）判断并用定义法证明在上的单调性

（3）若对任意实数,不等式恒成立,求的取值范围

22．已知在区间上的值域.

(1)求的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若函数有三个零点，求实数的取值范围.

2018-2019学年四川省雅安中学

高一上学期期中考试数学试题

数学  答 案

参考答案

1．B

【解析】

根据元素与集合的关系，用 ∈ ，集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B正确.

2．A

【解析】

【分析】

首先根据函数的定义域就是使得式子有意义的x的取值所构成的集合，结合分式、偶次根式以及对数式的要求，列出相应的不等式组，最后求得结果.

【详解】

要使函数有意义，需要，解得，

所以函数的定义域为，

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关函数定义域的问题，这里需要注意的是一定要把握好对应式子的要求，偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，对数式要求真数大于零，属于简单题目.

3．B

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合M，解对数不等式求得集合N，再利用并集中元素的特征，求得，从而得到结果.

【详解】

解不等式，得，所以，

由不等式，解得，所以，

所以，故选B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，利用对数函数的单调性求解对数不等式的问题以及集合的并集运算，属于中档题目.

4．A

【解析】

分析：讨论函数的性质，可得答案.

详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，

又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数。

故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.

5．D

【解析】

【分析】

根据已知条件，首先找到2适合的函数解析式，代入写出新的表达式，将新的表达式写出后，再根据新的x的取值，找到相应解析式重新代入，直到找到最终解析式求解即可.

【详解】

，

故选D.

【点睛】

该题考查分段函数的应用，解答本题的关键是根据x的取值范围，代入对应的函数解析式求解.

6．D

【解析】

【分析】

结合对数函数和幂函数的图象和性质，对选项中的图象逐个分析，

【详解】

对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；

对于B项，幂函数，对数函数，所以B项不满足要求；

对于C项，幂函数要求，而对数函数要求，，所以C项不满足要求；

对于D项，幂函数与对数函数都要求，所以D项满足要求；

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，需要对相应的函数的图象的走向了如指掌，注意参数的范围决定着函数图象的走向，再者就是在同一坐标系中两个函数的图象对应参数的范围必须保持一致.

7．B

【解析】

试题分析： ，故选B.

考点：实数的大小比较.

8．A

【解析】

【分析】

根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论.

【详解】

已知,

所以,

可得方程的根落在区间内,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.

9．D

【解析】

【分析】

根据小于的角不一定是锐角排除；根据终边相同的角之差为的整数倍排除；根据终边落在直线上的角可表示为排除，从而可得结果.

【详解】

小于的角不一定是锐角，锐角的范围是，所以错；

终边相同的角之差为的整数倍，所以错；

终边落在直线上的角可表示为，所以错；

由，可得,正确，

故选D.

【点睛】

本题主要考查范围角，终边相同的角、锐角的基本定义以及排除法的应用，意在考查对基本定义掌握的熟练程度，属于基础题.

10．A

【解析】分析：用换元法求出，再解方程即可.

详解：，则，

故，

令，则，故选A.

点睛：函数解析式的求法有：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.注意针对问题的特征选择合适的方法.

11．C

【解析】

【分析】

首先根据题意，求得年平均利润为，之后利用基本不等式得到，并且求得当时取等号，将代入求得相应的最值，得到结果.

【详解】

根据题意，年平均利润为，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以当时，年平均利润最大，最大值是万元，

故选C.

【点睛】

该题考查的是有关年平均利润的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有利用函数解决实际问题，利用基本不等式求最值问题，属于中档题目.

12．C

【解析】

分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

13．（1，2）．

【解析】

试题分析：由题意令x-2=0，解得x=2，再代入函数解析式求出y的值为2，即可得所求的定点．

令x-1=0，解得x=1，则x=1时，函数，即函数图象恒过一个定点（1，2）．

考点：指数函数恒过点

14．

【解析】

【分析】

首先利用角度与弧度的转化，求得，之后应用扇形的面积公式求得结果.

【详解】

因为扇形的圆心角，所在圆的半径为，

由扇形的面积公式可得，

故答案是.

【点睛】

该题考查的是扇形的面积的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有角度与弧度的转化，扇形的面积公式，也可以先求弧长，用来求.

15．

【解析】

由,所以定义域为,由复

合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为.

16．①③

【解析】

【分析】

首先利用题中所给的条件，明确取整函数的意义所在，之后结合题中所给的函数解析式，对所给的命题逐个分析，判断正误，从而得到正确的结果.

【详解】

对于①，时，，所以，所以①正确；

对于②，由题意知，为整数时，，不是整数时，，所以函数的值域是，所以②不正确；

对于③，在同一坐标系下画出函数与的图象，如图所示，

函数的图象每段斜线段的右上方的端点是圈，不包括，由图象可知两函数图象有4个交点，所以③正确；

对于④，由得，在同一坐标系下画出函数与的图象，如图所示：

图象中斜线段的右上方的端点不包括，是圈，由图象可知两函数图象有9个交点，

所以方程根的个数为9个，所以④不正确；

所以正确命题的序号是①③，

故答案是①③.

【点睛】

该题属于判断正确命题个数的问题，在解题的过程中，需要对取整函数的性质要明确，再者，需要用到数形结合的思想，这就要求必须将函数的图象画对.

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）首先根据指数式与对数式的运算法则，化简求值，可得结果；

（2）首先应用诱导公式化简函数解析式，之后代入求值即可得结果.

【详解】

(1)原式

(2)原式化简为，.

【点睛】

该题考查的是有关化简求值问题，涉及到的知识点有指数式的运算法则，对数式的运算法则，正余弦的诱导公式，同角三角函数关系式，以及特殊角的三角函数值，遵循先化简后求值的思路，属于简单题目.

18．（1）（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据两点间距离公式，求得r的值，之后应用三角函数的定义，结合题中所给的角的正弦值，得到t所满足的等量关系式，求得结果，再利用余弦的定义求得的值；

（2）利用同角三角函数的关系式，证得结果.

【详解】

（1）由已知，所以解得，

故θ为第四象限角，；

（2）证明：左边右边，

即等式成立.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数的定义以及利用同角三角函数关系式证明等式成立的问题，在解题的过程中，注意对基础知识的灵活掌握，属于中档题目.

19．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)把代入函数解析式，由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式求解；(2)内函数为减函数，要使函数在区间上是单调增函数，则外函数为减函数，且内函数在上的最小值大于0，由此列不等式式即可求得常数的取值范围.

【详解】

⑴当时，原不等式可化为∴，

解得， ∴原不等式的解集为.

⑵设，则函数为减函数，

∵函数在区间上是单调增函数，∴，

解得∴实数的取值范围.

【点睛】

本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.

20．（1）1,； （2）见解析；

【解析】

【分析】

（1）对分别赋值，令，代入题中所给的式子，得到，再重新赋值，u=1，v=-1，结合，求得；

（2）利用奇函数的定义，对分别赋值，令，从而证得g(-x)=-g(x)，得到结果.

【详解】

（Ⅰ）∵对于任意，都有，

∴令，得 ，∴．

令u=1，v=-1，则，∴．

（Ⅱ）令，则有，∴，

因为，则g(-x)=f(x)-1,

∴ ，即：g(-x)=-g(x)．

故为奇函数．

【点睛】

本题主要考查了抽象函数的性质的判定与证明，以及利用函数的单调性求解不等式问题，其中解答中合理赋值，正确利用奇偶性的定义判定.

21．（1）b=1（2）见解析（3）

【解析】

【分析】

（1）由奇函数的条件可得，即可得到b的值；

（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；

（3）利用奇函数的定义以及函数单调性的条件，将不等式转化为对恒成立，讨论或解出即可.

【详解】

(1)由于定义域为的函数是奇函数,

所以

（2）在上是减函数.

证明如下:设任意

∵∴

∴在上是减函数 ,

（3）不等式,

由奇函数得到所以,

由在上是减函数,∴对恒成立

∴或综上:.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

22．（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）对 配方，求出对称轴 ，讨论若 三种情况，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求 的值；
（2）由题意可得 ，化为 ，令 ，求出的范围，求得右边函数的最小值即可得到的范围；
（3）令 ，可化为| 有3个不同的实根．令 ，讨论的范围和单调性， 有两个不同的实数 已知函数有3个零点等价为 或 ，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得 的范围．

试题解析：（1） ，满足条件；

，综上

（2）

则

（3）问题等价于 有三个不同的根，令，所以方程 有两个不同的解 ，且，因此

【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．