人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算精练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算精练，共13页。试卷主要包含了1　空间向量及其运算，给出以下结论，化简等内容，欢迎下载使用。

1.1.1 空间向量及其运算
基础过关练
题组一 空间向量的概念及其加减运算
1.(2019山东德州高二月考)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量AA'的模一定相等的向量有( )

A.0个B.3个C.7个 D.9个
2.(2020甘肃兰州一中高二期末)已知空间中任意四个点A,B,C,D,则DA+CD-CB=( )
A.DB B.AC C.AB D.BA
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:
①(A1D1-A1A)-AB;
②(BC+BB1)-D1C1;
③(AD-AB)-2DD1;
④(B1D1+A1A)+DD1.
其中能够化简为向量BD1的是 (填序号).
4.(2019上海延安中学高二期中)给出以下结论:
①空间中任意两个共起点的向量都是共面的;
②两个相等向量就是长度相等的两条有向线段表示的向量;
③空间向量的加法满足结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
其中正确的结论是 (填序号).
题组二 空间向量的线性运算
5.(2019北京高二期末)在空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则AD+12(BC-BD)=( )
A.AD B.FAC.AF D.EF
6.化简:12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(a-2b-c)= .
7.(2019山东禹城第一中学高二期中考试)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:A1O-12AB-12AD;
(2)设E是棱DD1上的点,且DE=23DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1,试求实数x、y、z的值.
题组三 空间向量的数量积运算
8.(2019安徽合肥高二期末)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,等于( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
9.若|a|=1,|b|=2,c=a+b且c⊥a,则向量a与b的夹角是( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
10.已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·12b=( )
A.15 B.3C.-3 D.5
11.已知a·b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)·(λa-b)=0,则λ=( )
A.32 B.-32 C.±32 D.1
能力提升练
题组一 空间向量的加法、减法及数乘运算
1.(2019湖南常德一中高二月考,)在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若△BCD是正三角形,且E为其重心,则AB+12BC-32DE-AD的化简结果是( )
A.AB B.2BD
C.0 D.2DE
2.(2018山东临沂一中高二月考,)在正三棱柱ABC-A1B1C1中, M为△A1B1C1的重心,若AB=a,AC=b,AA1=c,则CM= .
题组二 空间向量的数量积、模和夹角问题
3.(2019山东烟台高二期末,)在棱长为2的正四面体A-BCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·CF=( )
A.0 B.-2 C.2 D.-3
4.(2019广东广州高二期末,)设A,B,C,D是空间中不共面的四个点,且满足AB·AC=0,AB·AD=0,AC·AD=0,则△BCD是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.等边三角形
5.(2020江西宜春高二期末,)如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 ( )
A.2BA·AC B.2AD·DB
C.2FG·AC D.2EF·CB
6.(多选)(2019山东菏泽高二期末,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是( )
A.四边形ABC1D1的面积为|AB||BC1|
B.AD1与A1B的夹角为60°
C.(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12
D.A1C·(A1B1-A1D1)=0
7.(2019东北育才学校高二月考,)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,AD=4,AB=3,AA1=5,则|AC1|= .
8.(2020湖南长沙一中高二期末,)已知向量a,b,c之间的夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|= .
9.(2020重庆西南大学附中高二期末,)如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.
10.(2020山东临沂蒙阴实验中学高二期末,)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC的边长为2.
(1)设侧棱长为1,试用向量法证明:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为π3,求侧棱的长.
答案全解全析
基础过关练
1.C 向量的模相等即长度相等,根据平行六面体的性质可知,与向量AA'的模一定相等的向量有A'A,BB',B'B,CC',C'C,DD',D'D,共7个.故选C.
2.D 由题意得DA+CD-CB=(CD+DA)-CB=CA-CB=BA.故选D.
3.答案 ①②
解析 ①中,(A1D1-A1A)-AB=AD1-AB=BD1;
②中,(BC+BB1)-D1C1=BC1-D1C1=BD1;
③中,(AD-AB)-2DD1=BD-2DD1≠BD1;
④中,(B1D1+A1A)+DD1=B1D+DD1=B1D1≠BD1.
4.答案 ①③④
解析 ①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,易知三点共面,则两向量共面,故正确;
②中,两个向量相等是指两个向量的大小相等、方向相同,故错误;
③中,空间向量的加法满足结合律,故正确;
④中,由向量加法的三角形法则可知正确.
故答案为①③④.
5.C ∵BC-BD=DC,∴12(BC-BD)=12DC=DF,
∴AD+12(BC-BD)=AD+DF=AF.
6.答案 56a+92b+296c
解析 原式=12+5×23-3a+12×2-5×12+6b+12×(-3)+5×23-3×
(-1)c=56a+92b+296c.
7.解析 (1)∵AB+AD=AC,
∴A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-12AC=A1O-AO=A1A.
(2)∵EO=ED+DO=23D1D+12DB
=23D1D+12(DA+AB)
=23A1A+12DA+12AB
=12AB-12AD-23AA1,
∴x=12,y=-12,z=-23.
8.D 如图所示,
连接A'D,BD,则B'D'=BD,
∴是∠DBA'的补角,
∵A'D=A'B=BD,
∴∠DBA'=60°,
∴=120°,故选D.
9.C 因为c⊥a,所以c·a=(a+b)·a=0,所以a·b=-1,所以cs=a·b|a||b|=-12,故向量a与b的夹角是120°.
10.B (6a)·12b=3a·b=3×(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.故选B.
11.A ∵(3a+2b)·(λa-b)=0,
∴3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,
即12λ-18=0,解得λ=32.故选A.
能力提升练
1.C 如图所示,取BC的中点F,则12BC=BF,又E为正三角形BCD的重心,即DF上靠近F的三等分点,所以32DE=DF,则AB+12BC-32DE-AD=AB+BF-DF-AD=AF+FD-AD=AD-AD=0.
2.答案 c+a3-2b3
解析 如图,连接C1M并延长,交A1B1于点D,
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,AB=a,AC=b,AA1=c,
∴CM=CC1+C1M=c+23C1D=c+23×12(C1A1+C1B1)=c+13(-b+AB-AC)=c+13(-b+a-b)
=c+a3-2b3.
3.B 如图所示,
因为在棱长为2的正四面体A-BCD中,E,F分别是BC,AD的中点,
所以AE·CF=12(AB+AC)·12(CA+CD)=14(AB·CA+AB·CD+AC·CA+AC·CD)
=14(2×2×cs 120°+2×2×cs 90°+2×2×cs 180°+2×2×cs 120°)=-2,故选B.
4.B 因为AB·AC=0,AB·AD=0,AC·AD=0,
所以BC·BD=(AC-AB)·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB-AB·AD+AB2=AB2>0,
∴cs B=BC·BD|BC||BD|>0,故∠B是锐角,
同理CB·CD>0,DC·DB>0,可得∠D,∠C都是锐角,故△BCD是锐角三角形,故选B.
5.C 由题意可知,===120°,
∴2BA·AC=2|BA||AC|cs 120°= -a2,
2AD·DB=2|AD||DB|cs 120°=-a2.
∵点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,
∴FG∥AC且FG=12AC,EF∥BD且EF=12BD,
∴2FG·AC=AC2=a2,2EF·CB=BD·CB=|BD||CB|cs 120°=-12a2.
故选C.
6.ACD 由AB⊥面BB1C1C,得AB⊥BC1,所以四边形ABC1D1的面积为|AB||BC1|,故A正确;
∵△ACD1是等边三角形,∴∠AD1C=60°,又∵A1B∥D1C,∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°,但是向量AD1与A1B的夹角为120°,故B错误;
由向量加法的运算法则可以得到AA1+A1D1+A1B1=AC1,∵AC12=3A1B12,∴(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12,故C正确;
易得A1B1-A1D1=D1B1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D中,D1B1⊥面AA1C1C,∴D1B1⊥A1C,∴A1C·D1B1=0,故D正确.故选ACD.
7.答案 97
解析 ∵六面体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,且AC1=AA1+AD+AB,
∴|AC1|2=(AA1+AD+AB)2=|AA1|2+|AB|2+|AD|2+2AA1·AD+2AA1·AB+2AB·AD.
又∵∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,AD=4,AB=3,AA1=5,
∴|AC1|2=25+9+16+2×5×4×cs 60°+2×5×3×cs 60°+2×3×4×
cs 60°=97,
∴|AC1|=97.
8.答案 3
解析 因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×1×1×cs 60°-4×1×1×cs 60°+2×1×1×cs 60°=3,所以|a-2b+c|=3.
9.解析 因为AD=AB+BC+CD,所以|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2AB·BC+2AB·CD+2BC·CD=12+2×(2×2×cs 90°+2×2×cs 120°+2×2×cs 90°)=8,所以|AD|=22,即A,D两点间的距离为22.
10.解析 (1)证明:AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.
因为BB1⊥平面ABC,所以BB1·AB=0,BB1·BC=0,
又因为△ABC为正三角形,
所以=π-=π-π3=2π3.
所以AB1·BC1=(AB+BB1)·(BB1+BC)=AB·BB1+AB·BC+BB12+BB1·BC=|AB|·|BC|cs+BB12=-1+1=0.
所以AB1⊥BC1,∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cs+BB12=BB12-1.
又|AB1|= AB2+BB12=2+BB12=|BC1|,
所以cs=BB12-12+BB12=12,
所以|BB1|=2,即侧棱的长为2.