人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律课时作业

第八章　向量的数量积与三角恒等变换

8.1　向量的数量积

8.1.1　向量数量积的概念

8.1.2　向量数量积的运算律

基础过关练

题组一　向量数量积的运算

1.若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,则a·b=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.2        B.       C.1       D.

2.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·=(　　)

A.-12     B.12      C.-16    D.16

3.已知向量⊥,||=3,则·=(　　)

A.9        B.8      C.7      D.10

题组二　向量的投影

4.已知|a|=3,|b|=5,|a+b|=7,则a在b上的投影的数量为(　　)

A.-     B.1      C.      D.2

5.已知|a|=1,|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d上的投影的数量为(　　)

A.      B.-    C.1      D.-1

6.已知向量a,b,若a在b上的投影的数量为3,|b|=2,则a·b=　　　　. 

7.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,求向量b在向量a上的投影的

数量.

题组三　求向量的模

8.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=(　　)

A.     B.     C.       D.

9.在平行四边形ABCD中,若AD=2,AB=3,则||2+||2的值是(　　)

A.26     B.34     C.68       D.32

10.已知平面向量a,b满足|a+b|=1,|a-b|=x,a·b=-x,则x=(　　)

A.      B.2      C.    D.3

11.已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=　　　　. 

题组四　向量的夹角与向量垂直

12.若a·b<0,则a与b的夹角θ的取值范围是(　　)

A.0°≤θ<90°          B.90°≤θ<180°

C.90°<θ≤180°          D.90°<θ<180°

13.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=,则向量a与b的夹角为(　　)

A.45°       B.60°       C.135°        D.120°

14.已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与b的夹角为(　　)

A.          B.          C.           D.

15.已知平面向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4,若(ma+b)⊥a,则

实数m=　　　　. 

16.正方形ABCD中,E为BC的中点,向量,的夹角为θ,则

cos θ=　　　　. 

题组五　数量积的简单应用

17.在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是(　　)

A.锐角三角形          B.直角三角形

C.钝角三角形          D.等腰三角形

18.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(　　)

A.菱形     B.矩形　　 C.正方形      D.直角梯形

能力提升练

一、单项选择题

1.(疑难2,★★☆)若·+=0,则△ABC为(　　)

A.直角三角形         B.钝角三角形

C.锐角三角形         D.等边三角形

2.(疑难2,★★☆)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(a+2b),则a与b的夹角的余弦值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.     B.      C.-    D.-

3.(2019山东烟台高三上期中,★★☆)已知边长为1的等边三角形ABC,D为AB的中点,E是BC边上一点,若=2,则·=(　　)

A.        B.-       C.    D.-

4.(★★☆)在△ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,则·=(　　)

A.-7     B.7       C.-28    D.28

5.(疑难1,★★☆)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b⊥(a+b),则向量b在向量a+2b上的投影的数量为(　　)

A.1         B.-1         C.-         D.

6.(疑难1,★★☆)已知边长为2的等边三角形ABC和点D在同一平面内,若3+=0,则·=(　　)

A.2         B.-2         C.-4         D.4

7.(2018安徽芜湖高三模拟,★★★)如图,AB为圆O的一条弦,且AB=4,则·=(　　)

A.4          B.-4      C.8         D.-8

二、多项选择题

8.(疑难1,★★☆)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是(　　)

A.0·a=0             B.(a·b)·c=a·(b·c)

C.a·b=0⇒a⊥b          D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2

9.(疑难2,★★☆)在△ABC中,下列结论正确的是(　　)

A.-=

B.·<||·||

C.若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形

D.若·>0,则△ABC为锐角三角形

三、填空题

10.(★★★)在边长为2的等边三角形ABC中,点O为△ABC外接圆的圆心,则·(+)=　　　　. 

四、解答题

11.(疑难1、2,★★☆)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4.

(1)求|a+b|,|4a-2b|;

(2)当k(k∈R)为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?

12.(★★☆)如图,在△OAB中,点P为直线AB上的一个动点,且满足=λ.

(1)若λ=,用向量,表示;

(2)若||=4,||=3,且∠AOB=60°,请问λ取何值时⊥?

答案全解全析

基础过关练

1.B　∵|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,∴a·b=|a||b|cos 60°=2××=,故选B.

2.D　因为C=90°,所以cos A=,所以·=||||cos A=||·||·=||2=42=16.

3.A　因为⊥,所以·=0,所以·=·(+)=+·==9.

4.C　由题意可得(a+b)2=a2+b2+2a·b=9+25+2a·b=49,则a·b=.

设向量a,b的夹角为θ,

则cos θ===,

因此a在b上的投影的数量为|a|cos θ=3×=.故选C.

5.D　由题意得a·b=1××cos 45°=1,|d|===1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d上的投影的数量为=-1,故选D.

6.答案　6

解析　由题意可得|a|cos<a,b>=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=6,故答案为6.

7.解析　设向量a,b的夹角为θ,∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=0,∴a·b=a2=1,∴向量b在向量a上的投影的数量为|b|cos θ==1.

8.B　∵|a|=|b|=1,a·b=-,

∴|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=1-2+4=3,

∴|a+2b|=,故选B.

9.   A　因为=+,=-,

所以||2+||2=(+)2+(-)2=2(+)=2×(32+22)=26,故选A.

10.B　|a+b|2=a2+2a·b+b2=1,|a-b|2=a2-2a·b+b2=x2,两式相减得4a·b=1-x2=-x,解得x=2,负值舍去.

11.答案　3

解析　∵<a,b>=30°,|a|=1,|2a-b|=,∴(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4a2-4·|a|·|b|·cos 30°+b2=4-2|b|+|b|2=13,解得|b|=3(负值舍去),故答案为3.

12.C　由a·b=|a|·|b|·cos θ<0知cos θ<0,故夹角θ的取值范围是90°<θ≤180°.

13.D　由|a+b|=,两边平方得a2+2a·b+b2=7,a·b==-3.

设向量a与b的夹角为θ(0°≤θ≤180°),则cos θ===-,所以θ=120°,故选D.

14.B　由题意得a·(a-b)=|a|2-a·b=0,

因为|a|=1,|b|=,

所以1-1××cos<a,b>=0,

解得cos<a,b>=.

因为<a,b>∈[0,π],

所以<a,b>=.

故选B.

15.答案　1

解析　∵向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4,

∴a·b=|a||b|cos 120°

=2×4×-=-4.又(ma+b)⊥a,

∴(ma+b)·a=m|a|2+a·b=4m-4=0,解得m=1.

16.答案　-

解析　设正方形的边长为a,则||=a,||=a,又·=+·(-)=-+·=-a2,所以cos θ===-.

17.C　因为a·b>0,所以·>0,

所以·<0.因为|a|>0,|b|>0,所以cos B<0,所以B为钝角,所以△ABC是钝角三角形.无法判断其是不是等腰三角形,故选C.

18.A　因为+=0,所以=,

所以四边形ABCD为平行四边形.

又因为(-)·=0,

所以·=0,即DB⊥AC,

所以平行四边形ABCD为菱形.

能力提升练

一、单项选择题

1.A　∵·+=·(+)=·=0,∴⊥,∴∠BAC=90°,∴△ABC为直角三角形.

2.D　设a与b的夹角为θ,

∵(a-b)⊥(a+2b),

∴(a-b)·(a+2b)

=a2-2b2+|a||b|cos θ=0.

∵|a|=|b|,

∴cos θ=-=-=-,故选D.

3.B　如图,∵=2,∴=+=+(-)=+,=-=-.又AB=BC=AC=1,

∴·=·

=||2-·-||2

=×12-×1×1×-×12=-,

故选B.

4.A　在△ABC中,设BC边的中点为D,

则=-.

由题意知||=4,||=3,

则·=(+)·(+)=(-)·(+)=-=9-16=-7.故选A.

5.D　∵b⊥(a+b),

∴b·(a+b)=a·b+b2=0,

∴a·b=-b2=-1.

∴b·(a+2b)=a·b+2b2=1,|a+2b|==2,

∴向量b在向量a+2b上的投影的数量为=.故选D.

6.C　由3+=0得=-3,所以=3,=+=+3,所以·=·(+3)=·+3·=2×2×cos +3×2×2×cos =-4,故选C.

7.D　设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,

则·=2·

=2||·||·cos(π-∠OAB)

=-2×2·||·cos∠OAB

=-4||=-8.故选D.

二、多项选择题

8.AB　∵0·a=0,∴A中结论错误;向量的数量积不满足结合律,∴B中结论错误;当a·b=0时,a与b的夹角为90°,即a⊥b,∴C中结论正确;易知D中结论正确.故选AB.

9.BC　对于A,-=,故A中结论错误;

对于B,设θ为向量与的夹角,因为·=||·||·cos θ,而cos θ<1,故·<||·||,故B中结论正确;

对于C,(+)·(-)=-=0,故||=||,所以△ABC为等腰三角形,故C中结论正确;

对于D,取A=B=,C=,满足·=||||cos A>0,但△ABC为钝角三角形,故D中结论错误.故选BC.

三、填空题

10.答案　-4

解析　如图,在等边三角形ABC中,O是等边三角形ABC外接圆的圆心,则O也是等边三角形ABC的重心.设AO的延长线交BC于点D,

则AD垂直平分BC,

因为三角形ABC的边长为2,

所以AD=3,圆的半径OA=2,

故+=2=-,

所以·(+)=-=-4.

四、解答题

11.解析　由已知得a·b=2×4×=-4.

(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2×(-4)+16=12,∴|a+b|=2.

∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×4-16×(-4)+4×16=192,

∴|4a-2b|=8.

(2)若(a+2b)⊥(ka-b),

则(a+2b)·(ka-b)=0,

∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,

即4k-4×(2k-1)-2×16=0,∴k=-7.

即当k=-7时,(a+2b)⊥(ka-b).

12.解析　(1)由题意得=,

∴-=(-),

∴=+.

(2)由题意知·=4×3×cos 60°=6.

∵=λ,

∴-=λ(-),

∴=(1-λ)+λ.

若⊥,

则·=[(1-λ)+λ]·(-)=0,

∴(1-2λ)·-(1-λ)+λ

=6(1-2λ)-16(1-λ)+9λ=0,

解得λ=.

∴当λ=时,⊥.