【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（2）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（2）（含答案解析），共29页。试卷主要包含了下列式子值最小的是，下列计算正确的是，如图所示的几何体的俯视图是，如图，一条抛物线与x轴相交于A，定义等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（2）
一．选择题（共6小题）
1．下列式子值最小的是（　　）
A．﹣1+2019 B．﹣1﹣2019 C．﹣1×2019 D．2019﹣1
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a4 B．3a﹣2a＝1
C．2a2×a3＝2a6 D．（a2）3＝a6
3．2010年，科学家成功制造出世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004m，用科学记数法表示这个数是（　　）
A．0.4×10﹣7 B．4×10﹣7 C．4×10﹣8 D．4×108
4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（　　）

A．6 B．4 C．2 D．﹣2
二．填空题（共6小题）
7．把多项式a3b﹣4a2b+4ab分解因式的结果是　 　．
8．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则EC：AB＝　 　．

9．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝　 　．
10．定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式　 　．
11．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为　 　．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为　 　．

三．解答题（共11小题）
13．本题有2个小题，每小题5分，共10分
（1）计算：（2）．
14．（1）解方程：x（2x﹣3）+（3﹣2x）2＝0
（2）解分式方程：
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中作线段BC的中点P；
（2）在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC．
16．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝36°，求∠CAO度数．

17．下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：
月用水量/吨
15
20
25
30
35
40
45
户数
2
4
m
4
3
0
1
（1）求出m＝　 　，补充画出这20户家庭三月份用水量的条形统计图；
（2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：
统计量名称
众数
中位数
平均数
数据
　 　
　 　
　 　
（3）为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下：
月用水梯级标准
Ⅰ级（30吨以内）
Ⅱ级（超过30吨的部分）
单价（元/吨）
2.4
4
如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？
（4）按上表收费，如果某用户本月交水费120元，请问该用户本月用水多少吨？

18．如图，点A、B是双曲线y＝（k为正整数）与直线AB的交点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程：x2+kx﹣k﹣1＝0的两根
（1）填表：
K
1
2
3
…
n（n为正整数）
A点的横坐标
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
B点的横坐标
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
（2）当k＝n（n为正整数）时，试求直线AB的解析式（用含n的式子表示）；
（3）当k＝1、2、3、…n时，△ABO的面积，依次记为S1、S2、S3…Sn，当Sn＝40时，求双曲线y＝的解析式．

19．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）

20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC，CE＝10，EF＝14，求CD．

21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．

22．四边形ABCD是菱形，点N是射线BA上一动点，点P，Q是直线BC上的两个动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝BN作线段BQ的垂直平分线，分别交直线BD，BC于点E，M，连接EN，EP．
（1）发现
如图（1），当P，Q两点都在线段BC上时，EN与EP的数量关系为　 　；
（2）拓展
如图（2），当P、Q两点都在线段CB的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
（3）应用
如图（3），当点P，Q都在射线BC上，且点Q的位置固定时，连接NP，若∠ABC＝60°，BQ＝6，请直接写出NP的最小值．

23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1），顶点为M，直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若抛物线C1与x轴只有一个公共点，求a的值；
（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式；
（3）将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N．
①若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系；
②当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值增大而减小，求t的取值范围．

2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列式子值最小的是（　　）
A．﹣1+2019 B．﹣1﹣2019 C．﹣1×2019 D．2019﹣1
【分析】根据有理数的运算法则以及幂的运算性质求解即可．
【解答】解：A、﹣1+2019＝2018；
B、﹣1﹣2019＝﹣2020；
C、﹣1×2019＝﹣2019；
D、．
故最小的是﹣1﹣2019．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的四则运算以及幂的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a4 B．3a﹣2a＝1
C．2a2×a3＝2a6 D．（a2）3＝a6
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方的计算法则解答．
【解答】解：A、原式＝5a2，故本选项错误．
B、原式＝a，故本选项错误．
C、原式＝2a5，故本选项错误．
D、原式＝a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】考查了合并同类项，单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题，熟记计算法则即可解题．
3．2010年，科学家成功制造出世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004m，用科学记数法表示这个数是（　　）
A．0.4×10﹣7 B．4×10﹣7 C．4×10﹣8 D．4×108
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000004＝4×10﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的意义结合各个选项的图形进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，根据各个位置图形的形状，可知选项C中的图形符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是得出正确答案的前提．
5．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据图形确定出图1与图2的面积，即可作出判断．
【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分面积＝（a﹣b）2，图2中阴影部分面积＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
6．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（　　）

A．6 B．4 C．2 D．﹣2
【分析】当P在M点时，x1有最小值﹣4，此时x2＝2；x2与x1的距离是6；当P在N点时，此时x2＝4．
【解答】解：由题意可知，
当P在M点时，x1有最小值﹣4，此时x2＝2；
∴x2与x1的距离是6；
当P在N点时，x2＝4；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与x轴交点的特点；掌握二次函数与x轴的交点到对称轴的距离随着图象的移动始终保持不变是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．把多项式a3b﹣4a2b+4ab分解因式的结果是　ab（a﹣2）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝ab（a2﹣4a+4）
＝ab（a﹣2）2．
故答案为：ab（a﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则EC：AB＝　　．

【分析】根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得出＝，再结合EC＝CD﹣DE即可求出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，DC＝AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，
∴＝，
∵＝＝＝3．
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质求出DE、BA之间的关系是解题的关键．
9．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝　1　．
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，将其代入（α﹣2019）（β﹣2019）＝中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，
∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，
∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的根，根基根与系数的关系及一元二次方程的解，找出α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1是解题的关键．
10．定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式　y＝x﹣　．
【分析】求出函数和x轴、y轴的交点坐标，求出对称的点的坐标，再代入函数解析式求出即可．
【解答】解：y＝2x+1，
当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，x＝﹣，
即函数和x轴的交点为（﹣，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣）和（1，0），
设反函数的解析式是y＝kx+b，
代入得：，
解得：k＝，b＝﹣，
即y＝x﹣，
故答案为：y＝x﹣．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，能求出对称的点的坐标是解此题的关键．
11．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为　2π　．

【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：如图，∠BAO＝30°，AO＝，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO＝，
∴BO＝tan30°＝1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB＝＝2，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积＝•2π•1•2＝2π．
故答案为2π．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为　4或8或4　．

【分析】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P3．只要证明∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，即可推出FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4解决问题．
【解答】解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵BF＝2，BE＝2，AF＝4，AD＝4，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，
∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
易知EF＝OF＝OD＝4，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，
∴FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4，
故答案为4或8或4．
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共11小题）
13．本题有2个小题，每小题5分，共10分
（1）计算：（2）．
【分析】（1）首先对二次根式进行化简，然后利用多项式的乘法法则以及完全平方公式计算，最后合并同类二次根式即可；
（2）由第一个方程得到y＝8﹣3x，代入第二个方程即可消去y，从而求得x的值，进而即可求得y的值．
【解答】解：（1）
＝（4+3）（2﹣2）﹣（﹣）2
＝8﹣24+6﹣6﹣3﹣2+2
＝8﹣4+6﹣29；
（2）
由①得y＝8﹣3x，
将③代入②得 4x﹣2（8﹣3x）＝5，
化简得10x＝21，所以，
将上式代入③得，
故原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及利用代入法解二元一次方程组，正确理解多项式的乘法法则以及完全平方式是关键．
14．（1）解方程：x（2x﹣3）+（3﹣2x）2＝0
（2）解分式方程：
【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x（2x﹣3）+（3﹣2x）2＝0，
∴（2x﹣3）（x+2x﹣3）＝0，
∴x＝或x＝1；
（2）∵，
∴4+x2﹣1＝（x﹣1）2，
∴x2+3＝x2﹣2x+1，
∴2x＝﹣2，
∴x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1不是原方程的解．
【点评】本题考查方程，解题的关键是熟练运用方程的解法，本题属于基础题型．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中作线段BC的中点P；
（2）在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC．
【分析】（1）在图①中作线段BC的中点P即可；
（2）在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC即可．
【解答】解：
（1）如解图①所示，点P即为所求；
（2）如解图②所示，MN即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是综合运用全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质准确画图．
16．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝36°，求∠CAO度数．

【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC＝∠BAD＝36°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝18°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．
17．下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：
月用水量/吨
15
20
25
30
35
40
45
户数
2
4
m
4
3
0
1
（1）求出m＝　6　，补充画出这20户家庭三月份用水量的条形统计图；
（2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：
统计量名称
众数
中位数
平均数
数据
　25　
　25　
　26.5　
（3）为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下：
月用水梯级标准
Ⅰ级（30吨以内）
Ⅱ级（超过30吨的部分）
单价（元/吨）
2.4
4
如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？
（4）按上表收费，如果某用户本月交水费120元，请问该用户本月用水多少吨？

【分析】（1）根据各用户数之和等于数据总和即可求出m的值，根据表格数据补全统计图；
（2）根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；
（3）用达标的用户数除以总用户数，乘以500即可；
（4）设该用户本月用水x吨，列方程2.4×30+4（x﹣30）＝120，解答即可．
【解答】解：（1）m＝20﹣2﹣4﹣4﹣3﹣0﹣1＝6，
这20户家庭三月份用电量的条形统计图：

故答案为6；
（2）根据题意可知，25出现的次数最多，则众数为25，
由表可知，共有20个数据，则中位数为第10、11个的平均数，即为25；
平均数为（15×2+20×4+25×6+30×4+45×1）÷20＝26.5，
故答案为25，25，26.5；
（3）小区三月份达到Ⅰ级标准的用户数：
（户），
答：该小区三月份有400户家庭在Ⅰ级标准；
（4）∵2.4×30＝72＜120，
∴该用户本月用水超过了30吨，
设该用户本月用水x吨，
2.4×30+4（x﹣30）＝120，
解得x＝42，
答：该用户本月用水42吨．
【点评】本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图的相关知识是解题的关键．
18．如图，点A、B是双曲线y＝（k为正整数）与直线AB的交点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程：x2+kx﹣k﹣1＝0的两根
（1）填表：
K
1
2
3
…
n（n为正整数）
A点的横坐标
　1　
　1　
　1　
　…　
　1　
B点的横坐标
　﹣2　
　﹣3　
　﹣4　
　…　
　﹣n﹣1　
（2）当k＝n（n为正整数）时，试求直线AB的解析式（用含n的式子表示）；
（3）当k＝1、2、3、…n时，△ABO的面积，依次记为S1、S2、S3…Sn，当Sn＝40时，求双曲线y＝的解析式．

【分析】（1）根据k的值，即可得到一元二次方程的解，进而得到A点的横坐标，B点的横坐标；
（2）根据当k＝n（n为正整数）时，A点的横坐标为1，B点的横坐标为﹣n﹣1，可得A（1，n+1），B（﹣n﹣1，﹣1），运用待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（3）先求得直线AB与y轴交于（0，n），再根据当Sn＝40时，×n（n+1+1）＝40，即可得到n＝8，进而得出A（1，9），据此可得双曲线的解析式为：y＝．
【解答】解：（1）当k＝1时，方程x2+x﹣2＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣2；
当k＝2时，方程x2+2x﹣3＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣3；
k＝3时，方程x2+3x﹣4＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣4；
k＝n时，方程x2+nx﹣n﹣1＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣n﹣1；
∵点A在第一象限，点B在第三象限，
∴A点的横坐标依次为：1，1，1，…，1；
B点的横坐标依次为：﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1；
故答案为：1，1，1，…，1；﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1；

（2）当k＝n（n为正整数）时，A点的横坐标为1，B点的横坐标为﹣n﹣1，
令x＝1，则y＝＝n+1；
令x＝﹣n﹣1，则y＝＝﹣1；
∴A（1，n+1），B（﹣n﹣1，﹣1），
设直线AB的解析式为y＝px+q，则
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+n；

（3）∵直线y＝x+n中，令x＝0，则y＝n，即直线AB与y轴交于（0，n），
∴当Sn＝40时，×n（n+1+1）＝40，
解得n＝8（负值已舍去），
∴A（1，9），
∴双曲线的解析式为：y＝．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题以及一元二次方程的解，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
19．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）

【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；
（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得 点E滑动的距离．
【解答】解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，

在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴，＝cos37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），
∴DE＝＝＝3（cm）．
答：连接杆DE的长度为cm．
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，

∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB＝（）（cm），
∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．
【点评】本题属于解直角三角形的应用题，出题角度新颖，既贴近生活，又需要借助三角函数勾股定理等数学知识才能解决，难度中等偏大．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC，CE＝10，EF＝14，求CD．

【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得到DE＝EF＝14，根据勾股定理得到CD．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，
∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠F＝∠EDF，
∴DE＝EF＝14，
∵CE＝10，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD＝＝4．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，切线的判定和性质，勾股定理，判断出BD⊥DE是解本题的关键．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．

【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得到DE＝EF＝3，根据勾股定理得到CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，
∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠F＝∠EDF，
∴DE＝EF＝6，
∵CE＝4，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD＝＝2，
∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，
∴△CDE∽△CBD，
∴＝，
∴BD＝＝3，
∴⊙O的半径＝．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键．
22．四边形ABCD是菱形，点N是射线BA上一动点，点P，Q是直线BC上的两个动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝BN作线段BQ的垂直平分线，分别交直线BD，BC于点E，M，连接EN，EP．
（1）发现
如图（1），当P，Q两点都在线段BC上时，EN与EP的数量关系为　相等　；
（2）拓展
如图（2），当P、Q两点都在线段CB的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
（3）应用
如图（3），当点P，Q都在射线BC上，且点Q的位置固定时，连接NP，若∠ABC＝60°，BQ＝6，请直接写出NP的最小值．

【分析】（1）如图1，连接EQ，根据菱形的性质得到∠NBE＝∠PBE，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EQ，求得∠EBN＝∠EQP，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接EQ，根据菱形的性质得到∠ABD＝∠DBC，求得∠ABD＝∠EBM，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EQ，根据等腰三角形的性质得到∠EBP＝∠EQM，求得∠EBN＝∠EQP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）如图3，连接EQ，根据菱形的性质得到∠NBE＝∠PBE，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EQ，求得∠EBN＝∠EQP，根据全等三角形的性质得到EN＝EP，∠NEB＝∠PEQ，解直角三角形即可得到结论．．
【解答】解：（1）EN与EP的数量关系为相等，
理由：如图1，连接EQ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠NBE＝∠PBE，
∵EM是BQ的垂直平分线，
∴EB＝EQ，
∴∠EBP＝∠EQM，
∴∠EBN＝∠EQP，
在△EBN与△EQP中，，
∴△EBN≌△EQP（SAS），
∴EN＝EP；
（2）（1）中结论仍然成立，
证明：如图2，连接EQ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠EBM＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EBM，
∵EM是BQ的垂直平分线，
∴EB＝EQ，
∴∠EBP＝∠EQM，
∴∠EQM＝∠ABD，
∴∠EBN＝∠EQP，
在△EBN与△EQP中，，
∴△EBN≌△EQP（SAS），
∴EN＝EP；
（3）如图3，连接EQ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠NBE＝∠PBE，
∵EM是BQ的垂直平分线，
∴EB＝EQ，
∴∠EBP＝∠EQM，
∴∠EBN＝∠EQP，
在△EBN与△EQP中，，
∴△EBN≌△EQP（SAS），
∴EN＝EP，∠NEB＝∠PEQ，
∴∠NEP＝∠BEQ，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBQ＝∠EQB＝30°，
∵BQ＝6，
∴BM＝3，
∴BE＝2，
∵∠BEQ＝∠NEP，EN＝EP，EB＝EQ，
∴∠ENP＝∠EBQ＝∠EPN＝∠EQB，
∴△EBQ∽△NEP，
∴，
∴，
当NP取最小值时，取最小值，取最小值，
即EN取最小值，
∴当EN⊥AB时最小，
∵∠ABE＝30°，BE＝2，
∴EN＝BE＝，
∴PN＝3，
∴NP的最小值为3．

【点评】本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1），顶点为M，直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若抛物线C1与x轴只有一个公共点，求a的值；
（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式；
（3）将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N．
①若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系；
②当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值增大而减小，求t的取值范围．
【分析】（1）抛物线与x轴只有一个交点，即只有顶点M在x轴上，故M的纵坐标为0．
（2）过点M作MH∥y轴，把△ABM分成△AMH与△BMH，以MH为底，点A、点B分别到MH的距离为高，即可求面积．由于点A不确定位置，故需要分类讨论．
（3）①根据题意，点M绕点P（t，﹣2）旋转180°得到点N，所以MP＝NP，即P为MN中点，根据中点坐标公式可求a与t的关系式．
②旋转前的抛物线对称轴为直线x＝1，要满足在﹣2≤x≤1时y随x的增大而减小，即在对称轴左侧抛物线下降，故开口向上；则旋转后的抛物线开口向下，对称轴必须在x＝﹣2的左侧，即求出t的范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2
∴抛物线顶点M（1，﹣a﹣2）
∵抛物线与x轴只有一个交点
∴﹣a﹣2＝0
解得：a＝﹣2

（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，交x轴于G
∵点H在直线l：y＝2x﹣a上
∴H（1，2﹣a）且2﹣a＞﹣a﹣2即点H一定在点M上方
∴MH＝2﹣a﹣（﹣a﹣2）＝4
∵直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于点A，B
∴A（，0），B（0，﹣a）
①如图1，当≥1即a≥2时，点A在直线x＝1的右方
∴S＝S△AMH+S△BMH＝＝•4＝a
②如图2，当0＜＜1即0＜a＜2时，点A在直线x＝1的左方
∴S＝S△BMH﹣S△AMH＝
综上所述，S＝a


（3）①∵点M（1，﹣a﹣2）绕点P（t，﹣2）旋转180°得到点N
∴点P为MN中点
设N（m，n），则有
整理得：m＝2t﹣1，n＝a﹣2
∵点N在直线l：y＝2x﹣a上
∴a﹣2＝2（2t﹣1）﹣a
整理得：a＝2t
②∵旋转前抛物线对称轴为直线x＝1
∴当a＞0抛物线开口向上时，在﹣2≤x＜1的范围内满足y随x增大而减小
∴旋转后抛物线开口向下，且顶点N（2t﹣1，a﹣2）
∵要满足在﹣2≤x＜1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降
∴对称轴直线x＝2t﹣1需在x＝﹣2左侧
∴2t﹣1≤﹣2
解得：t≤
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数中的面积问题，中心对称．画出抛物线示意图是解题必须步骤；第（3）①题中心对称性质是解题关键；②题借助图象思考增减性问题．
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日期：2021/11/14 23:16:14；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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