2015-2016学年杭州市建兰中学九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年杭州市建兰中学九上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如果 ab=29，那么 a+bb=
A. 119B. 97C. 911D. −79

2. 抛物线 y=−2x2+4x−5 顶点坐标是
A. −4,5B. 4,−5C. 1,−3D. −1,−3

3. 在盒子里放有三张分别写有整式 a+1 、 a+2 、 2 的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是
A. 13B. 23C. 16D. 34

4. 下列命题正确的个数是
① 一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形．
②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等
③对角线垂直相等的四边形是正方形
④圆的切线垂直于圆的半径
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 一扇形的半径等于已知圆的半径的 3 倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为
A. 20∘B. 120∘C. 100∘D. 40∘

6. 函数 y=kx 与 y=−kx2+kk≠0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

7. 如图所示，在 △ABC 中，DE∥AB∥FG，且 FG 到 DE，AB 的距离之比为 1:2．若 △ABC 的面积为 32，△CDE 的面积为 2，则 △CFG 的面积 S 等于
A. 6B. 8C. 10D. 12

8. 如图所示，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为
A. 32B. 1C. 3D. 323

9. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，令 M=4a−2b+c+a+b+c−2a+b+2a−b，则
A. M>0B. M<0
C. M=0D. M 的符号不能确定

10. 如图所示，已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点 E 和 F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为
A. 43B. 245C. 43 或 245D. 23 或 125

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 抛物线 y=x2−2x−3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式为 ．

12. 圆内接四边形相邻三个内角之比是 3:4:6，则该四边形内角中最大度数是 ．

13. 从长度为 2，3，5，7 的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．

14. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，弦 PQ∥AB 交弦 CD 于点 M，BE=18，CD=PQ=24，则 OM 的长为 ．

15. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AB=5，D 是 AB 延长线上一点，连接 CD，若 ∠DCB=∠A，BD:DC=1:2，则 △ABC 的面积为 ．

16. 如图，抛物线 y1=ax+22−3 与 y2=12x−32+1 交于点 A1,3，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C，则以下结论：
①无论 x 取何值，y2 的值总是正数；② a=23；③当 x=0 时，y2−y1=4；④ 2AB=3AC；
其中，结论正确的是 ．（填写序号即可）

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 如图，已知 AB，CD 是 ⊙O 的直径，E 是 ⊙O 上一点，且 AC=DE．求证：BD=DE．

18. 小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到 1 至 4 层的任意一层出电梯，请你帮他计算一下．
（1）小明想求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平?若公平，说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．

19. 如图：在 △ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．
（1）作 △ABC 的外接圆 O，作直径 AE（尺规作图）；
（2）若 AB=8，AC=6，AD=5，求 △ABC 的外接圆 O 直径 AE 的长．

20. 已知二次函数 y=a−b2x2−cx−a−b2，当 x=1 时有最小值 −85b，其中 a，b，c 分别是 △ABC 中 ∠A，∠B，∠C 的对边，请判断 △ABC 是什么特殊三角形，说明理由并求出 ∠A 的余弦值．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 P，D 分别是 BC，AC 边上的点，且 ∠APD=∠B．
（1）求证：AC⋅CD=CP⋅BP；
（2）若 AB=10，BC=12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长．

22. 某超市经销一种销售成本为每件 40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件 50 元销售，一周能售出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销售量就减少 10 件．设销售单价为 x 元 x≥50，一周的销售量为 y 件．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）在超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，要使得一周的销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少元?

23. 如图1，已知 A3,0 、 B4,4 、原点 O0,0 在抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点 D，求 m 的值及点 D 的坐标；
（3）如图2，若点 N 在抛物线上，且 ∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足 △POD∽△NOB 的点 P 的坐标（点 P 、 O 、 D 分别与点 N 、 O 、 B 对应）．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】利用配方法可得 y=−2x2+4x−5=−2x−12−3，故顶点的坐标是 1,−3．
3. B【解析】根据题意，共可组成以下 6 个式子：① a+1a+2，② a+2a+1，③ 2a+1，④ a+12，⑤ 2a+2，⑥ a+22，其中分式有①②③⑤，共 4 个，
∴ P组成分式=46=23．
4. B
5. D
6. B【解析】由解析式 y=−kx2+k 可得：抛物线对称轴为直线 x=0；
A、由双曲线的两支分别位于第二、四象限，可得 k<0，则 −k>0，抛物线开口方向向上、抛物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上；本图象与 k 的取值相矛盾，故 A 错误；
B、由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得 k>0，则 −k<0，抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得 k>0，则 −k<0，抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得 k>0，则 −k<0，抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故D错误．
7. B
8. A【解析】设圆的半径为 1，
由题意知三个正方形的交点为圆心，也是等边三角形的外心．
正方形的对角线长为 1，
故正方形的边长为 22，
等边三角形的边长为 3．
故等边三角形与三个正方形的面积和之比为 34×323×222=32．
9. B
10. B
【解析】如图①所示，
当 A 为等腰三角形的顶点，点 D 为底边的中点时，设 BD=DC=a，AB=AC=b，则 BE=b−2，CF=b−4．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又 ∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，
∴ 点 B 与点 C 、点 E 与点 D，点 D 与点 F 为对应点，即 △BED∽△CDF，
∴BE:CD=ED:DF=BD:CF，即 b−2:a=3:2=a:b−4，解得 a=125，
∴BC=2a=245．
如图②所示，当点 D 为等腰三角形的顶点，点 A 为底边的中点时，设 BA=AC=a．BD=CD=b，
则 BE=b−3，CF=b−2．
∵BD=CD，
∴∠B=∠C，
∴ 点 B 与点 C 为对应点．若点 E 与点 F 、点 A 与点 A 为对应点，
由 △BEA∽△CFA，可得 BE:CF=EA:FA=BA:CA，即 b−3:b−2=2:4=a:a，无解；
若点 E 与点 A，点 A 与点 F 为对应点，由 △BEA∽△CAF，
可得 BE:CA=EA:AF=BA:CF，即 b−3:a=2:4=a:b−2，
解得 a=23，b=103，此时 BA=23，BE=b−3=13，BE，BA，EA 不能构成三角形，故此种情况不成立．
综上所述，这个等腰三角形底边长为 245．
第二部分
11. y=−x2+2x+3
【解析】∵ 抛物线 y=x2−2x−3 关于 x 轴对称的抛物线为 −y=x2−2x−3，
∴ 所求解析式为：y=−x2+2x+3．
12. 120∘
13. 14
14. 52
15. 5
【解析】∵∠DCB=∠A，∠D=∠D，
∴△CBD∽△ACD，
∴BD:CD=CB:AC，
∵BD:DC=1:2，
∴CB:AC=1:2，
设 CB 为 x，则 AC=2x，
∵AB=5，
∴ 根据勾股定理可知：x2+4x2=25，解得 x=5 或 x=−5（舍去），即 CB=5，AC=25，
∴S△ABC=5×25÷2=5．
16. ①②④
【解析】①由图象可知，y2 的图象在 x 轴的上方，可见，无论 x 取何值，y2 的值总是正数，故本选项正确；
②将点 A1,3 代入抛物线 y1=ax+22−3，得 1+22a−3=3，解得 a=23，故本选项正确；
③当 x=0 时，y1=23×0+22−3=−13，y2=12×0−32+1=112，y2−y1=112+13=356，故本选项错误；
④令 23x+22−3=3，解得，x1=1 或 x2=−5；
∴AB=5+1=6，
令 12x−32+1=3，解得，x3=5，x4=1；
∴AB=5−1=4，
则 2AB=3AC．故本选项正确．
第三部分
17. 因为 ∠AOC=∠BOD，
所以 AC=BD，
因为 AC=DE，
所以 DE=BD，
所以 BD=DE．
18. （1） 列表：
一共有 16 种等可能的结果，其中在同一层楼出电梯的有 4 种结果，
则 P甲、乙在同一层楼出电梯=416=14．
（2） 不公平．
由（1）知：甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯的情况共有 10 种，
∴P小亮胜=1016=58，P小芳胜=1−58=38，
∵58>38，
∴ 游戏不公平，
修改规则：若甲、乙都在 1 层或 2 层或都在 3 层或 4 层出电梯，则小亮获胜，否则小芳获胜．（答案不唯一）
19. （1） 如图：
（2） 由作图可知 AE 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠ABE=90∘，
因为 AD⊥BC，
所以 ∠ADC=90∘，
所以 ∠ABE=∠ADC，
因为 AB=AB，
所以 ∠E=∠C，
所以 △ABE∽△ADC，
所以 ACAE=ADAB，即 6AE=58，
所以 AE=9.6．
20. ∵ 当 x=1 时，二次函数 y=a−b2x2−cx−a−b2 有最小值 −85b，
∴ −−c2a−b2=1,a−b2−c−a−b2=−85b, 解得 c=35b,a=45b.
∴ a2+c2=b2，
∴ △ABC 是直角三角形．且 ∠B=90∘，
∴ csA=cb=35．
21. （1） ∵∠APC=∠PAB+∠B，
∠APD=∠B，
∴∠DPC=∠PAB．
又 AB=AC，
∴∠ABP=∠PCD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ABPC=BPCD，
∴ACPC=BPCD，
∴AC⋅CD=CP⋅BP．
（2）
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B，
∴∠PAB=∠B．
又 ∠B=∠C，
∴∠PAB=∠C．
又 ∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC，
∴BPAB=ABBC，
∴BP=AB2BC=10212=253．
22. （1） 由题意得：y=500−10x−50=1000−10x50≤x≤100．
（2） S=x−401000−10x=−10x2+1400x−40000,
令 −10x2+1400x−40000=8000，
∴x2−140x+4800=0，
即 x−60x−80=0，
解得：x1=60，x2=80，
当 x=60 时，成本为 40×500−10×60−50=16000>10000 不符合要求，舍去．
当 x=80 时，成本为 40×500−10×80−50=8000<10000 符合要求．
∴ 销售单价应定为 80 元，才能使得超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，销售利润达到 8000 元．
23. （1） ∵A3,0 、 B4,4 、 O0,0 在抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上．
∴9a+3b+c=0,16a+4b+c=4,c=0,
解得 a=1,b=−3,c=0,
故抛物线的解析式为 y=x2−3x．
（2） 设直线 OB 的解析式为 y=k1xk1≠0，
由点 B4,4 得 4=4k1，解得 k1=1．
∴ 直线 OB 的解析式为 y=x，
设平移后的解析式为：y=x−m，
联立方程：y=x−m,y=x2−3x,
∵ 抛物线与平移后的直线只有一个交点，
∴Δ=16−4m=0，
∴m=4，点 D 的坐标为 2,−2
（3） ∵ 直线 OB 的解析式 y=x，且 A3,0．
∵ 点 A 关于直线 OB 的对称点 Aʹ 的坐标为 0,3．
设直线 AʹB 的解析式为 y=k2x+3，此直线过点 B4,4．
∴4k2+3=4，
解得 k2=14．
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=14x+3．
∵∠NBO=∠ABO，
∴ 点 N 在直线 AʹB 上，
设点 Nn,14n+3，
又点 N 在抛物线 y=x2−3x 上，
∴14n+3=n2−3n．
解得 n1=−34，n2=4（不合题意，舍去），
∴ 点 N 的坐标为 −34,4516．
如图，将 △NOB 沿 x 轴翻折，得到 △N1OB1，
则 N1−34,−4516，B14,−4．
∴O 、 D 、 B1 都在直线 y=−x 上．
过点 D 作 DP1∥B1N1 交 ON1 于点 P1．
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴△P1OD∽△NOB，
∴OP1ON1=ODOB1=12，
∴P1 为 ON1 的中点．
∴ 点 P1 的坐标为 −38,−4532．
将 △P1OD 沿直线 y=−x 翻折，可得另一个满足条件的点到 x 轴距离等于 P1 到 y 轴距离，点到 y 轴距离等于 P1 到 x 轴距离，
∴ 此点坐标为 4532,38．
综上所述，点 P 的坐标为 −38,−4532 和 4532,38．