【专项复习】2022年中考数学专项 第5讲 二次函数的图象和性质（含答案）学案

第二十二章 二次函数

第5讲  二次函数的图象和性质

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1.二次函数的概念。

2.二次函数的图象与性质。

3.图象的平移规律。

【板块一】二次函数的图象和性质

方法技巧

理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题.

题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置

【例1】(1)抛物线y＝2x²＋1的开口方向是  向上  ，对称轴是  y轴  ，顶点坐标是  (0，1)  ；二次函数y＝－(x＋1)²﹣2的图象的开口方向是  向下  ，对称轴是直线  x＝﹣1  ，顶点坐标是(﹣1.﹣2).

(2)抛物线y＝2x²＋1在x轴的  上  方；当x＞0时，图象自左向右逐渐  上升  ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－(x＋1)²﹣2，当x  为全体实数  时，它的图象在x轴的  下方  ，顶点是  最高点  。

【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，y＝a(x﹣h)²＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛物线的顶点为最高点。

题型二 抛物线的开口大小

【例2】如图，若抛物线y＝ax²与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是(　　)

A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2

【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，，∴≤a≤2.

故选Ｄ．

【点评】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x²；②y＝－x²，③y＝－2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是  ②③①  .

【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故抛物线I的解析式为y＝－x²，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x².故填②③①

题型三 抛物线的对称性

【例4】抛物线y＝ax²＋bx＋5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上，则点C的坐标可能是(　　)

A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2)

【解析】抛物线经过(0，5)，A(2,5)，由对称性可知对称轴为直线x＝1，由对称性知点B(﹣1，2)关于对称轴的对称点为(3，2)，故选C.

针对练习1

1.已知二次函数y＝－x²＋1，其图象的开口向  下  ，对称轴为  直线x＝0  ，顶点坐标为  (0,1)  ，该图象的顶点是最  高  点。

2.如图，点A1，A2，…，An。在抛物线y＝x²上，点B1，B2，.…，Bn。在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn。都为等腰直角三角形(点B0为坐标原点)，则△A2019 B2018 B2019的腰长等于(　　)

A.2018 B.2019 C.2018 D.2019

【答案】选C

3.如图，抛物线y＝a(x﹣h)²＋k与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两个点)，顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是  ﹣ ≤a≤－  .

【答案】﹣ ≤a≤－

4．抛物线y＝(x﹣h)²＋k过点A(2，6)，且对称轴与线段BC有交点，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范围.

解：∵1≤h≤4，k＝6﹣(2﹣h)²，∴2≤k≤6.

5.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线y＝ax²＋bx＋2018(a≠0)上的两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值是(　　)

A.＋5 B.﹣＋5 C.2019 D.2018

解：由抛物线的对称性知A，B关于对称轴x＝－对称，∴.x1＋x2＝－，∴当x＝x1＋x2时，y＝a(－)²＋b(－)＋2018＝2018.故选Ｄ

【板块二】二次函数的增减性

方法技巧

比较二次函数值的大小的方法：

(1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小；

(2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较.

(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。

题型一 运用二次函数的增减性比较大小

【例1】若点A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)为二次函数y＝(x＋1)²＋k的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2：

【解析】对称轴为直线x＝﹣1，点C(3，y1)关于直线x＝﹣1的对称点C’(﹣5，y3)，∵a＞0，﹣5＜﹣4＜﹣3，y2＜y1＜y3，应选B.

【例2】下列关于函数y＝(x﹣3)²＋1的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3﹣n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤r≤n＋1时，y的整数值有(2n一4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b，其中真命题的序号是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

【答案】Ｃ

题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围

【例3】二次函数y＝﹣(x﹣h)²＋2的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，则h的取值范围为＿＿＿＿＿

【解析】∵a＜0，y1≤y2，∴点B距离对称轴较近，.∴h﹣1≥2﹣h，∴h≥2

题型三 增减性与顶点的联系

【例4】关于x的二次函数y＝(x﹣m)²﹣1，当－1≤x≤3时，函数有最小值－2m＋11，则m的值为__________

【解析】当顶点(m，－1)在区间的左侧，即m≤－1时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，有最小值(﹣1﹣m)²﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3﹣4，m2＝﹣3＋4(舍)，当－1＜m≤3时，－2m＋11＝﹣1，解得m＝6(舍)当m＞3时，y随x的增大而减小，当x＝3时，有最小值，(3﹣m)²﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3(舍)，m2＝5，综上，m的值为－3﹣4或5.

针对练习2

1.若抛物线y＝ax²(a＜0)经过点A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则(　　)

A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2

【答案】A

2.二次函数y＝(x－h)²＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3时，其函数y的最小值为5，则h的值为(　　)

A.1或－5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3

【答案】B

3.已知关于正整数x的二次式y＝2x2＋2bx＋c(b，c为实数)，若当且仅当x＝4时，y有最小值，则实数b的取值范围是__________.

解：对称轴为x＝－，∵x为正整数；∴＜－＜(注；对称轴要靠近x＝4)，∴﹣9＜b＜﹣7.

【板块三】抛物线的平移、对称变换

方法技巧

题型一 抛物线沿水平向平移探究

【例1】将二次函数y＝x²的图象向左平移1个单位长度得到y＝____________；将二次函数y＝－(x－1)²的图象向右平移2个单位长度得到y＝____________

【解析】向左平移1个单位长度，自变量x变为(x＋1)，即y＝(x＋1)2，向右平移2个单位长度，自变量x变为(x﹣2)，即y＝﹣(x﹣3)².

【例2】在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线与抛物线y＝ax²相交于A，B两点(点B在第一象限)，当a＝1，点B的纵坐标为2时，向右平移抛物线使该抛物线经过点B，与AB的延长线交于点C，求平移后的抛物线的解析式.

【解析】y＝x²，当y＝2时，2＝x²，.xA＝，xB＝－，AB＝2，将y＝x²向右平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝(x－2)².

题型二  抛物线沿竖直方向的平移探究

【例3】将二次函数y＝(x﹣2)²＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为A'，B'.若曲线段AB扫过的面积为9，则新图象的函数解析式是(　　)

A.y＝(x﹣2)²﹣2 B.y＝(x﹣2)²＋7 C.y＝(x﹣2)²﹣5 D.y＝(x﹣2)²＋4

【解析】连接AB，A'B'，则S阴影＝S四边形AA'B'Ｂ，由平移可知，AA'＝BB'.AA'//BB'，∴四边形ABＢ'A'是平行四边形，分别延长A'A，B'B，交x轴于点M，N.∵A(l，m).B(4，n)，∴MN＝4－1＝3，S平行四边形ABB'A'＝AA'*MN，9＝3AA'，∴AA'＝3，即沿y轴向上平移了3个单位长度，∴平移后的函数的解析式为y＝(x﹣2)²＋4.故选D.

题型三抛物线沿斜倾方向平移探究

【例4】将二次函数y＝3(x﹣1)²＋2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象的解析式是(　　)

A.y＝3(x﹣3)²＋5 B.y＝3(x＋1)²﹣1 C.y＝3(x﹣3)﹣1 D.y＝3(x＋1)²＋5

【解析】y＝3(x﹣1)²＋2的顶点坐标为(1，2)，平移后的顶点坐标为(－1，－1)，∴平移后的图象所对应的解析式为y＝3(x＋1)²﹣1，故选B.

【例5】将抛物线y＝﹣(x＋1)²﹣2沿直线y＝x向右上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________

【解析】沿直线y＝x方向向右上平移2个单位长度，可分解为先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，因此平移后的解析式y＝﹣(x﹣1)².

题型四抛物线对称变换探究

【例6】将抛物线y＝(x＋1)²＋4沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_____________

【答案】y＝﹣(x＋1)²﹣4.

【例7】将抛物线y＝(x＋1)²＋4绕点(1，2)旋转180°，所得新抛物线的解析为y＝﹣(x﹣3).

【解析】原抛物线的顶点为(－1，4)..点(－1，4)关于(1，2)的对称点为(3，0)，而开口方向相反，所得新抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)².

针对练习3

1.抛物线y＝﹣(x﹣4)²＋3通过怎样平移可得到抛物线y＝﹣x²？

解：抛物线y＝－(x－4)²＋3，向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y＝﹣x²。

2.将抛物线y＝2x²向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为( 　　)

A.y＝2(x﹣3)²﹣5 B.y＝2(x＋3)²＋5 C.y＝2(x﹣3)²＋5 D.y＝2(x＋3)²﹣5

【答案】A

3.如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到P'(2，－2)，点A的对应点为A'，则抛物线上PA段所扫过的区域(阴影部分)的面积为  12  .

【答案】12

4.已知抛物线C:y＝(x﹣1)²＋2.

(1)将抛物线C向左平移2个单位长度，再沿x轴作轴对称变换，得到抛物线C1，求C1的解析式；

(2)将抛物线C沿直线x＝3作轴对称变换，得到抛物线C2，求C2的解析|

解：(1)y＝﹣(x＋1)²﹣2；(2)y＝(x﹣5)²＋2.

5.若将抛物线y＝﹣3(x﹣1)²＋2绕点(－1，－2)旅转180°，求所得新抛物线的解析式

解：原抛物线的顶点为(1，2)，点(1，2)绕点(﹣1，－2)旋转180°的对应点(﹣3，﹣6)，且开口方向相反，∴所得新抛物线的解析式为y＝3(x＋3)²﹣6.

6．将抛物线y＝﹣(x﹣2)²＋1沿直线y＝﹣x＋的方向平移后恰好经过点(5，－)，求平移后的抛物线的解析式。

解：∵原抛物线的顶点为(2,1)，∴新抛物线的顶点在直线y＝﹣x＋上，

∴新抛物线可设为y＝－(x－t)²－t＋，∴－＝－(5－t)²－t＋，

∴t＝5或t＝,∴平移后抛物线的解析式为y＝－(x－4)²－或y＝－(x－)²－。